Динамические модели с бесконечным плановым периодом

1. 4. Динамические модели с бесконечным плановым периодом

2.

В большинстве рассмотренных выше моделей:
будущее, находящееся за пределами заранее
установленного планового периода, практически не
принимается во внимание.
В некоторых случаях удается доказать теорему о
длительности планового периода;
в других случаях – выбор тех или иных «конечных»
условий.

3.

Далее рассматриваются модели, в которых
длительность планового периода предполагается
бесконечной.
Для получения решения в таких моделях необходимо
дополнительное ограничение: допущение о
стационарности.
В простейшем случае предполагается:
все функции экономического эффекта, выбираемой
программы и внешние условия (например, объем
спроса) для каждого из плановых отрезков
одинаковы.

4.

В реальной действительности стационарность редко
сохраняется в течение длительных периодов
возникает вопрос о практической значимости
моделей, основанных на предположении о
стационарности в течение бесконечного планового
периода.
Обоснование значимости – на примерах ситуаций
двух типов.

5.

1. Использование динамических оптимизационных
моделей для улучшения текущих оперативных
решений (например, о пополнении запасов и
разработке графиков производства).
Пример.
Ежедневный контроль запасов и пополнение запасов
(закупка) при достижении некоторого критического
значения уровня запасов.
Если спрос, а также затраты на покупку и хранение
устойчивы в течение 12 месяцев, то один из
возможных подходов – построение оптимальной
программы для планового периода длительностью 365
дней и использование этой программы в течение
нескольких первых месяцев.
Модель с бесконечным плановым периодом может дать хорошие
результаты и требует намного меньших объемов вычислений

6.

2. Использование динамических оптимизационных
моделей при принятии повторяющихся решений о
распределении капитальных вложений (например, о
замене дорогостоящего оборудования).
При принятии решения о приобретении нового
оборудования учет затрат на его будущие повторные
замены может привести к лучшим решениям, чем
отказ от учета будущего.

7. Проблема выбора оптимального решения при бесконечном плановом периоде

Конечный плановый период:
• в начале любого отрезка необходимо знать
состояние системы и число оставшихся отрезков;
• об оптимальности программы можно судить по
сумме конечной последовательности значений
локального дохода.
Бесконечный плановый период:
любая программа (стратегия) обусловливает
бесконечную последовательность значений локального
дохода
необходим способ сравнения стратегий.

8.

Если одна стратегия обеспечивает бóльший эффект,
чем другая, для любой фиксированной длительности
планового периода, то результат сравнения
очевиден.
Проблема:
как выбрать решение, если одна и та же стратегия
представляется лучшей для одной длительности
планового периода и худшей для другой.

9.

Пример.
Требуется выбрать одну из стратегий,
характеризующихся следующими значениями
локального дохода (прибыли) для последовательности
временных отрезков, начиная с настоящего момента:
Стратегия
Отрезок
1
2
3
4
5
6
…
A
3
2
1
3
2
1
…
B
3
1
3
1
3
1
…
C
1
6
–1
1
6
–1
…
D
8/3
2
2
2
2
2
…
E
1
3
1
3
1
3
…
F
1
1
1
1
1
1
…
G
4
0
0
4
0
0
…

10.

Разумно сразу исключить вариант F, т. к. стратегия А
для каждого из отрезков обеспечивает лучшие (или
по меньшей мере не худшие) результаты –
А доминирует над F.
Можно также обосновать исключение варианта Е, т. к.
стратегия D для любого отрезка обеспечивает
бóльшую совокупную прибыль (прибыль с начала
планового периода).
Вопрос: по какому принципу выбрать лучший из
вариантов А, В, С, D и G?

11.

Стратегия
Отрезок
1
2
3
4
5
6
…
A
3
2
1
3
2
1
…
B
3
1
3
1
3
1
…
C
1
6
–1
1
6
–1
…
D
8/3
2
2
2
2
2
…
G
4
0
0
4
0
0
…
Прибыль для отрезка 1 в случае варианта G превышает прибыль
всех остальных вариантов.
На конец отрезка 2 наиболее эффективным является вариант С.
Для всех четных отрезков вариант D обеспечивает бóльшую
совокупную прибыль с начала планового периода, чем
вариант В.
Для отрезка 3 вариант В обеспечивает совокупную прибыль,
равную 7 ед. по сравнению с 6 ед. для вариантов А и С и
20/3 ед. для варианта D. И т. п.

