Числовые характеристики выборки. Выборочное среднее. Выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение

1. Лекция № 2. Числовые характеристики выборки

2. Выборочное среднее. Выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение

В теории вероятностей определили числовые
характеристики для случайных величин, с помощью которых
можно сравнивать однотипные случайные величины.
Аналогично можно определить ряд числовых характеристик
и для выборки. Поскольку эти характеристики вычисляются
по статистическим данным (по данным, полученным в
результате наблюдений), их называют статистическими
характеристиками.

3.

Пусть дано статистическое распределение
выборки объёма n:
XI
X1
X2
X3
X4
…
Xm
nI
n1
n2
n3
n4
…
nm
где m – число ваиантов.

4.

Выборочным средним x в называется среднее арифметическое
всех значений выборки.
1 m
xв xi ni
n i 1
m
1
Выборочное среднее можно записать и так: xв xi р*i , где:
n i 1
*
рi - частость.
В случае интервального статистического ряда в качестве x i берут
середины интервалов, а ni – соответствующие им частоты.

5.

Выборочной дисперсией Dв называется среднее
арифметическое квадратов отклонений выборки от
выборочного среднего
1 m
Dв xi xв
n i 1
2
xв :
m
1
ni или Dв n xi xв
i 1
2
Выборочное среднее квадратическое выборки определяется
формулой:
в Dв
p*i

6.

Особенность в состоит в том, что оно измеряется в тех же
единицах, что и данные выборки.
Если объём выборки мал ( n 30 ), то пользуются
исправленной выборочной дисперсией: 2
n
S
n 1
Dв
Величина S S 2 называется исправленным средним
квадратическим отклонением.

7. Выборочные начальные и центральные моменты. Асимметрия. Эксцесс.

Приведём краткий обзор характеристик, которые наряду с уже
рассмотренными применяются для анализа статистических
рядов и являются аналогами соответствующих числовых
характеристик случайной величины.
Среднее выборочное и выборочная дисперсия являются
частным случаем более общего понятия – момента
статистического ряда.

8.

Начальным выборочным моментом порядка называется
среднее арифметическое l – х-степеней всех значений
выборки:
l*
m
1
xil ni
n i 1
l*
m
xil p*i
или
.
i 1
Из определения следует , что начальный выборочный
момент первого порядка: * 1 m
1 xi ni xв
n i 1
Центральным выборочным моментом порядка l
называется среднее арифметическое l-х-степеней
отклонений наблюдаемых значений выборки от
выборочного среднего xв .
l*
m
l
1
xi xв ni
n i 1
или
l
l* xi xв p*i
m
i 1

9.

Из определения следует, что центральный
выборочный момент второго порядка :
*
2
m
1
xi xв
n i 1
2
ni
2
Dв в

10.

Выборочным коэффициентом асимметрии называется
*
3
*
*
число As , определяемое формулой: As
3
в
Выборочный коэффициент асимметрии служит для
характеристики асимметрии полигона вариационного ряда.
Если полигон асимметричен, то одна из его ветвей, начиная
с вершины, имеет больший «спуск», чем другая.
*
A
Если s 0 , то более пологий «спуск» полигона
наблюдается слева; если A*s 0 - справа. В первом случае
асимметрию называют левосторонней, а во втором –
правосторонней.

11.

Выборочным коэффициентом эксцесса или коэффициентом
крутости называется число E*k , определяемое формулой:
*
E*k 44 3 .
в
Выборочный коэффициент эксцесса служит для сравнения на
«крутость» выборочного распределения с нормальным
распределением. Коэффициент эксцесса для случайной
величины, распределённой по нормальному закону, равен 0.
Поэтому за стандартное значение выборочного эксцесса
принимают E *k 0 . Если E *k 0 , то полигон имеет более
пологую вершину по сравнению с нормальной кривой ; если
E *k 0 , то полигон более крутой по сравнению с нормально
кривой.

12.

