Градусная и радианная меры угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс

1. Градусная и радианная меры угла. Вращательное движение.

Синус, косинус,
тангенс и котангенс.

2. Для чего нужны синусы и косинусы в обычной жизни?

На практике синусы и косинусы
применяются во всех инженерных
специальностях, особенно в строительных.
Их используют моряки и летчики в
расчетах курса движения. Не обходятся без
синусов и косинусов геодезисты, и даже
путешественники. В географии применяют
для измерения расстояний между
объектами, а также в спутниковых
навигационных системах.

3.

4.

Детская
школа
Гауди в
Барселоне

5.

Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине

6.

Мост в Сингапуре

7.

8.

9.

10.

Немного из истории…
1. Древние вавилоняне и египтяне изучали
тригонометрию как часть астрономии;
разделили окружность на 360
2. Древние индийцы: ввели названия
«синус», «косинус», составили таблицы
синусов, косинусов
3. IX-XVвв – Средний и Ближний восток:
составляли таблицы котангенса, тангенса,
косеканса; ввели понятие единичной
окружности

11.

Немного из истории…
4. Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (12011274) выделил раздел тригонометрии из
астрономии.
5. Лев Герсонид (1288-1344) – открыл
теорему синусов.
6. XVII-XIXвв: применение тригонометрии в
механике, физике, технике, как часть
математического анализа (Виетт, Бернулли)
– тригонометрические символы, графики –
синусоиды.
7. Л.Эйлер: придал тригонометрии
современный вид.

12.

Тригонометрия
(«три» - три, «гониа» - угол,
«метриа» - измеряю)
раздел математики,
изучающий
соотношение сторон и
углов в треугольнике

13. Чему равен угол квадрата?

14. На какой угол поворачивается солдат по команде «кругом»? 

На какой угол поворачивается
солдат по команде «кругом»?

15. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками на часах, когда они показывают 2ч? 

Чему равен угол между
минутной и часовой
стрелками на часах, когда
они показывают 2ч?

16.

Единицы
измерения углов
Градусы
Радианы

17.

Градусная мера угла
=1
1 – цена одного деления
окружности, разделенной
на 360 частей

18.

На рисунке изображен
угол β, равный 500 то есть
этот угол опирается на
круговую дугу
размером 50/360 длины
окружности.
Углом в 10 (один
градус) называют
центральный угол в
окружности,
опирающийся на
круговую дугу,
равную 1/360 части
окружности.
Вся окружность состоит
из 360 «кусочков»
круговых дуг, или угол,
описываемый
окружностью, равен 3600.

19.

Радианная мера угла
1рад.
l=R
1 радиан – это величина
центрального угла, длина
дуги которого равна радиусу

20.

Единицы измерения
углов
Радианы
Градусы
радиан=180

21.

Перевод из градусной меры
в радианную:
радиан=180
n
n
180
рад.

22.

Пример:
1. 30
2. 90
3.135

23.

Пример:
4. 36
5. 45
6.720

24.

Пример:
1. 30
30
рад.
рад.
6
180
90
рад
.
рад
.
2. 90
180
2
3
135
рад
.
рад
.
3.135
4
180

25.

Пример:
4. 36
36
рад.
рад.
5
180
45
рад
.
рад
.
5. 45
180
4
720
4
рад
.
рад
.
6.720
180

26.

Перевод из радианной
меры в градусную:
радиан=180
n рад. n 180

27.

Пример:
1.
2.
180
60
рад.
3
3
рад.
4
4
3.
рад.
5

28.

Пример:
180
60
1.
рад.
3
3
180
45
2.
рад.
4
4
4 180
4
3.
рад.
144
5
5

29.

№1: Переведите в
радианную меру углы:
1) 45
4) 100
7) 215
2) 15
5) 200
8) 150
3) 72
6) 360
9) 330

30.

№2: Переведите в
градусную меру углы:
1)
9
рад.
2)
рад.
5
5
3)
рад.
12
4)
рад.
4
4
5)
рад.
3
3
6)
рад.
4

31.

Перевод из градусной
меры в радианную:
n
n
180
рад.
Перевод из радианной
меры в градусную:
n рад. n 180

32.

Самостоятельная работа
I вариант
II вариант
1. Переведите в радианную меру углы:
1) 60
2) 145
3) 240
1) 320
2) 105
3) 40
2. Переведите в градусную меру углы:
1) 2 рад.
5
8
2)
рад.
3
1) 9 рад.
4
5
2)
рад.
6

33.

Ответы
1.
1)
I вариант
II вариант
16
1)
рад.
9
7
рад.
2)
12
2
рад.
3)
9
рад.
3
29
рад.
2)
36
4
рад.
3)
3
2.
1) 72
1) 405
2) 480
2) 150

34.

35.

36.

37.

38.

