Приложения производной. (Тема 4)

1. Приложения производной

2. Геометрический смысл производной

Значение производной
функции в точке равно
угловому коэффициенту
касательной,
проведенной в данной
точке к графику этой
функции:
f ( x0 ) kкасат tg 0

3. Уравнение касательной

Уравнение касательной
к графику функции f(x) в
точке М (х0,у0) имеет
вид

4. Дифференциал функции

Дифференциалом функции у = f(x) в точке х0
называется линейная часть приращения
дифференцируемой функции в этой точке.
Обозначение: dy
Cимволически:
dy = f´(x)·Δх
или
dy = f´(x)·dх

5. Приближенные вычисления

Формула для приближенных вычислений с помощью
дифференциала (производной) имеет вид

6. Правило Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(х) определены и
дифференцируемы в некоторой окрестности точки а за
исключением, быть может, самой точки a. Кроме того,
пусть lim f ( x) lim g ( x) 0, причем g'(х) ≠ 0 в указанной
x a
x a
окрестности точки а. Тогда если существует предел
f ' ( x) (конечный или бесконечный)
отношения
lim
x a
g ' ( x)
f ( x)
то существует и предел ,lim
x a g ( x )
причем справедлива формула
Правило Лопиталя можно применять неоднократно

7. Ряд Тейлора

Функцию f(x), имеющую (n+1) производных в точке
х = х0, можно разложить в степенной ряд по формуле
Тейлора

8. Ряд Маклорена

Функцию f(x), имеющую (n+1) производных в точке
х = 0, можно представить по формуле Маклорена:

9. Разложения функций

Разложения трансцендентных функций по формуле
Маклорена:

10. Схема исследования функции

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Область определения
Четность-нечетность
Пересечение с осями координат
Непрерывность, асимптоты графика
Промежутки монотонности и
экстремумы (с помощью у )
Промежутки выпуклости графика и
точки перегиба (с помощью у )
График по результатам исследования

11. Асимптоты графика

Вертикальные (х = а): среди точек
разрыва второго рода из условия
lim f ( x)
x a
Наклонные (у = кx + b)
и горизонтальные (у = b):
f ( x)
lim
k
x
x