Построение сечений многогранников

1. Построение сечений многогранников

Урок геометрии
в 10 классе
Учитель математики СОШ №115 г Перми
Арапова Т.А.

2. Основные методы построения сечений

Метод,
основанный на
использовании
аксиом и теорем
стереометрии
Метод
внутреннего
проектирования
Метод
следов
Х
Учитель математики Арапова Т.А.

3. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Для построения сечений необходимо помнить о следующих
аксиомах и теоремах стереометрии:
В
α
А
А2. Если две точки прямой
лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой
плоскости.
Учитель математики Арапова Т.А.

4. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Для построения сечений необходимо помнить о следующих
аксиомах и теоремах стереометрии:
а
А
А3. Если две плоскости имеют
общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой
лежат все общие точки этих
плоскостей.
α
β
Учитель математики Арапова Т.А.

5. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Для построения сечений необходимо помнить о следующих
аксиомах и теоремах стереометрии:
Т3. Если две параллельные
плоскости пересечены третьей,
линии их пересечения
параллельны.
α
β
γ
Учитель математики Арапова Т.А.

6. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Пример 1. Построить сечение через точки К,Р,М.
В1
Р
C1
М
А1
Построение:
1. РК
2. МК
3. МР
D1
МРК – искомое сечение
Комментарии:
В
А
К
С
Точки М
Р ии КР
К лежат
лежат вв плоскости
плоскости CDD
АDD
А1В111С
C
А11D, 1 ,
искомое сечение пересекает правую
переднюю
верхнюю
грань
грань
грань
по
РК по МК
МР
D
Учитель математики Арапова Т.А.

7. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Пример 2. Построить сечение, проходящее через точку Р и параллельное ВDD1В1 .
В1
Р
C1
Р1
А1
Построение:
1. РР1║ D1В1
2. РР2║ D1D
D1
3. Р1Р3║ D1D
4. Р2Р3║ DВ
РР1Р3Р2 – искомое сечение
В
А
Р2
Р3
D
Комментарии:
Искомое сечение ║ плоскости ВDD1В1 ,
С
значит линии пересечений нижней
верхней
левой
передней
грани
грани
грани
грани
и ии
и данных
данных
плоскостей
плоскостей
должны
должны
быть
быть
параллельны.
Учитель математики Арапова Т.А.

8. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

Пример 3. Построить сечение, проходящее через точки МРК .
Построение:
В1
C1
А1
D1
М
Р
О1
А
В
К О
3
О4
С
О2
D
1. МР
2. РК
3. МР∩АD=О1
4. О1К∩СВ=О2
5. РК∩ВВ1=О3
6. О2О3∩СС1=О4
7. МО4
РКО2О4М – искомое сечение
Комментарии:
Точки О
Прямые
М2ииРК
К
иО
РРО
илежат
лежат
лежат
вввплоскости
в
плоскости
плоскости
плоскости
на левой
АА
АВCD
D
грани
DА
1лежат
4 ВВ
1 лежат
11В
11ВА
искомое
С
искомое пересекает
сечение
переднюю
левую
нижнюю
1В1ВС , сечение
грань по КО
пересекает
МРзаднюю
КР
грань по О2О4
2
Учитель математики Арапова Т.А.

9. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
Построение:
1. РК
РМ
КМ
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
Учитель математики Арапова Т.А.

10. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
2. РМ∩DС=О2
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
Точки М и Р лежат на правой грани ,
искомое сечение пересекает грань
по МР
Учитель математики Арапова Т.А.

11. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩АА1=О2
3. КО1∩DC=О3
3. КО1∩CC1=О4
C1
А1
Р
В1
М
С
D
О1
К
А
В
Комментарии:
Обе прямые лежат на правой грани
Учитель математики Арапова Т.А.

12. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
4. РО3
4. МК
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Обе прямые лежат на нижней
грани. Искомое сечение пересекает
грань по КО3
Учитель математики Арапова Т.А.

13. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DА=О2
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Точки М и О3 лежат на задней грани
искомое сечение пересекает грань
по МО3
Учитель математики Арапова Т.А.

14. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
О3
D
С
О1
6. KО4∩AB=О6
6. KО4∩AA1=О5
К
А
В
О4
Комментарии:
М О3 и DD1 лежат на задней грани
Учитель математики Арапова Т.А.

15. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
М
О5
О3
D
С
О1
К
А
В
О4
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
6. KО4∩AA1=О5
7. РО5
7. О3О5
7. МО5
Комментарии:
K О4 и AA1 лежат на левой грани.
Искомое сечение пересекает
грань по КО5
Учитель математики Арапова Т.А.

16. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
М
О5
О3
D
С
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
6. KО4∩AA1=О5
7. РО5
О1 РМО КО М– искомое сечение
3
5
К
А
В
Комментарии:
О4
Учитель математики Арапова Т.А.

17. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИТЕ САМИ Построить сечение
через точки К,Р,М.
В1
Р
А1
C1
D1
М
В
А
С
К
Учитель математики Арапова Т.А.
D

18. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИТЕ САМИ Построить сечение
через точки К,Р,М.
В1
СВЕРИМСЯ!
Р
А1
C1
D1
М
В
А
С
К
Учитель математики Арапова Т.А.
D

19. Метод следов

След секущей плоскости –
это прямая, по которой
А1
секущая плоскость
пересекает плоскость
какой-либо грани
многогранника.
В1
C1
D1
α
В
Плоскость сечения α
пересекает
плоскость основания АВСD
по прямой а
А
а – след секущей плоскости α
Учитель математики Арапова Т.А.
С
D
а

20. Метод следов

Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК .
1. Р→Р1, О→В, К→К1
2. Р1К1∩КР=Х
3. ВК1∩КО=У
В1
C1
О
А1
D1
Р
К
В
С
Р1
А
Х
D
К1
У
Комментарии: ХСпроецируем
насекущей
плоскость
АВСD.
Упринадлежит
принадлежитР,К,О
следу
следу
секущей
плоскости.
плоскости.
Учитель математики Арапова Т.А.

21. Метод следов

Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК .
1. Р→Р1, О→В, К→К1
2. Р1К1∩КР=Х
3. ВК1∩КО=У
4. ХУ
5. АD∩ХУ=Т
6. ТО∩АА1=О1
7. КО1∩ВВ1=О2
D1
C1
О
А1
B1
Р
О1
К
D
О2
С
Р1
А
Т
Х
В
К1
У
Комментарии: ХУ
Искомая
- след секущая
секущей плоскость
плоскости пересекает левую
грань по ОО
переднюю
грань
по
КОматематики
Учитель
Арапова Т.А.
1
1

22. Метод следов

Пример 4. Построить сечение, проходящее через точки ОРК .
1. Р→Р1, О→В, К→К1
2. Р1К1∩КР=Х
3. ВК1∩КО=У
4. ХУ
5. АD∩ХУ=Т
6. ТО∩АА1=О1
7. КО1∩ВВ1=О2
8. РО2∩СС1=О3
9. О2О
D1
C1
О
О3
А1
B1
Р
О1
К
ОО3О2О1– искомое сечение
D
О2
С
Р1
А
Т
Х
В
К1
У
Комментарии:
Искомая секущая плоскость пересекает правую
грань по О3О2
Учитель математики Арапова Т.А.

23. Метод внутреннего проектирования

Пример
Построить
сечение
через точкисечений
К,Р,О.
Метод5.удобен
при
построении
в тех случаях,
1.
АА1РР
когда
почему-либо
неудобно находить след секущей
1
плоскости.
2. DD1ОО1
В1
О
C1
А1
D1
К
Р
В
Комментарии: Плоскость АА
DD11РР
ОО1,1,
определяется параллельными
прямыми АА
DD11 ии РР
OO11
О1
С
Р1
А
Учитель математики Арапова Т.А.
D

24. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
М
А1
D1
К
Р
В
О1
С
М1
Комментарии:
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

25. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
М
А1
D1
К
Р
М2
В
О1
С
М1
Комментарии:
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

26. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
М
А1
D1
К
Р
М2
S
В
Комментарии: Точка S принадлежит
искомому сечению
А
Учитель математики Арапова Т.А.
О1
С
М1
Р1
D

27. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
М
5. ОМ2 ∩ DD1=S
H
А1
6. SP ∩ CC1=H
D1
К
Р
М2
S
В
Комментарии:
Точки S и Р лежат
на правой грани , искомое сечение
пересекает грань по SР
О1
С
М1
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

28. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
L О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
6. SP ∩ CC1=H
7. OH ∩ BB1=L
М
H
А1
D1
К
Р
М2
S
В
Комментарии:
Точки O и H лежат
на задней грани , искомое сечение
А
пересекает грань по OH
Учитель математики Арапова Т.А.
О1
С
М1
Р1
D

29. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
L О
C1
4. КР ∩ ММ1=М2
М
5. ОМ2 ∩ DD1=S
H
А1
6. SP ∩ CC1=H
D1
К
7. OH∩ BB1=L
Р
М2
8. SK
S
В
Комментарии:
Точки К и S лежат
на передней грани , искомое
сечение пересекает грань по SK
О1
С
М1
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

30. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
L О
C1
V
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
М
H
А1
6. SP ∩ CC1=H
D1
К
7. OH∩ BB1=L
Р
М2
8. SK
S
9. KL ∩ AB1=V
В
Комментарии:
Точки K и L лежат
на левой грани , искомое сечение
пересекает грань по VK
О1
С
М1
А
Учитель математики Арапова Т.А.
Р1
D

31. Метод внутреннего проектирования

Пример 5. Построить сечение через точки К,Р,О.
1. АА1РР1
2. DD1ОО1
3. АА1РР1 ∩ DD1ОО1 =ММ1
В1
6. SP ∩ CC1=H
7. OH∩ BB1=L
C1
V
4. КР ∩ ММ1=М2
5. ОМ2 ∩ DD1=S
L О
М
H
А1
D1
К
Р
М2
8. SK
S
9. KL ∩ AB1=V
10. OV
KVOHS-искомое сечение
В
Комментарии:
Точки O и V лежат
на верхней грани, искомое сечение
А
пересекает грань по VO
Учитель математики Арапова Т.А.
О1
С
М1
Р1
D

32. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РК
РМ
РМ
C1
А1
Р
В1
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
Эти точки лежат в разных
гранях!
Учитель математики Арапова Т.А.

33. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
2. РМ∩DС=О2
М
С
D
К
А
В
Комментарии:
РМ и DС – скрещивающиеся
прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

34. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩АА1=О2
3. КО1∩DC=О3
3. КО1∩CC1=О4
C1
А1
Р
В1
М
С
D
О1
К
А
В
Комментарии:
Это – скрещивающиеся прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

35. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
4. РО3
4. МК
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Эти точки лежат в разных
гранях!
Учитель математики Арапова Т.А.

36. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DА=О2
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
D
О3
С
О1
К
А
В
Комментарии:
Это – скрещивающиеся прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

37. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
C1
А1
Р
В1
М
О3
D
С
О1
6. KО4∩AB=О6
6. KО4∩AA1=О5
К
А
В
О4
Комментарии:
Это – скрещивающиеся прямые!
Пересекаться они не могут!
Учитель математики Арапова Т.А.

38. Метод, основанный на использовании теорем и аксиом стереометрии

РЕШИМ ВМЕСТЕ. Построить сечение через точки К,Р,М.
D1
C1
А1
Р
В1
М
О5
О3
D
С
О1
К
А
В
О4
Построение:
1. РМ
2. РМ∩ВС=О1
3. КО1∩DC=О3
4. МО3
5. МО3∩DD1=О4
6. KО4∩AA1=О5
7. РО5
7. О3О5
7. МО5
Комментарии:
Эти точки лежат в разных
гранях!
О5
Учитель математики Арапова Т.А.