Тригонометрия. Единичная окружность. Определение синуса и косинуса угла. Тригонометрические тождества и формулы

1. Тригонометрия

1
у
у
1 М
М
N
-1
K
0
P-1
А
1 x
-1
N
0
K
-1 P
А
1 x

2. Содержание

Единичная окружность
Определение синуса и косинуса угла
Тригонометрические тождества
Тригонометрические формулы

3. Единичная окружность

Единичная окружность
Откладывание произвольных углов
Полный оборот
Радианная мера угла
Перевод градусной меры в радианную
Перевод радианной меры в градусную

4. Единичная окружность

N
-1
1
y
M +
0
1
K
−
-1
P
x

5. Откладывание углов

y
K(– 240о)
N(150о)
P(– 45о)
M(210о)
K
+
А
N
-1
1
0
M
P
-1
−
А(30о)
1
x

6. Полный оборот

M
1
y
+
t o
360
– (360o – t)
-1
1
0
360o + t
−
-1
x

7. Радианная мера угла

1 радиан –
это величина
центрального
угла
окружности
радиуса R,
опирающегося
на дугу
длины R.
1 рад =
360о
2π
1
y
M
1 рад
-1
0
1
-1
≈ 57о17'45''
О
x

8. Перевод градусной меры в радианную

π
=
рад
180o
π
π
o
о
30 = 30
=
рад
180o
6
π
2π
o
о
120 = 120
=
рад
180o
3
π
5π
o
о
− 75 = − 75
=
−
рад
180o
12
to
tо

9.

Перевод радианной
меры в градусную
t рад = t
o
180
π
π
π 180o
рад = ∙ π = 60о
3
3
3π
3π 180o
рад = ∙ π = 135о
4
4
2π
2π 180o
о
–
рад = –
∙
= – 40
9
9 π

10. Определение синуса и косинуса

Определение синуса и косинуса
Определение тангенса и котангенса
Знаки синуса и косинуса,
Знаки тангенса и котангенса
Расположение табличных углов на единичной
окружности
Расположение углов с шагом 30° на единичной
окружности
Расположение углов с шагом 45° на единичной
окружности
Свойства четности и нечетности
Таблица значений тригонометрических функций

11.

Определение синуса и
косинуса угла
Синус угла α –
это число, равное
ординате точки
единичной
окружности,
соответствующей
углу α. (sin α)
Косинус угла α –
это число, равное
абсциссе точки
единичной
окружности,
соответствующей
углу α. (cos α)
y
1
M
sin α
α
-1
0
-1
cos α
1
x

12.

Определение тангенса и
котангенса угла
Тангенс угла α –
это отношение
ординаты точки М к
ее абсциссе,
tgα=y/x= sinα/cosα
Котангенс угла α –
это отношение
абсциссы точки М к ее
ординате,
ctgα=x/y= cosα/sinα

13. Знаки синуса и косинуса

у
sin α
+
−
+
0
у
соs α
−
−
x
−
+
0
+
x

14. Знаки тангенса и котангенса

у
tg α
+
−
+
0
у
ctg α
−
−
x
+
+
0
−
x

15.

II
120°
135°
150°
180°
-1
1
2
I
60°
45°
30°
1
2
1
2
210°
225°
240°
III
1 90°
1
2
-1 270°
0°
1 x
330°
315°
300°
IV

16.

II
2
3
5
6
3
2
I
3
2
3
2
6
1
2
1
2
1
2
1
2
7
6
III
у
4
3
3
2
3
2
3
2
0
2
x
11
6
5
3
IV

17.

у
II
3
4
III
I
2
2
2
2
2
5
4
4
2
2
2
2
3
2
7
4
0
2
x
IV

18.

Таблица значений
тригонометрических функций

19. Свойства четности и нечетности

cos(− α) = cos α
четная
M
1
y
sinα
α
-1
sin(− α) = − sin α
нечетная
cosα
0
−α
M1
−sinα
-1
x
1

20. Тригонометрические тождества

Основное тригонометрическое тождество (1)
Тригонометрическое тождество (2)
Тригонометрическое тождество (3)
Тригонометрическое тождество (4)

21. Основное тригонометрическое тождество (1)

y
1
M
sinα
α
2
x
+
2
y
=1
-1
sin 2α + cos 2α = 1
cosα 1
0
-1
x

22. Тригонометрическое тождество (2)

sin2α
+
cos2α
=1
:
2
cos α
sin2α cos2α
1
+
=
2
2
2
cos α cos α cos α
1
tg2α + 1 =
cos2α

23. Тригонометрическое тождество (3)

sin2α
+
cos2α
=1
:
2
sin α
sin2α cos2α
1
+
=
2
2
2
sin α sin α
sin α
1
1 + ctg2α =
sin2α

24. Тригонометрическое тождество (4)

tgα x ctgα = 1
sinα
cosα
x
=1
cosα
sinα

25. Тригонометрические формулы

Формулы приведения (правило)
Формулы приведения (таблица)
Формулы сложения
Формулы суммы и разности синусов (косинусов)
Формулы двойного аргумента
Формулы половинного аргумента
Формулы преобразования произведения в сумму

26. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ (ПРАВИЛО)

У
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
(ПРАВИЛО)
2
Х
0
2
3
2
Приведение через
«рабочие»
углы:
3 5
2
Название
функции
Знак
;
2
;
2
; ...
Меняется на
конфункцию
Приведение через
«спящие» углы:
; 2 ; 3 ; ...
Не меняется
Определяется по знаку функции в
левой части формулы

27.

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
(таблица)

28.

Формулы сложения
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tg tg
tg ( )
1 tg tg

29.

Формулы суммы и разности
sin sin 2 sin
cos
2
2
sin sin 2 sin
cos
2
2
cos cos 2 cos
cos
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2

30.

Формулы суммы и разности

31.

Формулы двойного аргумента
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin
2
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2
2tg
tg 2
2
1 tg

32.

Формулы половинного аргумента
1 cos
sin
2
2
2
1 cos
cos
2
2
2

33.

Формулы преобразования
произведения в сумму