Матричная алгебра

1.

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
МАТРИЦА размера m n – ТАБЛИЦА из m
строк, n столбцов.
a11
...
ai1
А
m n
...
a
m1
a12
...
ai 2
...
...
...
...
...
a1 j
...
aij
...
...
...
...
...
am 2
...
amj
...
amn
a1n
...
ain
...
1

2.

aij элемент матрицы,
i номер строки,
j номер столбца,
aii диагональн ый элемент.
2

3.

Виды матриц
1 0
Квадратная матрица (m n)
4 2
0
1 0
Диагональн ая матрица 0 15 0
0 0 24
1 0 0
Единичная матрица Е 0 1 0
3 3
0 0 1
3

4.

Операции над матрицами
Умножение матрицы на число
А
m n
B
m n
bij aij
1 2 2 4
2 3 4 6 8
4 6 8 12
4

5.

Сложение матриц
А B С
m n
m n
m n
сij aij bij
1 2 2 4 3 6
3 4 6 8 9 12
4 6 8 12 12 18
5

6.

Транспонирование матрицы
Т
А B
m n n m
bij a ji
Т
1 2
1 3 4
3 4
4 6 2 4 6
6

7.

Умножение матриц
А B C
m k
k n
m n
1 2
1 2 3
3 4
4 6 2 0 1
1 1 2 2 5 1 2 2 0 2
3 1 4 2 11
6
16
8
5 2 1
11 6 5
16 8 6
1 3 2 1 1
5
6
7

8.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ – число, характеризующее
квадратную матрицу .
a11
...
...
...
a1n
... det A
an1
...
ann
8

9.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 1-го ПОРЯДКА
Если А a11 , то det A a11
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 2-го ПОРЯДКА
a11
a21
a12
a11 a22 a21 a12
a22
Пример :
2
3
1
4
2 4 ( 1) 3 11
9

10.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 3-го ПОРЯДКА
(правило треугольника)
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
1 2 3
4 5 6 (1 5 9 4 8 3 2 6 7) (7 5 3 1 8 6 2 4 9) 0
7 8 9
10

11.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ n-го ПОРЯДКА
Минор Мij – определитель матрицы, которая
получается из исходной матрицы вычеркиванием
строки с номером i и столбца с номером j.
a11
...
М ij ai1
...
a12
...
ai 2
...
...
...
...
...
a1 j
...
aij
...
...
...
...
...
a1n
...
ain
...
an1
an 2
...
anj
...
ann
11

12.

Алгебраическое дополнение
i j
ij
A ( 1)
М ij
Определитель равен сумме произведений
элементов любой строки или любого столбца на
алгебраические дополнения этих элементов.
12

13.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
A 1 называется обратной к матрице A , если
1
1
A А А А Е.
A11 ... A1n
1
1
A
... ... ...
det A
A
...
A
nn
n1
T
13

14.

2 5
. Найти
А
3 4
A 1.
Решение :
2 5
7,
3 4
А11 ( 1)1 1 4 4,
А12 ( 1)1 2 3 3,
А21 ( 1) 2 1 5 5,
А22 ( 1) 2 2 2 2.
T
Т
А12
1 4 3
А22
7 5 2
4 5
1 4 5 7 7
7 3 2 3 2
7
7
1 А11
1
A
det A А21
14

15.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система из m уравнений с n
неизвестными
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
...........................................
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm .
15

16.

Система называется совместной, если имеет
решение.
Система называется несовместной, если не имеет
решения.
Совместная система называется определенной,
если имеет единственное решение.
Совместная система называется неопределенной,
если имеет более одного решения.
16

17.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
I.
Метод обратной матрицы
1
X A B
a11 ... a1n
А ... ... ... основная матрица системы
a
m1 ... amn
x1
X ... столбец неизвестных
x
n
b1
B ... столбец свободных коэффициен тов
b
m
17

18.

2 x1 5 x2 1
Решить методом обратной матрицы
3x1 4 x2 2
Решение :
2 5
A
3 4
1
B
2
4 5
2 5
A 1 7 7
A
3 2
3 4
7
7
4 5
1
x 2
2
X A 1 B X 7 7 1
3 2 2 1
x2 1
7
7
18

19.

II. Формулы Крамера
i
xi , i 1,..., n
где определитель основной матрицы системы,
i определитель матрицы, полученной из основной
матрицы системы заменой i того столбца
столбцом свободных коэффициен тов.
Если i 0 для любого i система неопределенная.
Если 0 и хотя бы один i 0 система несовместная.
19

20.

Решить систему методом Крамера
x1 2 x2 x3 1,
2 x1 3x2 2 x3 2,
x x 3x 0.
3
1 2
1
2
1
2
3
2 2
1 1 3
1
2
1
1
1 2 3 2 3 x1
1,5
0 1 3
1 1 1
2 2 2 2 0 x2 2 0
1 0 3
1
2
1
3 2 3 2 1 x3 3 0,5
1 1 0
20

21.

III. Метод Гаусса.
1 шаг (прямой ход): приведение
расширенной матрицы системы с
помощью тождественных
преобразований к треугольному виду.
2 шаг (обратный ход): последовательное
нахождение неизвестных.
21

22.

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
РАСШИРЕННОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ
Изменение порядка строк.
Прибавление к элементам одной
строки элементов другой строки,
умноженных на число.
22

23.

Пример
x1 2 x2 x3 1,
Решить систему методом Гаусса 2 x1 3x2 2 x3 2,
x x 3x 0.
3
1 2
1 2 1 1 ( 2) ( 1) 1 2 1 1
+
+ 0 1 0 0 ( 3)
2 3 2 2
+
1 1 3 0
0 3 2 1
1 2 1 1
x1 2 x2 x3 1 x1 1,5
0 1 0 0 0 x1 x2 0 x3 0 x2 0
0 0 2 1
0 x 0 x 2 x 1 x 0,5
2
3
3
1
23

24.

Если в процессе преобразований получилась
строка, в которой последний элемент
отличен от нуля, а все остальные –
нулевые, то система несовместна, т.е. нет
решений.
24

25.

Решение неопределенной системы
(на примере) x 2 x x 3x 5;
1
2
3
4
Решить систему 2 x1 x2 x4 20;
2 x 4 x 2 x 6 x 10.
2
3
4
1
1 2 1 3 5 2
+
0 1 20
2 1
2 4 2 6 10
2
1 2 1 3 5
+ 0 5 2 5 10
0 0
0
0 0
Если количество ненулевых строк меньше
количества неизвестных, то система
неопределенная.
Количество неизвестных = 4, количество ненулевых строк
= 2, следовательно, система имеет бесконечно много
25
решений.

26.

Общим решением неопределенной системы
линейных уравнений называется выражение
базисных переменных через свободные.
1 2 1 3 5
0
5
2
5
10
0 0
0
0 0
Количество базисных переменных равно количеству
ненулевых строк после преобразований.
За базисные переменные принимаем переменные
соответствующие ненулевым диагональным элементам.
В данном случае, базисные: x1 и x2 .
Остальные переменные - свободные.
26

27.

Выразим базисные переменные x1 и x2 через
свободные x3 и x4:
Присваивая свободным переменным различные
значения, получим частные решения.
Найдем одно из частных решений
x3 =0; x4=0; x1 =9; x2=2.
27

28.

Таким образом, метод Гаусса может
использоваться для доказательства
несовместности и неопределенности
системы линейных уравнений.
28