Формула Максвелла для относительных скоростей

1. Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого воспользуемся соотношением

неопределенностей
Гейзенберга. Согласно этому
соотношению координаты и импульс
частицы не могут одновременно иметь
определенное значение. Классическое
описание возможно, если выполнены
условия:
ΔxΔPx h, ΔyΔPy h, ΔzΔPz h.

2. Здесь – фундаментальная константа (постоянная Планка), определяющая масштаб квантовых (микроскопических процессов). Таким

34
Здесь h 6,62 10 Дж с –
фундаментальная константа (постоянная
Планка), определяющая масштаб
квантовых (микроскопических
процессов).
Таким образом, если частица
3
3
находится в объеме , ΔxΔyΔz h / P то
в этом случае возможно описание ее
движения на основе законов
классической механики.

3.

Наиболее вероятная, средне квадратичная и
средняя арифметическая скорости молекул газа
Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной
скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал
скоростей, при единичной концентрации частиц.
График функции распределения Максвелла приведен на рис. 17.4
f ( υ)
Рис. 17.4
mυ 2
2
2
kT
Ae
υ.

4.

Из графика видно, что при «малых» , т.е. при
mυ 2
, имеем f ( υ) ~ υ 2; затем f ( )
1
2kT
достигает максимума А и далее экспоненциально
mυ2 .
спадает
f ( υ) ~ e
2 kT

5.

Величина скорости, на которую приходится максимум зависимости
называют наиболее вероятной скоростью.
Величину этой
скорости найдем из условия равенства нулю производной
df ( υ)
0
dυ
2kТ
υв
m
– для одной молекулы.
2kNAT
2 RT
υв
mNA
μ
– для одного моля газа.
(17.17)
(17.17)

6.

Среднюю
квадратичную
используя соотношение
скорость
найдем
m υ2 3
kТ ,
2
2
Тогда
3kТ
υ
m
3RT
υ
– для одной молекулы.
(17.18)
– для одного моля газа.
(17.19)

7.

Средняя арифметическая скорость υср
1
υср υnf (υ)dυ
n0
(17.20)
где nf( )d = dn – число молекул со скоростью от υ до υ
+ dυ. Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то:
8kТ
2,25kT
υср
;
πm
m
υср
8 RТ
Полезно знать, что υср
υв
1,13;
2,25 RT
.
υкв
1,22.
υв
(17.21)
(17.22)

8.

Формула Максвелла для относительных
скоростей
Для решения многих задач удобно использовать
формулу Максвелла, где скорость выражена в
относительных единицах. Относительную
υ
(17.23)
U
υв
dn
4 U 2 2
2kТ
e U
где υв
. Тогда
(17.24)
ndU
π
m
Формула Максвелла для относительных
скоростей. Это уравнение универсальное. В таком виде
функция распределения не зависит ни от рода газа ни от
температуры.

9.

Рис. 17.4,а

10. На рисунке 17.4,а показано максвелловское распределение частиц f(υ) имеющих скорости от υ до За единицу скорости здесь взята

На рисунке 17.4,а показано максвелловское
распределение частиц f(υ) имеющих
скорости от υ до υ dυ.За единицу скорости
здесь взята наиболее вероятная скорость. Все
три скорости незначительно отличаются друг
от друга множителем порядка единицы,
причем υкв υср υвер .

11.

Зависимость функции распределения
Максвелла от массы и температуры газа
Если у нас смесь газов, то в пределах каждого
сорта газа будет своё распределение со своим m
m
T
f (υв )
, кроме того, υв
.
T
m
Можно проследить за изменением f(υ) при
изменении m и T: m1>m2>m3 (T = const) или T1>T2>T3 (m
= const) (рис. 17.5). Площадь под кривой f(υ) = const = 1
поэтому важно знать как будет изменяться положение
максимума кривой.

12.

Рис. 17.5
Максвелловский закон распределения по
скоростям и все вытекающие следствия справедливы
только для газа в равновесной системе. Закон
статически выполняется тем лучше, чем больше число
молекул.

13. Лекция 18. Распределение Больцмана

18.1. Барометрическая формула
18.2. Распределение Больцмана
18.19. Закон распределения Максвелла-Больцмана
18.4. Распределение Бозе–Эйнштейна, Ферми–Дирака

14.

18.1. Барометрическая формула
Рассмотрим ещё один вероятный закон - очень
важный закон.
Атмосферное давление на какой-либо высоте h
обусловлено весом выше лежащих слоёв газа. Пусть p
– давление на высоте h, p+Δp – на высоте h+Δh (рис.
18.6). Причём dh > 0, dр < 0, так как на большой
высоте давление меньше. Разность давления p–(p+dp)
равна весу газа, заключённого в объёме цилиндра с
площадью основания равного единице и высотой dh,
p = ρqh, медленно убывает с высотой.

