Элементы линейной алгебры

1.

Элементы линейной алгебры
1

2. Матрицы

Матрицей размера m n называется
прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m строк и n столбцов.
a11
a21
....
a
m1
a12
a22
....
am 2
a1n
.... a2 n
aij .....
..... amn
....
Числа aij – элементы
матрицы:
i – номер строки
j – номер столбца.
Обозначения матриц:
A, B, C … или (aij), (bij), (cij) ...
2

3. Виды матриц. Квадратная матрица (m=n)

a11
a 21
A
....
a
n1
a12
a 22
....
an2
a 1n
.... a 2 n
..... .....
..... a nn
....
3

4. Виды матриц. Диагональная матрица

a11 0 0
0 a22 0
0 0 a
B
33
.... .... .....
0 0 0
....
....
....
....
....
0
0
0
....
a
nn
4

5. Виды матриц. Единичная и нулевая матрицы

Единичная
1 0 .... 0
0 1 .... 0
E
.... .... ..... .....
0 0 ..... 1
Нулевая
0 .... 0
0 .... .... ....
0 .... 0
5

6. Виды матриц. Ступенчатая матрица, матрица-столбец и матрица-строка

Ступенчатая
Матрица-столбец (m 1)
C 0 0
0 0 0 0
a1
a2
A
....
a
m
Матрица-строка (1 n)
A a1 a2 .... an
6

7. Равенство матриц

Две матрицы
A= (aij) и B=(bij)
называются равными,
если
1) Размеры
матриц
совпадают
2) Соответствующие
элементы матриц
равны:
aij=bij,
i=1,m; j=1,n.
7

8. Сумма матриц

Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового
размера m n называется матрица C=(cij) размера m n,
каждый элемент которой равен сумме соответствующих
элементов матриц A и B
cij aij bij , ( i 1 , m ; j 1 , n )
Пример.
2 3 4 5 2 4 3 5 6 8
A B
1 0 2 3 1 2 0 3 1 3
8

9. Разность матриц

Разностью матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового
размера m n называется матрица C=(cij) размера m n,
каждый элемент которой равен разности соответствующих
элементов матриц A и B
cij aij bij , ( i 1 , m ; j 1 , n )
Пример.
2 3 4 5 2 4 3 5 2 2
A B
1 0 2 3 1 2 0 3 3 3
9

10. Произведение матрицы на число

Произведением матрицы A=(aij) на число
называется матрица того же размера,
элементы которой равны aij.
2 1
3 ; A
3 0
2 1 6 3
A 3 3 A 3
3 0 9 0
10

11. Умножение матриц

Произведением матрицы A=(aij)
(размера m p) на матрицу B=(bij)
(размера p n) называется матрица C=(cij)
(размера m n), элементы которой
вычисляются по формулам:
p
cij aik bkj ai1b1 j ai 2 b2 j aip bpj
k 1
i 1, m ;
j 1, n.
11

12. Умножение матриц

p
cij aik bkj ai1b1 j ai 2 b2 j aip bpj
k 1
i 1, m ;
a
i1
ai 2 aip
b1 j
b2 j
b pj
j 1, n.
cij
12

13. Транспонирование матрицы

Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.
a11
a21
A
m n
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11 a21
a12 a22
T
A
n m
... ...
a1n a2 n
... am1
... am 2
... ...
... amn
13

14. Определитель матрицы

Определитель – это число,
характеризующее квадратную
матрицу.
1.
2.
A a11 a11
a11
a12
a21 a22
a11 a12
3.
a11 a22 a12 a 21
a13
a21 a22 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32
a31 a32 a33
a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32 14

15. Определитель матрицы

Минором Mij некоторого элемента aij
определителя называется определитель,
полученный из исходного
вычеркиванием строки и столбца,
на пересечении которых стоит
данный элемент.
a11
a12
a13
a21 a22
a23
a31
a33
a32
M 11
a22
a23
a32
a33
15

16. Определитель матрицы

Алгебраическим дополнением некоторого элемента
определителя называется минор этого элемента,
умноженный на (-1)S , где S – сумма номеров строки
и столбца, на пересечении которых стоит данный
элемент.
Aij ( 1) M ij ,
S
S i j
Теорема Лапласа. Определитель равен сумме
произведений всех элементов любой строки
(столбца) на их алгебраические дополнения.
|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
|A|=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
16