12.

Утверждать, что один из вариантов А, В, С, D или G
является лучшим, можно только на основе
дополнительных допущений.
На основе того или иного допущения –
формулы, позволяющие преобразовать бесконечную
последовательность значений локального дохода в
одно число (критерий), характеризующее
«относительное качество» соответствующей
программы (стратегии).

13. Критерии качества стратегий

1. Средняя величина дохода за отрезок.
На практике этот критерий используется чаще всего
в случаях, когда экономический эффект измеряется
уровнем затрат.
Тогда рекомендуется правило выбора: следует
выбрать стратегию, которой отвечают наименьшие
средние затраты за отрезок.
2. Интегральный доход, дисконтированный к
настоящему моменту времени (интегральный
дисконтированный доход).
При использовании этих двух критериев не
всегда выбираются одинаковые стратегии!

14.

3. Эквивалентный средний доход.
При использовании этого критерия часто удается
определить вид оптимальной стратегии; затем
можно вычислить конкретные численные значения:
среднего дохода за отрезок, или интегрального
дисконтированного дохода.
Этот критерий в некотором смысле аналогичен
широко применяемому в отечественной практике
критерию приведенных затрат.

15. Критерий среднего дохода за отрезок

Допущение: для ЛПР имеет одинаковое значение
получение единицы дохода на любом из отрезков.
Это означает: получение дохода на более раннем
отрезке не дает каких-либо преимуществ по
сравнению с его получением позже.
Целесообразно рассмотреть средний доход за
отрезок при бесконечно возрастающем числе
отрезков, выбирая вариант с наибольшим средним
доходом.

16.

Рассмотрим стратегии из предыдущего примера.
Стратегия А:
при n = 1 средний доход равен 3/1 = 3;
при n = 2 средний доход равен (3+2)/2 = 5/2;
при n = 3 средний доход равен (3+2+1)/3 = 2; …
Результаты вычислений среднего дохода:
Стратегия
Число отрезков
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
A
3
5/2
2
9/4
11/5
2
15/7
17/8
2
…
B
3
2
7/3
2
11/5
2
15/7
2
19/9
…
C
1
7/2
2
7/4
13/5
2
13/7
19/8
2
…
D
8/3
7/3
G
4
2
20/9 13/6 32/15 19/9 44/21 25/12 56/27
…
4/3
…
2
8/5
4/3
12/7
3/2
4/3

17.

Можно вывести формулы для общих членов
последовательностей средних доходов за отрезок.
Стратегия А:
при n = 3k + 1, k = 0, 1, 2, …
3 3 2 1 k
3 6k
;
1 3 k
1 3k
3 6k
lim
2
k 1 3k
при n = 3k + 2, k = 0, 1, 2, …
5 3 2 1 k
5 6k
;
2 3 k
2 3k
при n = 3k, k = 1, 2, …
6 3 2 1 k
6 6k
2.
3 3 k
3 3k
5 6k
lim
2
k 2 3k

18.

Стратегия В:
при n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, …
3 3 1 k
3 4k
;
1 2 k
1 2k
при n = 2k, k = 1, 2, …
4 3 1 k
4 4k
2.
2 2 k
2 2k
3 4k
lim
2
k 1 2k

19.

Стратегия С:
при n = 3k + 1, k = 0, 1, 2, …
1 1 6 1 k
1 6k
;
1 3 k
1 3k
1 6k
lim
2
k 1 3k
при n = 3k + 2, k = 0, 1, 2, …
7 1 6 1 k
7 6k
;
2 3 k
2 3k
при n = 3k, k = 1, 2, …
6 1 6 1 k
6 6k
2.
3 3 k
3 3k
7 6k
lim
2
k 2 3k

20.

Стратегия D:
при любых n = 1, 2, …
8 3 2 n 1
2 3 2n
2
2
.
n
n
3n
2
lim 2
2
n
3n

21.

Стратегия G:
при n = 3k + 1, k = 0, 1, 2, …
4 4 0 0 k
4 4k
;
1 3 k
1 3k
4 4k
4
lim
k 1 3k
3
при n = 3k + 2, k = 0, 1, 2, …
4 4 0 0 k
4 4k
;
2 3 k
2 3k
при n = 3k, k = 1, 2, …
4 4 0 0 k
4 4k
4
.
3 3 k
3 3k
3
4 4k
4
lim
k 2 3k
3

22.