15.

р – (p + dp) = ρgdh, (18.25)
ρ плотность газа на высоте
h, которую можно найти из
закона М-К
pV= (m/μ)RT, ρ=m/V=μp/(RT),
Тогда dp = - ρgdh = - μpgdh/(RT).
Входящая в эту формулу величина
μ численно равна средней молекулярной
массе воздуха, определенной с учетом
процентного содержания в воздухе азота,
кислорода и других газов.
Следовательно, dp/p = - μgdh/(RT).
Рис. 18.6
(18.25,а)
Температура Т является некоторой
функцией от h. Если вид этой функции
известен, уравнение (18.25,а) можно

16.

проинтегрировать и найти зависимость p от h. Для случая, когда
температура постоянна, т.е. для изотермической атмосферы,
интегрирование уравнения (18.25,а) приводит к соотношению
Lnp = - μgh/(RT)+ lnC,
где С константа (здесь удобно обозначить постоянную
интегрирования через lnC). Потенцируя полученное выражение,
gh
находим, что
p Ce
RT
.
Подставив сюда h = 0? Получим C= p0, где р0 – давление на высоте
h = 0.
Таким образом, при сделанном нами допущении о постоянстве
температуры зависимость давления от высоты выражается формулой
p p0 e
gh
RT
(18.26)
,
Это барометрическая формула. Из формулы следует, что р убывает с высотой тем
быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже температура.

17.

На больших высотах концентрация Не и Н2
гораздо больше чем у поверхности Земли. На (рис. 18.7)
изображены две кривые, которые можно трактовать
либо как соответствующие разным μ (при одинаковой
Т) либо как отвечающие разным Т (при одинаковых μ),
то есть чем тяжелее газ и чем ниже температура, тем
быстрее убывает давление.
Рис.18.7
Cодержание

18. 18.2. Распределение Больцмана

Распределение
Больцмана
определяет распределение частиц в
силовом поле в условиях теплового
равновесия.

19. Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил, в условиях теплового равновесия. При этом, концентрация газа будет

различной в
точках с различной потенциальной
энергией, что необходимо для
соблюдения условий механического
равновесия.
Число молекул в единичном объеме
n убывает с удалением от поверхности
p
nkT
Земли, и давление, в силу соотношения
тоже убывает.

20. Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг

другу,
поскольку температура в нашем случае
постоянна. Давление с уменьшением
высоты должно возрастать, потому что
нижнему слою приходится выдерживать
вес всех расположенных сверху атомов.

21. Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: , заменим р и р0 в барометрической формуле (18.26) на n и n0 и

Исходя из основного уравнения
молекулярно-кинетической теории: p nkT,
заменим р и р0 в барометрической формуле
(18.26) на n и n0 и получим распределение
Больцмана для молярной массы газа:
n n0
μgh
e RT ,
(18.27)
где n0 и n число молекул в единичном
объёме на высоте h = 0 и h, соответственно.

22.

23.

Так как μ mN A , R N Ak , то
распределение Больцмана можно
представить в виде:
n n0
mgh
kT
e
.
(18.28)

24. С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При тепловое движение прекращается, все молекулы

T 0
расположились бы на земной
поверхности.
При высоких температурах,
наоборот, молекулы оказываются
распределёнными по высоте почти
равномерно, а плотность молекул
медленно убывает с высотой.

25. Так как –потенциальная энергия, следовательно, распределение Больцмана характеризует распределение частиц по значениям

Так как U mgh –потенциальная энергия,
следовательно, распределение Больцмана
характеризует распределение частиц по
значениям потенциальной энергии:
n n0
U
e kT
(18.29)
– это закон распределения частиц по
потенциальным энергиям – распределение
Больцмана.
Здесь n0 – число молекул в
единице объёма в там, где U 0 .

26. На рис. 18.8 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой

убывает быстрее, чем легких.
Рис. 18.8

27. Из (18.29) можно получить, что отношение концентраций молекул в точках с U1 и U2 обладающих именно таким значением (18.30)

Из (18.29) можно получить, что отношение
концентраций молекул в точках с U1 и U2
обладающих именно таким значением
n1
e
n2
U 1 U 2
kТ
(18.30)
Больцман доказал, что соотношение (18.29)
справедливо не только в потенциальном поле сил
гравитации, но и в любом потенциальном поле, для
совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в
состоянии хаотического теплового движения.

28.

Итак, Максвелл дал распределение частиц по
значениям кинетической энергии, а Больцман – по
значениям потенциальной энергии. Оба распределения
можно объёдинить в один закон – распределение
Максвелла–Больцмана.
Cодержание

29.