17. Обратная матрица

Пусть дана невырожденная (det A≠0)
квадратная матрица порядка n
a11
a21
A
....
a
n1
a12
a22
....
an 2
a1n
.... a2 n
..... .....
..... ann
....
Матрица А-1 называется обратной
к матрице А, если выполняются равенства
1
1
A A А А Е,
Е – единичная матрица.
17

18. Обратная матрица

Теорема.
Всякая невырожденная матрица
имеет единственную обратную матрицу.
A11
1 A12
1
A
A ...
A1n
An1
... An 2
... ...
... Ann
A21 ...
A22
...
A2 n
Aij – алгебраическое дополнение элемента aij,
| A | – определитель матрицы A.
18

19. Системы линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными
называется система вида
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a m n x n bm
,
где aij и bi ─ числа, xi – неизвестные.
Решением системы уравнений называется такой набор
чисел x1, x2 .. xn, при котором каждое уравнение
системы обращается в тождество
19

20. Матричный вид системы

Обозначения:
Матрица коэффициентов
при неизвестных
a11
a 21
A
....
a
m1
a12
a 22
....
am2
Столбец свободных
членов
b1
b2
B ,
....
b
n
a 1n
.... a 2 n
..... .....
..... a mn
....
Столбец неизвестных
x1
x2
X ,
....
x
n
20

21. Матричные уравнения

Матричная запись
системы:
A·X=B
Пусть m=n
Пусть detA≠0
A-1 ─ существует
Тогда
1
1
А А Х А В
Е Х А 1 В
Х А 1 В
E
21

22. Правило Крамера

Рассмотрим систему
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
...............................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
Пусть m=n
Пусть detA = Δ ≠ 0
Обозначим
j
а11
a12
b1
a21
a22
....
....
b2 a 2 n
... ....
an1
an 2 bn ann
a1n
J – столбец
22

23. Правило Крамера

Решение системы
n
1
2
x1
, x2
, , xn
23

24. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу A
Минор Mk матрицы A называется ее базисным минором, если
он отличен от нуля, а все миноры матрицы A более высокого
порядка k+1, k+2, …, t равны нулю.
Рангом матрицы r(A)
называется порядок его базисного минора.
24

25. Элементарные преобразования матриц

Элементарные
преобразования матриц
Вычеркивание
нулевой строки
Прибавление к
одной из строк другой
строки, умноженной
на любое число
Перестановка
двух строк
25

26. Элементарные преобразования матриц

Теорема 1.
Любую матрицу с помощью
элементарных преобразований
можно привести к
ступенчатому виду.
Теорема 2.
При элементарных
преобразованиях ранг
матрицы не меняется.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу
26
(ненулевых) строк.

27. Метод Гаусса

Метод последовательного исключения неизвестных –
наиболее распространенный метод решения систем
линейных уравнений.
Суть метод Гаусса:
а) из всех уравнений системы кроме первого исключается неизвестное x1;
б) из всех уравнений системы кроме первого и второго
исключается неизвестное x2;
в) из всех уравнений системы кроме первого, второго и третьего
исключается неизвестное x3 и т.д.
27

28. Метод Гаусса

Рассмотрим систему
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a m n x n bm
С помощью элементарных преобразований
приводим ее к равносильной системе ступенчатого вида:
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2 n xn d 2
...............................................
ckr xr ... ckn xn d k
28

29. Метод Гаусса

Возможен один из следующих случаев:
1) система не имеет решений
(система несовместна);
2) система имеет
единственное решение;
3) система имеет бесчисленное
множество решений.
29

30. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему уравнений
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a m n x n bm
Обозначим
a11
a 21
A
....
a
m1
a12
a 22
....
am2
a 1n
.... a 2 n
..... .....
..... a mn
....
a11 a12 .... a1n b1
~ a21 a22 .... a2n b2
A
.... .... .....
.....
am1 am 2 ..... amn b
m
30

31. Теорема Кронекера-Капелли

Теорема.
Система линейных уравнений совместна
тогда и только тогда, когда
~
r ( A) r ( A)
31