Итог:
для стратегий А, В, С и D величина среднего дохода
за отрезок стремится к 2 при n → ∞ ;
для стратегии G эта величина стремится к 4/3.
Вывод:
в предположении об отсутствии временнóй
предпочтительности дохода стратегии А, В, С и D
являются одинаково предпочтительными (несмотря
на то, что для любого конечного планового периода
их эффективность различна);
стратегия G – менее предпочтительной.

23.

Очевидный недостаток критерия среднего дохода за
отрезок: полная нечувствительность этого критерия
к величине дохода за конечное число
отрезков.
Иллюстрация.
Пусть имеется вариант А', показатели которого
полностью идентичны показателям варианта А, за
исключением того, что прибыль на отрезке 1 для А'
равна не 3, а 100 ед.
С точки зрения критерия среднего дохода за отрезок
варианты А и А' являются одинаково
предпочтительными.

24.

Другой недостаток:
этот критерий неприменим, если при бесконечном
возрастании числа отрезков бесконечно возрастает и
средний доход за отрезок.
Необходимое условие применения данного критерия:
для сравниваемых последовательностей должен
существовать конечный предел среднего дохода за
отрезок.

25. Критерий интегрального дисконтированного дохода

Подход к соизмерению бесконечных
последовательностей:
вычисление так называемых интегральных
показателей дохода, дисконтированных к настоящему
моменту времени.

26.

Пусть последовательность значений дохода имеет вид
R1, R2, R3, … , Rn, …
Интегральный дисконтированный доход равен
R1 R2 R3
2
где
i
1
100
i
–
n 1
Rn 1
t 1
Rt , (4.1)
t 1
1
коэффициент
дисконтирования за отрезок,
процентная ставка за отрезок.
Допущение:
для данного предприятия может быть определено
адекватное значение i.

27.

Обоснование допущения – учет внешних условий.
Пример.
Пусть предприятие может как брать взаймы, так и
ссужать любую сумму денег при оплате по правилу
сложных процентов при фиксированной процентной
ставке, равной i% за отрезок.
Тогда, взяв взаймы 1 д. е.,
через год необходимо вернуть (1 + i/100) д. е.,
через два года – (1 + i/100)2 д. е., ………
через n лет – (1 + i/100)n д. е.
Аналогично:
1 д. е., которая будет получена через n лет, в
настоящий момент эквивалентна (1 + i/100)–n д. е.

28.

При данном подходе предполагается: полезность
денежных поступлений и затрат в разные моменты
времени неодинакова
для перераспределения дохода во времени ЛПР,
возможно, на одних отрезках пожелает брать ссуды,
а на других – давать взаймы.
Какова бы ни была система предпочтений денег во
времени, наилучший выбор – это выбор варианта,
которому соответствует наибольший интегральный
дисконтированный доход.

29.

В пользу критерия интегрального дисконтированного
дохода – то обстоятельство, что доход для
отдаленного будущего умножается на малые
коэффициенты дисконтирования и, соответственно, в
меньшей степени влияет на принимаемое решение.
Иллюстрация:
коэффициенты дисконтирования
n
n
i
1
.
100
i, %
5
10
1
0,952
0,909
5
0,784
0,621
10
0,614
0,386
15
0,481
0,239
20
0,377
0,149
50
0,087
0,009
n

30.

Вопрос: всегда ли является конечной сумма
бесконечного числа слагаемых в формуле (4.1)?
Пусть значения дохода R для всех отрезков одинаковы.
Тогда интегральный дисконтированный доход (ИДД)
равен
ИДД R R R
2
n 1
R
t 1
R
t 1
геометрическая прогрессия;
при 0 ≤ α < 1
R
ИДД
.
1

31.

Пример.
Вычислим ИДД для стратегий из предыдущего
примера, предполагая, что 0 ≤ α < 1.
Для стратегии А:
3 2 1 2 3 3 2 4 1 5
3 2 2
2
3
2
1 3 6
.
3
1
Для стратегии В:
3 1 3 2 1 3 3 4 1 5
3
3 1
.
2
1
2
4

32.

Для стратегии С:
1 6 1 2 1 3 6 4 1 5
1 6 2
2
1
6
1 3 6
.
3
1
Для стратегии D:
8
8
2
3
2 2 2 2 2 3
3
3
8
2
.
3 1
Для стратегии G:
4 0 0 2 4 3 0 4 0 5 4 6
4
4 1
.
3
1
3
6

33.