18.19. Закон распределения МаксвеллаБольцмана
В начале лекции мы с вами получили
выражение для распределения молекул по скоростям
(распределение Максвелла):
2
4
dn(υ)
π
m0
2kT
3/ 2
e
mυ
2 kT
υ 2 dυ.
(18.30)
Из этого выражения легко найти распределение
молекул газа по значениям кинетической энергии Wк.
Для этого перейдём от переменной υ к переменной
Wк=mv2/2, то есть, подставим в предыдущее
выражение υ 2Wк и dυ=2mWкdWк:
m

30.

WK
kT
2n
kT Wк1 / 2e dWк nf (Wк )dWк , (18.31)
dn(Wк )
π
где dn(Wк) – число молекул имеющих кинетическую
энергию поступательного движения, заключённую в
интервале от Wк до Wк+dWк. То есть функция
распределения молекул по энергиям теплового
Wк
движения:
2
kT 3 / 2Wк1 / 2e kT .
f (Wк )
(18.32)
π
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального
W
газа:
2
3
3/ 2
3/ 2
kT
kT W e kT,
Wк Wк f Wк dWк
2
π
0
0
то есть получим результат совпадающий с прежним
результатом.
3 / 2

31.

Итак, закон Максвелла даёт распределение
частиц по значениям кинетической энергии, а закон
Больцмана – даёт распределение частиц по значениям
потенциальной энергии. Оба распределения можно
объединить в один закон Максвелла–Больцмана,
согласно которому, число молекул в единице объёма,
скорости которых лежат в пределах от υ до υ+dυ равно
dnWп ,Wк n0
4 m
2kT
3/ 2
e
m 2
U
2
kT
d .
2
(18.33)

32.

Обозначим W – полная энергия равна U + Wк
dn n0 Ae
W
kT
υ dυ.
2
(18.34)
Это и есть закон распределения МаксвеллаБольцмана, где n0 – число молекул в единице объёма в
той точке, где Wп=0, mv2/2=Wk;
3/ 2
m
2
2
2
2
υ υ x υ y υz ; A
.
π 2kT

33.

В последнем выражении, потенциальная и
кинетическая энергии, а следовательно и полная
энергия W могут принимать непрерывный ряд
значений. Если же энергия частицы может принимать
лишь дискретный ряд значений W1, W2 ... (как это имеет
место, например, для внутренней энергии атома), то в
этом случае распределение Больцмана имеет вид:
N i ANe
Wi
kT
(18.35)
где Ni – число частиц, находящихся в состоянии с
энергией Wi, а А – коэффициент пропорциональности,
который должен удовлетворять условию:
W
(18.36)
i
Νi A e
kT
N,

34.

В (18.36) N – полное число частиц в рассматриваемой
системе.
Тогда окончательное выражение распределения
Больцмана для случая дискретных значений
Ni
Cодержание
Ne
W
i
e
W
i
kT
.
kT
(18.37)

35.

18.4. Распределение Бозе–Эйнштейна,
Ферми–Дирака
Если у нас имеется термодинамическая система
состоящая из N частиц, энергии которых могут принимать дискретные значения (W1, W2 ... Wn), то говорят о
системе квантовых чисел.
Поведение такой системы описывается квантовой
статистикой, в основе которой лежит принцип
неразличимости тождественных частиц. Основная задача этой статистики состоит в определении среднего
числа частиц, находящихся в ячейке фазового
пространства: «координаты–проекции импульса» (x, y, z
и Px, Py, Pz) частиц. При этом имеют место два закона
распределения частиц по энергиям (две статистики).

36.

1. Распределение Бозе – Эйнштейна:
1
Ni
e
(Wi μ )
kT
1
(18.38)
2. Распределение Ферми – Дирака:
Ni
1
(Wi μ )
(18.39)
kT
e
1
Первая формула описывает квантовые частицы с
целым спином (собственный момент движения). Их
называют бозоны (например фотоны). Вторая формула
описывает квантовые частицы с полуцелым спином. Их
называют фермионы, например: электроны, протоны,
нейтроны).

37.

38. Лекция 19. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ

19.1. Явления переноса в газах
19.2. Число столкновений и средняя длина
свободного пробега молекул в газах
19.3. Диффузия газов
19.4. Внутреннее трение. Вязкость газов
19.5. Теплопроводность газов
19.6. Коэффициенты переноса и их
зависимость от давления
19.7. Понятие о вакууме

39. 19.1. Явления переноса в газах

Из л. 16 мы знаем, что молекулы в газе
движутся со скоростью звука, с такой же
скоростью движется пуля. Однако,
находясь в противоположном конце
комнаты, запах разлитой пахучей жидкости
мы почувствуем через сравнительно
большой промежуток времени. Это
происходит потому, что молекулы
движутся хаотически, сталкиваются друг с
другом, траектория движения у них
ломанная.