Вычисление числовых характеристик
выборки
xi
ni
x1
xi ni
xi xв
xi xв 2 ni
xi xв 3 ni
xi xв 4 ni
n1
xm
nm
m
m
ni xi ni
i 1
i 1
2
xi xв
m
i 1
ni
3
4
xi xв ni xi xв ni
m
i 1
m
i 1

13.

xi
-середина интервалов;
ni - частоты;
m
m
ni n
i 1
- объём выборки; с помощью суммы
2
с помощью суммы xi xв ni находим
m
i 1
с помощью суммы
С помощью суммы
xi ni
i 1
Dв и в Dв
m
3
xi xв
i 1
m
*
ni находим As
4
*
ni находим E k
xi xв
i 1
находим x в

14. Упрощённый способ вычисления статистических характеристик вариационных рядов

При больших значениях вариантов и соответствующих им частот
вычисление выборочного среднего, дисперсии и выборочного
моментов по приведённым ниже формулам приводит к громоздким
вычислениям.
В этом случае условные варианты u , определяемые по формулам ,
i
xi c
ui
h где числа с и h выбираются произвольно. Чтобы
упростить вычисления, в качестве с выбирают вариант, который
имеет наибольшую частоту или находится в середине ряда. Число с
называется «ложным нулём». В качестве h выбирают число равное
длине интервала (в случае интервального ряда) или наибольший
общий делитель разностей xi c .

15. Для вычисления числовых характеристик выборки составляем таблицу

ui
ni
u1
n1
um
nm
m
ni
i 1
ui ni
n
ui 2 ni
m
ui
i 1
m
ni
ui4 ni
u i3 ni
m
ui 1 4 ni
m
m
u i2 ni ui3 ni u i4 ni ui 1
i 1
i 1
i 1
i 1
Контроль:
m
4
ui 1
i 1
m
ni
i 1
ui4 ni
4
m
4
i 1
ui3 ni
m
6
i 1
ui2 ni
m
4 ui ni n
i 1
ni

16.

С помощью сумм, полученных в нижней строке таблицы,
находим условные моменты:
М 1*
1m
ui ni
n i 1
M *2
1m 2
ui ni
n i 1
M 3*
1 m 3
ui ni
n i 1
M *4
1 m 4
ui ni
n i 1
Числовые характеристики выборки вычисляем по формулам:
*
* 2 2
*
Dв M 2 M 1 h
Dв
xв M 1 h c
в
*
E*k 44 3
в
*
*
*
*
*
*
* 3
3
M
3
M
M
2
M
h
где 3 и 4 находим по формулам: 3
3
1
2
1
*
A*s 33
в
*4
M *4 4M1* M 3* 6 M1*
2
M *2
3
* 4 4
M1 h

17.

Пример. Вычислить числовые характеристики
выборки, рассмотренной в примере 2.
В качестве вариантов x i возьмём середины интервалов.
Перейдём к условным вариантам.
Вариант, значение которого 0,04, имеет наибольшую частоту и
находится в середине модального ряда. Примем его за
«ложный ноль» (начало отсчёта).
Условные варианты найдём по формуле:
с = 0,04 h = 0,6
xi c
ui
h
, где

18.

Составим расчётную таблицу:
xi
ni
ui
ui ni ui2 ni u i3 ni ui4 ni ui 1 4 ni
-1,76
2
-3
-6
18
-54
162
32
-1,16
6
-2
-12
24
-48
96
6
-0,56
11
-1
-11
11
-11
11
0
0,04
15
0
0
0
0
0
15
0,64
11
1
11
11
11
11
176
1,24
3
2
6
12
24
48
234
1,84
2
3
6
18
54
162
512
∑
50
-6
94
-24
490
984

19.

m
4
Контроль: ui 1
i 1
m
ni
i 1
ui4 ni
m
4
i 1
ui3 ni
m
6
i 1
ui2 ni
m
4 ui ni n
i 1
490 4 24 6 94 4 6 50 984 → расчёты проведены
верно.
По данным таблицы находим условные моменты:
M1*
6
0,12
50
M *2
94
1,88
50
490
24
*
M4
9,8
0,48
50
50
Находим числовые характеристики выборки:
M 3*
xв M 1* h c 0,12 0,6 0,04 0,032

20.

*
* 2 2
Dв M 2 M1 h 1,88 0,12 2 0,6 2 0,6716
в Dв 0,672 0,8195
Вычислим центральные моменты третьего и четвёртого порядка:
3 M 3M M 2 M
*4
*
3
*
1
*
2
h
* 3
1
3
0,48 3 0,12 1,88 2 0,12 0,6
3
M *4 4M 1* M 3* 6 M 1*
2
M *2
3
* 4 4
M1 h
3
0,0418
9,8 4 0,12 0,48 6 0,12 2 1,88 3 0,12 4 0,64 1,2127
Вычислим выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса:
A*s
3*
0,0418
3
0,0759
3
в 0,8195
E*k
*4
1,2127
4 3
3 0,3112
4
в
0,8195