Сопоставление стратегий:
ИДД(А) – ИДД(В) =
3 2 2 3
3
2
1
1
3 2 2 1 3 1 2
2
1 1 1
1 1
2
0
при 0 ≤ α < 1
ИДД(А) > ИДД(В);
стратегию В можно исключить как доминируемую.

34.

ИДД(А) – ИДД(С) =
3 2 2 1 6 2
3
3
1
1
2 4 2 2
2 1
0
3
2
1
1
при 0 ≤ α < 1
ИДД(А) > ИДД(С);
стратегию С можно исключить как доминируемую.

35.

ИДД(А) – ИДД(D) =
3 2 2 8
2
3
1
3 1
3 3 2 2 8 1 3 6 1 2
2
3 1 1
1 1 2
0
2
при 0 ≤ α < 1
3 1
ИДД(А) > ИДД(D);
стратегию D можно исключить как доминируемую.

36.

ИДД(А) – ИДД(G) =
3 2 2
4
3
3
1
1
0 при 2 1 1 ,
2
2 1
0 при 0 2 1 ,
3
1
0 при 2 1 .
2 1 1 стратегия А более предпочтительна,
чем G;
при 0 2 1 стратегия G более предпочтительна,
чем A;
при 2 1 стратегии А и G одинаково
предпочтительны.
при

37.

Если процентная ставка очень высока (значение α
мало), то получение при варианте G 4 ед. прибыли
на первом отрезке оказывает бóльшее влияние, чем
получение более поздних выгод при варианте А.
В общем случае:
чем меньше α, тем больше значение ранних
эффектов;
в пределе при α = 0 оказывает влияние только
прибыль первого отрезка R1.

38.

При дисконтировании могут разрешиться проблемы,
возникающие в ряде случаев при применении
критерия среднего дохода, связанные с бесконечным
возрастанием среднего дохода за отрезок.
Но: и сумма ряда (4.1) не всегда конечна.

39. Критерий эквивалентного среднего дохода

Это подход, связывающий понятия средних и
дисконтированных значений.
Основан на идее построения бесконечной
последовательности значений дохода, для которой
• значение ИДД является таким же, как для
исходной последовательности;
• значения дохода (до дисконтирования) на всех
отрезках одинаковы.
Это общее значение интерпретируется как
эквивалентный средний доход данной
последовательности.

40.

Пусть ИДД для стратегии X при некотором
фиксированном значении α составляет Р(α).
Рассмотрим новую последовательность, в которой
недисконтированный доход для любого отрезка n
равен
Rn = (1 – α)∙P(α).
(4.2)
Для этой последовательности
R1 R2 2 R3 1 P 1 2
1 P
1
P .
1
Последовательность (4.2) характеризуется тем же
значением ИДД, что и стратегия X, а величина
(1 – α)∙P(α) есть эквивалентный средний доход.

41.

При любом фиксированном значении α, 0 ≤ α < 1,
использование критерия эквивалентного среднего
дохода приводит к выбору тех же вариантов, что и
использование критерия интегрального
дисконтированного дохода.
Причина:
значение эквивалентного среднего дохода (ЭСД)
получается путем умножения ИДД на коэффициент
(1 – α), одинаковый для всех стратегий.

42.

Пример.
Вычислим ЭСД для стратегий из предыдущего
примера.
3 2 2
3 2 2
1
ЭСД А
,
3
2
1
1
3
3
1
ЭСД В
,
2
1
1
1 6 2
1 6 2
1
ЭСД С
,
3
2
1
1
2
8
8
ЭСД D
1 1 2 ,
3
3 1
4
4
1
ЭСД G
.
3
2
1
1

43.

Важно:
во всех случаях, когда средний доход за отрезок
определен (предел конечен), его можно получить из
формулы ЭСД предельным переходом при α → 1-0.
Для рассматриваемого примера при α = 1:
3 2 2
ЭСД А
2,
2
1 1
3
ЭСД В
2,
1 1
1 6 2
ЭСД С
2,
2
1 1
8
ЭСД D 1 2
2,
3
1
4
4
ЭСД G
.
2
3
1 1
ЭСД не всегда
определен при α = 1

44.

С точки зрения критерия эквивалентного среднего
дохода при α = 1 варианты А, В, С и D в равной
степени предпочтительны.
Действительно ли это так?
Окончательный ответ – за ЛПР.
Можно привести веские доводы в пользу того, что
при α = 1
оптимальной следует считать стратегию А;
стратегии С и D – близкими к оптимальным;
стратегию В исключить из рассмотрения.