40. Рассмотрим некоторые явления, происходящие в газах. Распространение молекул примеси в газе от источника называется диффузией. В

состоянии равновесия температура Т и
концентрация n во всех точках системы
одинакова. При отклонении плотности от
равновесного значения в некоторой части
системы возникает движение компонент
вещества в направлениях, приводящих к
выравниванию концентрации по всему
объему системы.

41.

42. Связанный с этим движением перенос вещества обусловлен диффузией. Диффузионный поток будет пропорционален градиенту

концентрации:
dn
J~
dx

43. Если какое либо тело движется в газе, то оно сталкивается с молекулами газа и сообщает им импульс. С другой стороны, тело тоже

будет испытывать соударения со
стороны молекул, и получать собственный
импульс, но направленный в противоположную сторону. Газ ускоряется, тело
тормозиться, то есть, на тело действуют
силы трения. Такая же сила трения будет
действовать и между двумя соседними
слоями газа, движущимися с разными
скоростями.

44.

45. Это явление носит название внутреннее трение или вязкость газа, причём сила трения пропорциональна градиенту скорости: (19.1.1)

Это явление носит название внутреннее
трение или вязкость газа, причём сила
трения пропорциональна градиенту
скорости:
dυ
Fтр ~
dx
(19.1.1)

46. Если в соседних слоях газа создана и поддерживается разность температур, то между ними будет происходить обмен тепла. Благодаря

хаотическому движению,
молекулы в соседних слоях будут
перемешиваться и их средние энергии будут
выравниваться. Происходит перенос энергии
от более нагретых слоев к более холодным
телам.

47. называется теплопроводностью. Поток тепла пропорционален градиенту температуры:

Перенос энергии от более нагретых
слоев к более холодным телам.
называется теплопроводностью.
Поток тепла пропорционален
градиенту температуры:
dT
Q~
dx
(19.1.2)

48. В состоянии равновесия в среде, содержащей заряженные частицы, потенциал электрического поля в каждой точке соответствует

минимуму энергии системы.
При наложении внешнего электрического
поля возникает неравновесное движение
электрических зарядов в таком направлении,
чтобы минимизировать энергию системы в
новых условиях.

49. Связанный с этим движением перенос электрического заряда называется электропроводностью, а само направленное движение зарядов 

Связанный с этим движением перенос
электрического заряда называется
электропроводностью, а само направленное
движение зарядов электрическим током.

50. В процессе диффузии, происходит перенос вещества, при теплопроводности и электропроводности происходит перенос энергии, а при

внутреннем трении –
перенос импульса. В основе этих явлений
лежит один и тот же механизм – хаотическое
движение молекул. Общность механизма,
обуславливающего все эти явления переноса,
приводит к тому, что их закономерности
должны быть похожи друг на друга.

51. 19.2. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газах

Обозначим λ i– длина свободного пробега
молекулы.
Медленность явлений переноса,
например диффузии ароматических
веществ – «распространение запаха»,
при относительно высокой скорости
2
3
теплового движения молекул
10 10 (м/с
) объясняется столкновениями

52. Расстояние, проходимое молекулой в среднем без столкновений, называется средней длиной свободного пробега. Средняя длина

свободного пробега равна:
λ υср τ,
где υ ср – средняя скорость теплового
движения, τ – среднее время между
двумя столкновениями.
Именно
λ
средняя длина свободного пробега, нас и
интересует (рис. 19.1).

53.

Рис. 19.1

54. Модель идеального газа – твёрдые шарики одного диаметра, взаимодействующие между собой только при столкновении. Обозначим σ –

эффективное сечение
молекулы – полное поперечное сечение
рассеяния, характеризующее столкновение
между двумя молекулами (рис. 19.2).

55.

Рис. 19.2

56. – площадь в которую не может проникнуть центр любой другой молекулы. Здесь d =2r – диаметр молекулы. За одну секунду молекула

σ πd
2
– площадь в которую не может
проникнуть центр любой другой молекулы.
Здесь d =2r – диаметр молекулы.
За одну секунду молекула проходит путь,
равный средней арифметической скорости
υ . За ту же секунду молекула
претерпевает ν столкновений.
Следовательно,
υ
λ
.
ν
(19.2.1)

57. Подсчитаем число столкновений ν. Вероятность столкновения трех и более молекул бесконечно мала. Предположим, что все молекулы

застыли, кроме одной. Её траектория
будет представлять собой ломаную
линию. Столкновения будут только с
теми молекулами, центры которых лежат
внутри цилиндра радиусом d (рисунок
19.3).