Прямоугольный треугольник: синус,
косинус, тангенс, котангенс угла.
Гипотенуза - это сторона,
которая лежит напротив
прямого угла (в нашем
примере это сторона AC).
Катеты – это две оставшиеся
стороны AB и BC (те, что
прилегают к прямому углу),
причем, если рассматривать
катеты относительно
угла β, то катет AB – это
прилежащий катет, а
катет BC- противолежащий.

39.

Прямоугольный треугольник: синус,
косинус, тангенс, котангенс угла.
Синус угла – это отношение
противолежащего (дальнего) катета к
гипотенузе.
В нашем треугольнике sinβ=BC/AC
Косинус угла – это отношение
прилежащего (близкого) катета к
гипотенузе.
В нашем треугольнике cosβ=AB/AC
Тангенс угла – это отношение
противолежащего (дальнего) катета к
прилежащему (близкому).
В нашем треугольнике tgβ=BC/AB
Котангенс угла – это отношение
прилежащего (близкого) катета к
противолежащему (дальнему).
В нашем треугольнике ctgβ=AB/BC

40.

Синус, косинус, тангенс и котангенс как
отношения сторон треугольника не зависят от
длин этих сторон (при одном угле).
Рассмотрим, к примеру, косинус угла β.
По определению, из треугольника
ABC: cosβ=AB/AC=4/6=2/3​​, но ведь
мы можем вычислить косинус угла β и
из треугольника AHI:
cosβ=AH/AI=6/9=2/3​​.
Видите, длины у сторон разные, а
значение косинуса одного угла одно и
то же. Таким образом, значения
синуса,
косинуса,
тангенса
и
котангенса зависят исключительно от
величины угла.

41.

Для треугольника ABCABCABC, изображенного ниже на
рисунке, найдем sin α, cos α, tg α, ctg α
sin α=4/5=0,8
cos α=3/5=0,6
tg α=4/3
ctg α=3/4=0,75
Попробуйте посчитай
самое для угла β.
то
же
Ответы: sin β=0,6; cos β=0,8; tg
β=0,75; ctg β=43.

42.

Окружность с радиусом,
равным 1называется единичной.
Единичная окружность
r=1
Данная
окружность
построена в декартовой
системе координат. Радиус
окружности равен единице,
при этом центр окружности
лежит в начале координат,
начальное
положение
радиуса-вектора
зафиксировано
вдоль
положительного
направления оси x (в нашем
примере, это радиус AB).

43.

y
Положительное направление
поворота:
против часовой стрелки.
47
0
497
0
O
+
x
– 323
0
Отрицательное направление
поворота:
по часовой стрелке.

44.

Поворот
В т. М можем
попасть,
выполнив
множество
разных
поворотов.
y
900
M
1800
00
O
x 37
0
323
3600
2700
397
0
0

45.

Каждой точке окружности
соответствуют два числа: координата
по оси x и координата по оси y.
Рассмотрим треугольник
ACG. Он прямоугольный,
так как CG является
перпендикуляром к оси x.
Чему равен cos α из треугольника ACG?
cos α=AG/AC
AC – это радиус единичной окружности, а значит, AC=1.
cos α=AG/AC=AG/1=AG
А чему равен sin α из треугольника ACG?
sinα=CG/AC=CG/1=CG

46.

А можно сказать, какие
координаты имеет точка C,
принадлежащая окружности?
cos х
sin у
А если сообразить, что cos α
и sinα - это просто числа?
Какой координате
соответствует sinα?
Ну, конечно, координате x!
А какой координате
соответствует cos α?
Все верно, координате y!
Таким образом,
точка C(x;y)=C(cosα;sinα).

47.

Единичная окружность r = 1
y
O
x
MD
tg
OD
у
tg
x
M(x;y)
sin
tg
cos
y
x ctg OD
DМ
D
x
ctg
y
cos
ctg
sin
*
*

48.

Cинусом угла называется ордината
y точки М, а косинусом угла –
абсцисса x точки М.
sin a = y;
sin
tg
cos
cos a = x
cos
ctg
sin
sin cos
1
tg ctg
cos sin

49.

ЗНАКИ тригонометрических функций
sin a
tg a
cos a
+
+
–
+
–
–
–
+
–
+
–
+
+
–
+
–
ctg a

50.

Домашнее задание
1) Выучить формулы перевода из
градусной меры угла в радианную и
обратно.
2) Выучить определения sin, cos, tg, ctg
3) Переведите в радианную меру углы:
75 , 15 , 130 , 220 , 340
4) Переведите в градусную меру углы:
3
7
12
рад. ,
рад. ,
рад. ,
рад. ,
рад.
2
8
5
36
5

51.

Ответьте на вопросы:
1) Что означает «тригонометрия»?
2) Разделом какой науки являлась
тригонометрия в начале развития?
3)Какие единицы измерения углов Вы
знаете?
4) Чему равно
радиан?
5) Как перевести из градусной меры в
радианную и обратно?
6) Было ли интересно на уроке?