Дивергенция, градиент и ротор

1.

Презентация на тему
«Дивергенция, градиент и
ротор»

2.

Понятие Дивергенция
Дивергенция - это оператор, применяемый к векторному полю,
который позволяет определить интенсивность "расхождения" или
"схождения" векторов в каждой точке пространства. Он
предоставляет информацию о том, насколько интенсивно векторы
"исходят" или "сходятся" в данной точке. Дивергенция выражается с
помощью оператора набла (∇) и представляет собой скалярную
величину, полученную путем суммирования частных производных
компонент векторного поля по соответствующим переменным.
Дивергенция имеет большое значение в физике, особенно в области
потоковых процессов, электродинамики и гидродинамики.
Например, она может быть использована для анализа потоков
жидкости, определения источников или стоков в системе или
описания электромагнитных полей.

3.

Понятие Градиент
Градиент - это оператор, применяемый к скалярному полю, который
позволяет определить направление наибольшего возрастания
функции в каждой точке пространства. Он также предоставляет
информацию о скорости изменения функции в этом направлении.
Градиент выражается с помощью оператора набла (∇) и
представляет собой вектор, состоящий из частных производных
функции по каждой переменной. Градиент широко используется в
различных областях, включая физику, экономику и машинное
обучение. В физике, например, градиент может использоваться для
анализа потоков поля, определения направления распространения
тепла или градиента давления.

4.

Градиент и его свойства
Градиентом скалярного поля u(M) называется вектор. Т.е. сумма
частных производных умноженных на соответствующие
единичные вектора.
В общем случае градиент вводится как векторная
характеристика скалярного поля — то есть области, каждой
точке которой соответствует значение определенного скаляра.
Градиент характеризует, насколько быстро меняется скалярная
величина в том или ином месте этого поля.

5.

Свойства градиента
1. Если u = u(x, y, z) и v = v(x, y, z) дифференцируемые функции,
C – постоянная, то справедливы следующие соотношения:

6.

Свойства градиента
2. Градиент скалярного поля u = u(M₀)в данной точке M₀(x₀, y₀,
z₀) перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через
эту точку.
Таким образом, вектор grad u(M₀) направлен по нормали к
поверхности уровня поля u в сторону наибольшего
возрастания этого поля.

7.

Свойства градиента
3. Градиент скалярного поля u = u(M₀) в данной точке M₀(x₀,
y₀, z₀) направлен в сторону наибыстрейшего возрастания поля
в этой точке, а модуль градиента численно равен скорости
наибыстрейшего возрастания функции в этой точке.

8.

Свойства градиента
4. Градиент скалярного поля u можно представить как
действие оператора Гамильтона на скалярную функцию по
правилу.
* Оператор Гамильтона — это математический объект,
который описывает эволюцию квантовой системы во времени

9.

Свойства градиента
5. Связь между градиентом скалярного поля u = u(x,y, z) и
производной скалярного поля по направлению l выражается
формулой:

10.

Свойства градиента
6. Производная поля u в данном направлении l равна проекции
градиента на направление дифференцирования:

11.

Свойства градиента
Из перечисленных свойств градиента следует, что grad u скалярного
поля u = u(x, y, z) определяется самим полем и не зависит от
системы координат.

12.

Дивергенция и ее свойства
Скалярной характеристикой векторного поля является дивергенция,
которая вычисляется по формуле:
С точки зрения гидродинамики: если поле скоростей
текущей жидкости, то числовое значение дивергенции
векторного поля
в данной точке характеризует
интенсивность источников или стоков в этой точке.
Если
то в точке M – источник, если
то в
точке M – сток. Если
в точке M нет ни источников,
ни стоков.

13.

Дивергенция и ее свойства

14.

Понятие Ротор
Ротор - это векторный оператор, который определяет величину
вращения векторного поля в каждой точке его области определения.
Он используется в математической физике, физике и инженерии для
описания физических явлений, таких как магнитные поля и вихри
жидкостей.
Формально, ротор векторного поля определяется как
криволинейный интеграл по замкнутому контуру, который
охватывает площадь, на которой определена величина ротора.
Ротором или «вихрем» векторного поля
называется вектор

15.

Понятие Ротор
Ротор векторного поля вектор F (M ) удобно записывать в виде
символического определителя
Главным свойством ротора является то, что rot F не зависит от
системы координат, а определяется исходным векторным полем.
Отличный от нуля вектор rot F свидетельствует о вращении
векторного поля F.

16.

Свойства ротора и потенциальное поле
Векторное поле F называется потенциальным, если ротор этого поля
тождественно равен нулю во всех точках некоторой области V:
Важный факт. Работа векторного поля F по замкнутому контуру в
потенциальном поле равна нулю.

17.

Примеры решения задач

18.

Примеры решения задач

19.

Примеры решения задач

20.

Примеры решения задач

21.

Примеры решения задач

22.

23.

24.

25.

26.

Список литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. –
М.: Наука, 1981. – 448 с.
2. 2. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для втузов. Ч.
IV. – Мн.: Высш. шк., 1987. – 240 с.
3. 3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты.
СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 240 с.