58.

Рис. 19.3

59. Путь, который пройдет молекула за одну секунду, равен длине цилиндра . Умножим объём цилиндра на число молекул в единице объёма

Путь, который пройдет молекула за
одну секунду, равен длине цилиндра υ' .
Умножим объём цилиндра υ' σ на
число молекул в единице объёма n, получим
среднее число столкновений в одну секунду:
ν πd υ' n.
2
На самом деле, все молекулы движутся (и в
сторону и навстречу друг другу), поэтому
число соударений определяется средней
скоростью движения молекул относительно
друг друга.

60. По закону сложения случайных величин А так как средняя длина свободного пробега то получим: (19.2.2) Уравнение состояния

По закону сложения случайных величин
υ' υ υ 2 υ υ 2.
А так как средняя длина свободного пробега
то
получим:
υ
2
λ
(19.2.2)
ν
2
2
,
1
1
λ
.
2
2nπd
2nσ
Уравнение состояния идеального газа
позволяет нам выразить n через давление P и
термодинамическую температуру Т:
Так как P nkT, то есть n P , тогда
kT
kT
kT
λ
.
2
2πd P
2σP

61. Таким образом, при заданной температуре, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению Р: Например, при d =

Таким образом, при заданной температуре,
средняя длина свободного пробега обратно
пропорциональна давлению Р:
1
~
P
Например, при d = 3 Å = 3 10 10 м, Р = 1
7
атм., Т = 300 К, λ 10 м
, а т.к.
3
υ 10 м/с , то
3
10
10
ν 7 10
столкновений.
10

62. 19.3. Диффузия газов

Диффузия от латинского diffusio –
распространение, растекание
взаимное проникновение
соприкасающихся веществ друг в
друга, вследствие теплового движения
частиц вещества. Диффузия
происходит в направлении уменьшения
концентрации вещества и ведет к его
равномерному распределению по

63. Диффузия имеет место в газах, жидкостях и твердых телах. Наиболее быстро диффузия происходит в газах, медленнее в жидкостях,

еще медленнее в твердых телах, что
обусловлено характером движения частиц в
этих средах.
Для газа диффузия – это распределение
молекул примеси от источника (или
взаимная диффузия газа).

64. Решаем одномерную задачу. Пусть в газе присутствует примесь с концентрацией n в точке с координатой х. Концентрация примеси

зависит от
координаты х (рисунок 19.4).

65.

Рисунок 19.4

66. Градиент концентрации, в общем случае равен . (19.19.1) Так как у нас одномерная задача, то При наличии grad n, хаотическое

Градиент концентрации, в общем
случае равен
dn
dn
dn . (19.19.1)
grad n i
j k
dx
dy
dz
Так
dn
как у нас одномерная задача, то grad n .
dx
При наличии grad n, хаотическое движение
будет более направленным и возникнет
поток молекул примеси, направленный от
мест с большей концентрацией к местам с
меньшей концентрацией. Найдём этот поток.

67. Пусть в плоскости с координатой х находится единичная площадка dS, перпендикулярная оси х. Подсчитаем число молекул, проходящих

через
площадку в направлении слева направо
dN
и справа налево
, за время dt
dN
(рисунок 19.4).
1
dN n1 υ dSdt
6
1
dN n2 υ dSdt ,
6
где n1 концентрация молекул слева от
площади, а n2 концентрация молекул

68. Тогда Результирующий диффузионный поток через единицу площади в единицу времени: но из этого следует, что

Тогда
dN dN dN .
Результирующий диффузионный поток через
единицу площади в единицу времени:
dN
1
J
n1 n2 υ
dSdt 6
1
n2 n1
J υ
,
3
2
но n2 n 1 dn; 2λ dx, из этого следует,
что
n2 n 1
2λ
dn
.
dx

69. Обозначим: – коэффициент диффузии. Тогда диффузионный поток будет равен: (19.19.2) или в общем случае (в трёхмерной системе)

1
D λ υ – коэффициент
3
Обозначим:
диффузии.
Тогда диффузионный поток будет равен:
dn
J D ,
dx
(19.19.2)
или в общем случае (в трёхмерной системе)
J D grad n
– уравнение Фика.
(19.19.3)

70. Из уравнения Фика видно, что диффузионный поток, направлен в сторону уменьшения концентрации. При этом коэффициент диффузии D

численно равен диффузионному потоку
через единицу площади в единицу времени
при
grad n 1
Измеряется коэффициент диффузии в м/с2.

71. 19.4. Внутреннее трение. Вязкость газов

Рассмотрим ещё одну систему координат: υ от
х (рисунок 19.5).