45.

Из
ИДД(А) – ИДД(В) =
1 1
2 1
,
ИДД(А) – ИДД(С) =
2
1
ИДД(А) – ИДД(D) =
1 1 2
3 1 2
2
,

46.

При значении α, близком к 1, дисконтированный доход
для варианта А больше, чем для вариантов В, С и D;
при α = 1 ИДД(А) – ИДД(С) = 0, и
ИДД(А) – ИДД(D) = 0,
варианты С или D почти
столь же хороши, как и вариант А;
при α = 1 ИДД(А) – ИДД(В) = 1/6
вариант В менее
предпочтителен и должен быть исключен (несмотря на
то, что ЭСД(А) = ЭСД(В) ).

47.

Выводы о выборе критерия оптимальности в
динамических моделях:
1) метод соизмерения последовательностей значений
дохода должен включать то или иное допущение о
предпочтительности денежных поступлений и затрат
во времени;
2) метод сведения бесконечных последовательностей к
некоторому конечному числу не обязательно
применим к любой такой последовательности;
3) даже если с помощью некоторого метода две
различные последовательности сводятся к одному и
тому же числу, соответствующие стратегии не
обязательно являются одинаково
предпочтительными, если учитывать другие
соображения экономического характера.

48. Модель восстановления с бесконечным числом этапов

Типичный пример модели восстановления – задача
замены оборудования.
Период восстановления начинается каждый раз,
когда заменяется оборудование (восстановление в
том смысле, что необходимо заново принимать
решение о сроке следующей замены).
Управляемые переменные – последовательные
интервалы времени между моментами замены.
Далее – построение и анализ общей модели.

49.

Пусть
момент восстановления можно выбирать из N
альтернативных вариантов, которым присвоены
индексы k = 1, 2, . . ., N;
если вариант k выбран в момент восстановления t, то
следующий момент восстановления наступит на
отрезке (t + k).
Обозначим
Rk – затраты варианта k при их оценке в начале его
периода восстановления.
Здесь – допущение о стационарности:
Rk не зависит от того, о каком именно
периоде восстановления идет речь.
Цель оптимизации – достижение минимума затрат

50.

Конечный плановый период.
Обозначим:
fn – интегральные дисконтированные затраты для
оптимальной стратегии восстановления, при
которой один из альтернативных вариантов
должен быть выбран за n отрезков до конца
планового периода.
Пусть выбран вариант k, тогда затраты составят Rk .
Если в следующий момент восстановления (на отрезке
(n – k)) также принимается оптимальное решение, то
дальнейшие затраты составят αk∙fn–k ,
где αk – коэффициент дисконтирования будущих
затрат к настоящему моменту.

51.

За n отрезков до конца планового периода
при n ≥ N оптимальной является стратегия,
определяемая рекуррентным соотношением
fn
min
k 1, 2 , , N
k
f n k Rk ,
0 1,
(4.3)
f0 0 ;
при n < N минимум отыскивается при k = 1, 2, ... , n.

52.

Сеть, изображающая рекуррентное соотношение (4.3)
при α = 1, n = 6, N = 3:
R3
R2
6
R1
5
R3
R2
R2
R1
4
R3
R1
3
R3
R2
R2
R1
2
R1
1
R1
0

53.

Иллюстрация.
В частности, если для всех плановых периодов
длительностью n отрезков значение k = 1 является
оптимальным, то из (4.3)
f n f n 1 R1 f n 2 R1 R1
f n 3 R1 R1 R1
R1 1 2 n 1 .

54.

Бесконечный плановый период.
Каждый раз, когда наступает очередной момент
восстановления, принятие решения осуществляется
в условиях бесконечного планового периода.
Можно доказать:
существует оптимальная стратегия, которая
является стационарной, т. е. в каждый момент
восстановления выбирается один и тот же вариант k.
Тогда при α ≠ 1 соответствующим обобщением (4.3)
является рекуррентное соотношение
f
min
k 1, 2, , N
k
f Rk ,
0 1.
(4.4)
Функциональное (экстремальное) уравнение

55.

В отношении экстремальных уравнений ставятся
вопросы:
1) имеется ли у данного уравнения конечное решение;
2) если имеется, то является ли это решение
единственным;
3) если решение единственно, то является ли f
максимальным значением дисконтированного дохода
для всех (не обязательно стационарных) стратегий.

