Определенный интеграл

1. «Определенный интеграл»

2.

Определения.
Основные термины.
Свойства определенного интеграла.

3.

Определение:
b
Под определенным интегралом
f ( x)dx
a
от данной непрерывной функции f (x)
на данном отрезке a; b понимается
соответствующее приращение ее
первообразной,
b
т.е. .
f ( x)dx F (b) F (a)
a

4.

Теорема 1:
(из теоремы Коши-всякая непрерывная
функция на отрезке a; b имеет
первообразную) Для всякой функции,
непрерывной на отрезке a; b , существует
соответствующий определенный интеграл.
Теорема 2:
Определенный интеграл от непрерывной функции
не зависит от выбора первообразной функции для
подынтегральной функции.

5. Свойства:

1.
b
b
f
(
x
)
dx
f
(
t
)
dt
a
a

6.

2.
b
f
(
x
)
dx
0
a

7.

3.
b
a
a
b
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx

8.

4
Если
то
f (x) непрерывна на a; b ; a; c ; c; b ,
b
c
b
a
a
c
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx

9.

5.
b
b
a
a
Af
(
x
)
dx
A
f
(
x
)
dx

10.

6. Определенный интеграл от алгебраической
суммы конечного числа непрерывных функций
равен такой же алгебраической сумме
определенных интегралов от этих функций.
f (x)
7. Если подынтегральная функция
определенного интеграла непрерывна и
неотрицательна и
,
b
то
f ( x)dx 0
a
a b

11.

8. Если
b
то
a
f ( x) g ( x)
b
и
a b
f ( x)dx g ( x)dx
a
,

12.

9. Теорема о среднем:
f b(x) - непрерывная функция
·
f
(
x
)
dx
(
b
a
)
a
f (c) , где c a; b

13. Геометрический смысл определенного интеграла.

b
Теорема: Определенный интеграл
f
(
x
)
dx
a
от непрерывной неотрицательной функции при
a b равен площади соответствующей
криволинейной трапеции.

14. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Производная определенного интеграла
с переменным верхним пределом по
этому пределу равна значению
подынтегральной функции для этого
предела.

15. Интегрирование по частям в определенном интеграле

b
b
uv
'
dx
uv
vu
'
dx
b
a
a
a

16.

Замена переменной в определенном инте
Введем новую переменную
b
x (t ) ,
t,
f ( x)dx f ( (t )) ' (t )dt
a
f ( (t )) ' (t )dt F ( (t ))
b
F (b) F (a) f ( x)dx
a
F ( ( )) F ( ( ))

17. Площадь в прямоугольных координатах.

1.Рассмотрим криволинейную трапецию,
ограниченную линиями y f (x) ,
,
,
.
x a x b
b
y 0
S f ( x)dx, f ( x) 0, x a; b
a

18.

2.В более сложных случаях фигуру
стараются представить в виде суммы
или разности криволинейных
трапеций.
b
S ( f1 f 2 )dx
a

19. Длина дуги.

Определение: Под длиной дуги АВ
понимается предел, к которому стремится
длина ломанной линии, вписанной в эту
дугу, когда число звеньев ломанной
возрастает неограниченно, а длина
наибольшего звена ее стремится к нулю.
b
L 1 ( y ) dx
2
a

20.

Определение:
Назовем кривую гладкой, если
функция, задающая кривую,
непрерывна и имеет непрерывную
производную.

21.

Теорема 1:
Всякая гладкая кривая имеет
определенную конечную длину
дуги.

22.

Тeорема 2:
Дифференциал дуги в прямоугольных
координатах равен :
dl (dx) (dy )
2
2

23. Объем тела вращения.

b
1.
Vx y dx
2
a

24.

d
2.
Vy x dy
2
c
;

25. Несобственные интегралы

Если нарушается хотя бы одно из условий,
b
то
a
f ( x)dx
называется
несобственным интегралом.

26.

Определение:
Если положительный предел существует, то
интеграл называется сходящимся, в
противном случае – расходящимся.