72. Пусть в покоящемся газе вверх, перпендикулярно оси х движется пластинка со скоростью υ0, причём (υT – скорость теплового

Пусть в покоящемся газе вверх,
перпендикулярно оси х движется пластинка
со скоростью υ0, причём υ0 υT (υT –
скорость теплового движения молекул).
Пластинка увлекает за собой прилегающий
слой газа, тот слой – соседний и так далее.
Весь газ делится, как бы на тончайшие слои,
скользящие вверх тем медленнее, чем дальше
они от пластинки. Раз слои газа движутся с
разными скоростями, возникает трение.
Выясним причину трения в газе.

73. Каждая молекула газа в слое принимает участие в двух движениях: тепловом и направленном. Так как направление теплового движения

хаотически меняется, то в среднем
вектор тепловой скорости равен
υT нулю
0
. При направленном движении вся
совокупность молекул будет дрейфовать
с постоянной скоростью υ.

74. Таким образом, средний импульс отдельной молекулы в слое определяется только дрейфовой скоростью υ: Но так как молекулы

Таким образом, средний импульс отдельной
молекулы в слое определяется только
дрейфовой скоростью υ:
p0 m0 υ.
Но так как молекулы участвуют в
тепловом движении, они будут
переходить из слоя в слой. При этом они
будут переносить с собой добавочный
импульс, который будет определяться
молекулами того слоя, куда перешла
молекула.

75. Перемешивание молекул разных слоёв приводит к выравниванию дрейфовых скоростей разных слоёв, что и проявляется макроскопически

как
действие сил трения между слоями.
Вернёмся к рисунку 19.5 и рассмотрим
элементарную площадку dS
перпендикулярно оси х. Через эту площадку
за время dt влево и вправо переходят потоки
молекул. Как мы уже говорили
1
dN dN n υ dSdt.
6

76. Но эти потоки переносят разный импульс: и . При переносе импульса от слоя к слою происходит изменение импульса этих слоёв. Это

Но эти потоки переносят разный импульс:
m0 υ1dN и m0 υ 2dN .
При переносе импульса от слоя к слою
происходит изменение импульса этих слоёв.
Это значит, что на каждый из этих слоёв
действует сила, равная изменению импульса.
Сила эта есть не что другое, как сила трения
между слоями газа, движущимися с
различными скоростями. Отсюда и название
– внутреннее трение.

77. Закон вязкости был открыт И. Ньютоном в 1687 г. Переносимый за время dt импульс равен: Или Отсюда получим силу, действующую на

Закон вязкости был открыт И. Ньютоном в
1687 г.
Переносимый за время dt импульс
равен: d(m0 υ)
Или
1
Fdt n υ m0 ( υ1 υ 2 )dS
6
Отсюда получим силу, действующую на
единицу площади поверхности, разделяющей
два соседних слоя газа:
F
1
1
υ2 υ1
υ1 υ2
f λ υ nm0
.
λ υ m0n
dS
3
3
2λ
2λ

78. Сила, действующая на единицу площади поверхности, разделяющей два соседних слоя газа: Или, в общем виде (19.4.2) Это уравнение

Сила, действующая на единицу площади
поверхности, разделяющей два соседних
dυ
слоя газа:
f η
Или, в общем виде
dx
.
f η grad υ.
(19.4.2)
Это уравнение называют – уравнением
Ньютона, здесь η – коэффициент вязкости,
равный:
1
η λ υ nm0 Dρ,
3
где D – коэффициент диффузии; ρ –
(19.4.3)

79. Физический смысл η в том, что он численно равен импульсу, переносимому в единицу времени через единицу площади при градиенте

скорости равном единице.

80. 19.5. Теплопроводность газов

Учение о теплопроводности начало
развиваться в XVIII в. и получило
свое завершение в работах
французского ученого Ж. Фурье
(1886 – 1830), опубликовавшего в
1822 г. книгу «Аналитическая
теория теплоты».

81. Рассмотрим газ, заключённый между двумя параллельными стенками, имеющими разную температуру Та и Тб (рисунок 19.6).

82.

Рисунок 19.6

83. Итак, у нас имеется градиент температуры , тогда через газ в направлении оси х будет идти поток тепла. Хаотично двигаясь,

Итак, у нас имеется градиент температуры
dT
, тогда через газ в направлении
0
dx
оси х будет идти поток тепла. Хаотично
двигаясь, молекулы будут переходить из
одного слоя газа в другой, перенося с собой
энергию. Это движение молекул приводит к
перемешиванию молекул, имеющих
различную кинетическую энергию ,
m0 υ
i
K
kT
2
2
2
здесь i – число степеней свободы молекулы.