56.

Уравнение (4.4) равносильно условию
f ≤ αkf + Rk ,
или, при α ≠ 1,
Rk
f
1 k
(4.5)
для всех k, причем хотя бы для одного значения k
должно выполняться строгое равенство.

57.

Уравнение (4.4) при α ≠ 1 имеет однозначное конечное
решение, равное
Rk
f
min
.
(4.6)
k
k 1, 2 , , N 1
Оптимальная стационарная стратегия соответствует
выбору любого k, которое позволяет получить
оптимальное значение f.
Замечание.
Минимизируемое выражение совпадает с ИДД для
стационарной стратегии:
Rk
ИДД Rk Rk Rk Rk
.
k
1
k
2k
3k

58.

При α = 1 уравнение (4.4) неприменимо по следующей
причине:
если допустить, что при любом k Rk > 0, то ни одно
конечное значение f не удовлетворяет (4.4)
(для некоторого k получим f = f + Rk –
невозможно при Rk > 0);
если допустить, что при любом k Rk = 0, тогда любое
конечное значение f удовлетворяет (4.4).

59.

Если в уравнении (4.4) заменить f на эквивалентный
средний доход
g = (1 – α)∙f ,
то после преобразований (4.6) примет вид
Rk
.
g
min
2
k
1
k 1, 2 , , N 1
(4.7)
Соотношение (4.7) можно использовать при 0 ≤ α ≤ 1:
• при 0 ≤ α < 1 стратегия, оптимальная согласно (4.6),
будет оптимальной и согласно (4.7);
• при α = 1 оптимальная стратегия определяется в
соответствии с
Rk
g
min
, 1.
(4.8)
k 1, 2 , , N k
Минимизация средних затрат за отрезок

60.

Одно из возможных направлений использования
соотношения (4.8) – стационарная модель
управления производством и запасами с
вогнутой функцией затрат.

61. Выпуклые и вогнутые функции

Функция g(x), определенная при целочисленных
значениях х, называется выпуклой, если
g(x+1) – g(x) ≥ g(x) – g(x– 1)
или
g x 1 g x 1
g x ,
2
и вогнутой, если
g(x+1) – g(x) ≤ g(x) – g(x– 1)
или
g x 1 g x 1
g x .
2

62.

Если g(x) – общая сумма затрат, то
• функция затрат будет выпуклой, если каждая
дополнительная единица продукции стóит не
меньше предыдущей;
• функция затрат будет вогнутой, если каждая
дополнительная единица продукции стóит не
больше предыдущей.

63.

Выпуклые функции затрат
g(х)
g(х)
g(х)
х
х
х
Вогнутые функции затрат
g(х)
g(х)
х
g(х)
х
х

64.

Примеры.
1) Пусть g(x) = a∙x + b.
Тогда
g x 1 g x 1
a x 1 b a x 1 b
2
2
ax b g x .
Вывод: линейная функция для любых х одновременно
является и выпуклой, и вогнутой.

65.

2) Пусть g(x) = a∙x2 + b.
Тогда
g x 1 g x 1
a x 1 2 b a x 1 2 b
2
2
2
ax
b g x при a 0 ,
2
ax a b
2
ax
b g x при a 0 .
Вывод: данная функция для любых х
• выпукла при неотрицательном а,
• вогнута при неположительном а.

66.

3) Пусть
0 при x 0 ,
g x
ax b при x 1 ,
где b ≥ 0.
Результаты примера 1):
при х >1 функция одновременно является и
выпуклой, и вогнутой.
При х = 1:
g x 1 g x 1
2a b 0
a b g x .
2
2
Вывод: данная функция для неотрицательных х
является вогнутой.

67.

4) Пусть
при 0 x w1 ,
a1 x b
при w1 x w2 ,
g x a1w1 a2 x w1 b
a1w1 a2 w2 w1 a3 x w2 b при x w2 .
Показать самостоятельно:
функция является
• выпуклой при а1 ≤ а2 ≤ а3 ,
• вогнутой при а1 ≥ а2 ≥ а3 .
Указание: выполнить анализ при х = w1 и х = w2 .

68. Стационарная модель управления производством и запасами с вогнутой функцией затрат

Пусть функции затрат на производство продукции и
содержание запасов являются стационарными и имеют
вид
Затраты на переналадку и
пропорциональные затраты
s cxt при xt 0 ,
C t xt
0 при xt 0 ,
ht(it) = h∙it
для всех t,
где s ≥ 0, с ≥ 0 и h > 0;
хt – объем выпуска продукции на отрезке t (или
размер заказа в начале отрезка t);
it – уровень запасов на конец отрезка t.

