Производная по направлению. Градиент

1.

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой
окрестности точки М(х,у).
l – некоторое направление, задаваемое единичным
вектором
l (cos , cos )
где
l cos 2 cos 2 1
т.к.
3
2
;
2
...

2.

cosα, cosβ – косинусы углов, образованных данным
вектором с осями координат. Они называются
направляющими косинусами.
При перемещении в направлении l точки М(х,у) в
точку
M1 ( x x, y y)
Функция z получит приращение
l z f ( x x, y y) f ( x, y)
которое называется приращением функции
данном направлении l.
z в

3.

Если
то
MM 1 l
x l cos
y l cos
l z f ( x l cos , y l cos ) f ( x, y)

4.

z f ( x, y )
y
x
x
M
y
z
M1
l

5.

Производной по направлению z l
функции двух переменных z=f(x,y)
называется предел отношения
приращения функции в этом
направлении к величине перемещения
Δl при
l 0
l z
zl lim
l 0 l

6.

Производная
по
направлению
характеризует
скорость изменения функции в направлении l.
Рассмотренные ранее производные
z x
и
z y
есть производные по направлениям, параллельным
осям абсцисс и ординат, соответственно.
Покажем, что
zl z x cos z y cos

7.

z
z
z
z
l z x y l cos l cos
x
y
x
y
Делим обе части на Δl и переходим к пределу:
l z
z
z
lim
lim
cos lim
cos
l 0 l
l 0 x
l 0 y
z x cos z y cos

8.

Градиентом функции двух переменных
z=f(x,y) называется вектор с
координатами
( z x ; z y )
z z
z
;
x y

9.

Рассмотрим скалярное произведение ( , l )
z
Скалярное произведение в координатах имеет
вид:
(a , b ) a1b1 a2b2 a3b3
Поскольку
z z
z
;
x y
l (cos , cos )

10.

Тогда
z
z
( z , l )
cos
cos
x
y
z x cos z y cos zl
( z , l ) zl

11.

Производная по направлению есть скалярное
произведение градиента и единичного
вектора, задающего данное направление.
Поскольку скалярное произведение максимально,
если вектора одинаково направлены, то
Градиент функции в данной точке
характеризует направление максимальной
скорости изменения функции в данной
точке.

12.

Если задана функция трех переменных f(x,y,z), то
градиент будет являться трехмерным вектором с
компонентами:
Или
f f f
;
;
x y z
( f x ; f y ; f z )

13.

Пусть задана дифференцируемая
функция z=f(x,y) и пусть в точке
М(х0,у0) величина градиента
отлична от нуля. Тогда градиент
перпендикулярен линии уровня,
проходящей через данную точку.