84. При подсчёте потока тепла введём следующие упрощения: среднеарифметическая скорость теплового движения молекул . Концентрация

При подсчёте потока тепла введём
следующие упрощения:
среднеарифметическая скорость теплового
движения молекул υT const .
Концентрация молекул в соседних слоях
одинакова, (хотя на самом деле она
различается, что даёт ошибку 10 %).
Снова вернёмся к рисунку 19.6. Через
площадку dS за время dt слева проходит
1
молекул.
dN υ ndSdt
6
T

85. Средняя энергия этих молекул К – соответствует значению энергии в том месте, где они испытывают последний раз столкновение. Для

одной молекулы газа:
i
K1 kT1.
2
Соответственно, справа проходит
1
dN n υT dSdt молекул.
6
Каждая из этих молекул перенесёт энергию
i
K 2 kT2 .
2

86. Результирующий поток энергии через dS равен разности потоков и , то есть . Применяя те же рассуждения, получим: результирующий

Результирующий поток энергии через dS
равен разности потоков dQ и dQ , то есть
.
1
i
dQ n υT dSdt k (T1 T2 )
6
2
Применяя те же рассуждения, получим:
результирующий поток через единичную
площадку в единицу времени равен q и
направлен он в сторону противоположную
направлению градиента:
dQ
1
i dT
q λ υT n k
dSdt
3
2 dx ,
dT
q χ
dx

87. или (19.5.1) – уравнение теплопроводности Ж.Фурье. Здесь q – тепловой поток; χ – коэффициент теплопроводности, равный: , или

или
q χ grad T
(19.5.1)
– уравнение теплопроводности Ж.Фурье.
Здесь q – тепловой поток;
χ – коэффициент теплопроводности,
равный:
1
i
χ λ υ T n k , или
3
2
1
,
χ λ υT ρCVУД
3
(19.5.2)
(19.5.3)

88. где υТ – тепловая скорость движения молекул; – удельная теплоемкость при постоянном объеме. Найдем размерность коэффициента

где υТ – тепловая скорость движения
молекул; CVуд – удельная теплоемкость при
постоянном объеме.
Найдем размерность коэффициента
теплопроводности:
qdx
Дж м
кг м
χ
2
3
dT м К с с К
.

89. 19.6. Уравнения и коэффициенты переноса

Сопоставим уравнения переноса
J Dgrad n
dn
J D
dx
Уравнение Фика для диффузии.
Коэффициент диффузии
1
D λ υT
3

90.

f тр η grad υ
f тр
dυ
η
dx уравнение Ньютона
или
для трения.
Коэффициент вязкости:
1
η λ υT nm0 Dρ.
3

91. или Уравнение Фурье для теплопроводности. Коэффициент теплопроводности:

q χ gradT
или
dT
q χ
dx
Уравнение
Фурье для теплопроводности.
Коэффициент
теплопроводности:
1
χ λ υT ρCуд DρCуд
3

92. Все эти законы были установлены опытно, задолго до обоснования молекулярно-кинетической теорией. Эта теория позволила

Все эти законы были установлены опытно,
задолго до обоснования молекулярнокинетической теорией. Эта теория позволила
установить, что внешнее сходство уравнений
обусловлено общностью лежащих в их
основе молекулярного механизма
перемешивания молекул в процессе их
теплового хаотического движения.

93. Однако к концу XIX века, несмотря на блестящие успехи молекулярно-кинетической теории ей недоставало твёрдой опоры – прямых

Однако к концу XIX века, несмотря на
блестящие успехи молекулярнокинетической теории ей недоставало
твёрдой опоры – прямых экспериментов,
доказывающих существование атомов и
молекул. Это дало возможность
некоторым, философам,
проповедовавшим субъективный
идеализм заявлять, что схожесть
формул – это произвол учёных,
упрощённое математическое описание
явлений.

94. Но это конечно не так. Все выше указанные коэффициенты связаны между собой и все выводы молекулярно – кинетической теории

подтверждены опытно.

95. Зависимость коэффициентов переноса от давления Р

Так как скорость теплового движения
молекул υT ~ T и не зависит от давления
Р, а коэффициент диффузии D ~ λ, то и
зависимость D от Р должна быть подобна
зависимости λ(Р). При обычных давлениях
и в разряженных газах D ~ 1 ; в
высоком вакууме D = const. P

96. С ростом давления λ уменьшается и затрудняется диффузия ( ). В вакууме и при обычных давлениях отсюда, и . С увеличением Р и ρ,

С ростом давления λ уменьшается и
затрудняется диффузия ( D 0 ).
В вакууме и при обычных давлениях ρ ~ P
отсюда, η ~ P и χ ~ P .
С увеличением Р и ρ, повышается число
молекул переносящих импульс из слоя в
слой, но зато уменьшается расстояние
свободного пробега λ. Поэтому, вязкость
η и теплопроводность χ, при высоких
давлениях, не зависят от Р (η и χ –
const). Все эти результаты подтверждены
экспериментально.