69.

Предположим
• спрос является стационарным: Dt = D для всех t,
• спрос должен быть полностью и своевременно
удовлетворен.
Обозначим:
Q – объем выпуска (заказа) в момент
восстановления, если исходный запас на начало
планового периода равен нулю.
При конечном плановом периоде
Для вогнутых
функций затрат
Q = kD,
где k – положительное целое число.

70.

Предположим:
такой же характер решения сохраняется и для
бесконечного планового периода.
Тогда задача состоит в нахождении значения k,
позволяющего минимизировать средние затраты за
отрезок.

71.

Rk – сумма затрат на переналадку (размещение
заказа), производство (закупку) продукции и
содержание запасов:
Rk s ckD h k 1 D h k 2 D hD
k k 1
s ckD hD
.
2
Тогда средние затраты за отрезок составят
Rk
s
hD k 1
cD
.
k
k
2

72.

Минимизация:
d s
hD k 1
s hD
0,
cD
2
dk k
2
2
k
k
2s
;
hD
Критическая точка
d2 s
hD k 1
2s
cD
3 0.
2
2
dk k
k
Вывод:
критическая точка является точкой минимума
функции Rk/k.

73.

Итог:
k
2s
,
hD
Q kD
(4.9)
2 sD
.
h
(4.10)
Выражение (4.10), определяющее оптимальное
значение Q, называется формулой экономически
выгодного размера партии.
Оптимальная стратегия:
производить (заказывать) Q
через каждые k
2s
hD
2 sD
ед. продукции
h
ед. времени.

74.

Замечание.
Формулы (4.9) и (4.10) являются приближенными, т. к.
получаемые величины в общем случае не
обязательно целочисленны.
Если найденное из (4.9) значение k не есть целое
число, то оптимальную стратегию можно найти так:
вычислить средние затраты за отрезок Rk /k для
двух ближайших к k целых чисел (большего и
меньшего),
выбрать лучшее из полученных значений.

75.

В рассуждениях выше предполагалось, что пополнение
запаса происходит мгновенно в момент
восстановления.
В реальных ситуациях существует положительный
срок выполнения заказа l (временнóе запаздывание)
от момента размещения заказа до реальной поставки.

76.

При l < k (время выполнения заказа меньше
продолжительности периода восстановления)
результаты (4.9) и (4.10) остаются в силе, но:
момент возобновления наступает не тогда, когда
уровень запасов становится нулевым, а когда он
опускается до значения lD ед.

77.

При l > k (время выполнения заказа больше
продолжительности периода восстановления)
необходимо определить эффективный срок
выполнения заказа
l
le l k .
k
[z] означает целую часть z
(наибольшее целое, не
превосходящее z).
Обоснование:
После [l/k] циклов (длиной k каждый) ситуация
становится такой, как если бы интервал между
размещением одного заказа и получением другого был
равен le.
Момент восстановления наступает, когда уровень
запасов опускается до le∙D.

78.

Пример.
Неоновые лампы в университетском городке
заменяются с интенсивностью 100 штук в день.
Стоимость размещения заказа на покупку ламп
составляет $100.
Стоимость хранения лампы на складе оценивается в
$0,02 в день.
Срок выполнения заказа от момента его размещения
до реальной поставки равен 12 дней.
Определим оптимальную стратегию заказа неоновых
ламп.

79.

По условию D = 100 шт./день,
s = $100,
h = $0,02,
l = 12 дней.
Поэтому
период восстановления составит
k
2 100
10
0,02 100
дней;
оптимальный размер заказа составляет
Q
2 100 100
1000
0,02
штук;
k<l

80.

эффективный срок выполнения заказа
l
12
le l k 12 10 12 10 2 дня;
k
10
момент восстановления имеет место при уровне
запаса
le∙D = 2 ∙100 = 200 шт.
Оптимальная стратегия:
заказывать 1000 ламп, как только уровень их запаса
уменьшается до 200 шт.

81.

Структура описанной выше модели восстановления
очень проста.
Задачи более общего вида нельзя решить столь же
легко: для решения требуются более сложные
методы.
В рамках динамического программирования эти
методы обычно называются методами
последовательного приближения.