Похожие презентации:
Определенный интеграл
1. Определенный интеграл
2. План лекции:
1. Задача, приводящая к понятиюопределённого интеграла.
2. Понятие определённого интеграла.
3. Свойства определённого интеграла.
4. Вычисление определённого интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
5. Методы вычисления определённого
интеграла.
1) непосредственное интегрирование
2) метод замены переменной
3) интегрирование по частям
6. Вычисление площадей плоских фигур.
3. Задача о вычислении площади плоской фигуры
Решим задачу о вычислении площадифигуры, ограниченной графиком функции
y f x , отрезками прямых x b,
и осью Ox.Такую фигуру называют
криволинейной трапецией
x a
a
xi 1 xi
b
4. Задача о вычислении площади плоской фигуры
Разобьем отрезок a, b на n частейточками a x0 , x1, x2 ,..., xi 1, xi ,..., xn b .
При этом криволинейная трапеция
разобьется на n элементарных
криволинейных трапеций. Заменим
каждую такую криволинейную трапецию
прямоугольником с основанием
xi xi xi 1 , где i 1,2,.., n и высотой
h f xi , где xi -произвольно выбранная
внутри отрезка xi 1, xi точка.
5. Задача о вычислении площади плоской фигуры
Площадь прямоугольника будетравна Si f xi xi , а площадь
всей криволинейной фигуры
приблизительно будет равна
сумме площадей всех
прямоугольников:
n
n
i 1
i 1
S Si f xi xi .
6. Определенный интеграл
Определение.n
Выражение f xi xi , где
i 1
xi xi xi 1 , называется
интегральной суммой функции
f x на отрезке a, b .
7. Определенный интеграл
Определение.Если существует конечный
n
lim
f xi xi ,
max xi 0 i 1
не зависящий ни от способа разбиения
отрезка a, b на части, ни от выбора точек
xi xi 1 , xi , то этот предел называется
определенным интегралом функции f x на
отрезке a, b и обозначается f x dx .
b
a
8. Определенный интеграл
Замечание.С геометрической точки
зрения при f x 0
b
f x dx равен площади
a
криволинейной трапеции
9. Теорема о существовании определенного интеграла
Теорем а.Если функция f x непрерывна на
отрезке a, b , то
n
f xi xi
lim
max xi 0 i 1
существует и конечен, т.е.
b
существует и конечен f x dx .
a
10. Свойства определенного интеграла
a1. f x dx 0 ;
a
b
2. dx b a ;
a
b
a
3. f x dx f x dx ;
a
b
b
4. f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
a
b
b
a
a
11. Свойства определенного интеграла
bb
a
b
a
5. Kf x dx K f x dx ;
c
b
a
c
6. f x dx f x dx f x dx ;
a
b
7. f x dx 0 , если f x 0 .
a
12. Вычисление определенного интеграла
Теорема.Пусть F x - первообразная функции
b
f x . Тогда f x dx F b F a .
a
Эту формулу называют формулой
Ньютона-Лейбница, из которой следует,
что для вычисления определенного
интеграла необходимо найти
первообразную подынтегральной
функции.
13. Вычислите интегралы:
51).
xdx
2
10,5
2).
2
sin xdx
4
0
3).
1
x dx
0
64
3
1
dx
2
4). cos x
0
4
1
14.
15.
16.
17.
18. Пример
Вычислить3
e
0
x .
3 dx
x
1
1
3
3 x
x
e 3 dx e 3 dx 3e 3
0
0
3 e
1
3
1
1 3
0
3 e 3 e 3
0
1 e
1
1 3 1 3
e
e
19. Вычисление интеграла
Теорем а (Замена перем енной вопределенном интеграле).
Пусть f x непрерывна на a, b , а
функция x t непрерывна
вместе со своей производной t
на отрезке , , причем a ,
b . Тогда
b
a
f x dx f t t dt .
20.
21. Метод замены переменной в определённом интеграле
22. МЕТОД замены переменной в определённом интеграле
23. Пример
x 1 tx 1 t 2
3
2 t 2 1
xdx
2
x
t
1, dx 2tdt
0 x 1
1
x 0, t 1
x 3, t 2
t
2tdt
2
t
8 1
2 t 1 dt 2 t 1 dt 2 t 2 2 1
1
1
3 3
3 1
2
2
2
2
3
1 7
4 8
8
2 2 1 2 1 2
3 3
3 3
3
24.
Теорема (Интегрирование почастям в определенном
интеграле).
Если функции u u x , v v x и их
производные u x и
v x непрерывны на отрезке a, b ,
b
b
a
a
b
то udv u v vdu .
a
25. Пример
dxu ln x, du
e e dx
x x ln x 1 x
ln xdx
x
1
1
dv dx, v x
e
e
e
e
x ln x 1 dx e ln e ln 1 x 1 e e 1 1
1
26. Геометрические приложения определенного интеграла
27. Вычисление площадей
Площадь фигуры в декартовыхкоординатах.
y
y f x
x
0
a
b
Площадь такой
фигуры, называемой
криволинейной
трапецией,
вычисляют по
b
формуле S f x dx .
a
28.
Формулы вычисления площади с помощьюинтеграла
у
у
у=f(x)
у=f(x)
x
х
a
b
а
b
29.
Формулы вычисления площади спомощью интеграла
у
у=f(x)
S= S1+ S2
х
S2
a
c
S1
b
30. С помощью определенного интеграла записывают формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунках
1)2)
3)
b
b
S f ( x )dx
S f ( x )dx
4)
5)
b
S g( x ) f ( x ) dx f ( x ) g( x ) dx
a
S f ( x ) g( x ) dx
a
a
c
b
c
a
6)
b
S g( x ) f ( x ) dx
a
c
b
a
c
S f ( x )dx g ( x )dx
31.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиямиу = х2 + 2, х = 1, х = -2
у
1
S ( x 2)dx
у = х2 + 2
2
2
3
x
1
S ( 2 x) 2
3
х = -2
х=1
х
-2
1
8
S 2 ( 4)
3
3
S = 9 ед.кв
0
1
32.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиямиg(x) = 3 – х, f(x) = 0,5х2 + 2х + 3, х = -3, х = 2, у = 0
у
Sф = S1 + S2
0
S1 (0,5 x 2 2 x 3)dx
3
3
2
x2 2
S 2 (3 х)dx (3х ) 0
2
0
S2
S1
-3
Sф = 4,5(кв.ед)
0
х
2
33. Вычисление площадей
Площадь фигуры, ограниченной графикаминепрерывных функций y f 1 x , y f 2 x , f 1 x f 2 x и
двумя прямыми x a и x b определяется по
b
формуле S f 2 x f1 x dx
a
34. Примеры
Вычислить площадь фигуры, ограниченнойлиниями
и
2
2
y x 1
y x 2x 3
35. Продолжение
ПолучимS x 2 x 3 x 1 dx 2 x 2 x 4 dx
1
2
1
2
2
2
2
1
x
x
2 x x 2 dx 2
2
x
3
2
2
2
1 1 8 4
8
1 1
2 2 4 2 2 6
3
3 2
3 2 3 2
1
2
3
2
1 9
2 3 8 2 9
2 2
36.
СПАСИБО ЗАВНИМАНИЕ!