97. На рисунке 19.7 показаны зависимости коэффициентов переноса и λ от давления Р. Эти зависимости широко используют в технике

(например, при измерении вакуума).

98.

Рисунок 19.7

99. Молекулярное течение. Эффузия газов

Молекулярное течение – течение
газов в условиях вакуума, то есть когда
молекулы не сталкиваются друг с
другом.

100. В вакууме происходит передача импульса непосредственно стенкам сосуда, то есть, происходит трение газа о стенки сосуда. Трение

перестаёт быть внутренним, и
понятие вязкости теряет свой прежний смысл
(как трение одного слоя газа о другой).
Течение газа в условиях вакуума через
отверстие (под действием разности
давлений) называется эффузией газа.

101. Как при молекулярном течении, так и при эффузии, количество протекающего в единицу времени газа обратно пропорционально корню

квадратному из
молярной массы:
n~
1
μ
.
(19.6.1)
Эту зависимость тоже широко
используют в технике, например – для
разделения изотопов газа U235 (отделяют
от U238, используя газ UF6).

102. 19.7. Понятие о вакууме

Газ называется разреженным, если его
плотность столь мала, что средняя длина
свободного пробега молекул λ может
быть сравнима с линейными размерами l
сосуда, в котором находится газ. Такое
состояние газа называется вакуумом.
Различают следующие степени вакуума:
сверхвысокий ( λ l ), высокий (
λ l ), средний ( λ l ) и низкий
вакуум.

103. Свойства разряженных газов отличаются от свойств неразряженных газов. Это видно из таблицы, где приведены некоторые

характеристики различных степеней
вакуума.

104.

Вакуум
Характерист низкий средний высоки
ика
й
λ<l
Давление в
мм рт.ст
Число
молекул в ед.
объема (в м–3)
Зависимость
от давления
коэффициент
ов χ и η
λ≈l
760 – 1
1 – 10–3
1025 –
1022
1022 –
1019
сверхвыс
окий
λ>l
λ >> l
10–3 –
10–7
1019 –
1013
10–8 и
менее
1013 и
менее
Определяет Прямо
Не
Теплопровод
ся
зависят
пропорцио
ность и
параметром нальны
от
вязкость
давления
давлению практически
отсутствуют
l

105. Если из сосуда откачивать газ, то по мере понижения давления число столкновений молекул друг с другом уменьшается, что приводит

к увеличению их длины
свободного пробега. При достаточно
большом разрежении столкновения между
молекулами относительно редки, поэтому
основную роль играют столкновения
молекул со стенками сосуда.

106. В состоянии высокого вакуума уменьшение плотности разряженного газа приводит к соответствующей убыли частиц без изменения .

В состоянии высокого вакуума уменьшение
плотности разряженного газа приводит к
соответствующей убыли частиц без
изменения λ . Следовательно,
уменьшается число носителей импульса или
внутренней энергии в явлениях вязкости и
теплопроводности. Коэффициент переноса в
этих явлениях прямо пропорциональны
плотности газа. В сильно разряженных газах
внутреннее трение по существу отсутствует.

107. Удельный тепловой поток в сильно разряженных газах пропорционален разности температур и плотности газа. Стационарное состояние

разряженного
газа, находящегося в двух сосудах,
соединенных узкой трубкой, возможно
при условии равенства встречных
потоков частиц, перемещающихся из
одного сосуда в другой:
n1 υ1 n2 υ2
, где n1 и n2 – число
υ
1
молекул в 1 см3 в обоих сосудах;
и
υ2
– их средние арифметические

108. Если Т1 и Т2 – температуры газа в сосудах, то предыдущее условие стационарности можно переписать в виде уравнения, выражающего

эффект Кнудсена:
P1
T1
,
P2
T2
где P1 и P2 – давления разряженного газа в
обоих сосудах.

109. Вопросы создания вакуума имеют большое значение в технике, так как например, во многих современных электронных приборах

используются электронные пучки,
формирование которых возможно лишь в
условиях вакуума. Для получения различных
степеней разряжения применяются вакуумные
насосы, позволяющие получить
предварительное разряжение (форвакуум) до
≈ 0,13 Па, а также вакуумные насосы и
лабораторные приспособления, позволяющие
получить давление до 13,3 мкПа – 1, 33 пПа
(10–7 – 10–14 мм рт.ст.).