О некоторых методах решения уравнений и методике обучения их решению на уроках алгебры

1. О некоторых методах решения уравнений и методике обучения их решению на уроках алгебры

2.

Математика – это язык, на котором
говорят все точные науки.
Н.И.Лобачевский
Математическая модель —
математическое представление реальности,
один из вариантов модели как системы,
исследование которой позволяет
получать информацию о некоторой другой
системе.
Процесс построения и изучения
математических моделей
называется математическим
моделированием.

3.

Идеологический стержень курса – математический
язык и «мягкое» математическое моделирование
Математика – наука о математических
моделях.
Модели
описываются
в
математике
средствами
математического
языка
(термины, символы, графики и т.д.).
Математический язык и математическая
модель составляют идейный стержень курса
математики в наших учебниках.
Наличие
идейного
стержня
позволяет
рассматривать курс математики,
как
цельную развивающуюся и развивающую
дисциплину общекультурного характера.

4.

Метод произвольного выбора
параметра

5.

x 4 2 3x 2 x 3 3 0

6.

x 2 3x x 3 3 0
4
2
Введём обозначение, пусть
a 3

7.

x 2 3x x 3 3 0
4
2
1. Введём обозначение, пусть
a 3
2. Переформулируем задание в задачу с
параметром:
x 2ax x a a 0
4
2
2

8.

x 2 3x x 3 3 0
4
2
1. Введём обозначение, пусть
a 3
2. Переформулируем задание в задачу с
параметром:
x 2ax x a a 0
4
2
2
3. Выберем в качестве параметра х, и решим
уравнение относительно а:
a 2 2 x 2 1 a x 4 x 0

9.

a 2 x 1 a x x 0
2
2
4
4. Уравнение относительно а – квадратное
D 2 x 1 4 x x
2
2
4

10.

a 2 x 1 a x x 0
2
2
4
4. Уравнение относительно а – квадратное
D 2 x 1 4 x 4 x 4 x 4 2 x 2 1 4 x 4 4 x
2
2

11.

a 2 2 x 2 1 a x 4 x 0
4. Уравнение относительно а – квадратное
D 2 x 1 4 x x 4 x 4 x 1 4 x 4 x
2
2
4
4
2
4 x 4 x 1 2 x 1
2
4
2

12.

a 2 x 1 a x x 0
2
2
4
4. Уравнение относительно а – квадратное
D 2 x 1 4 x x 4 x 4 x 1 4 x 4 x
2
2
4
4
2
4 x 4 x 1 2 x 1
2
2 x 1
2x 1
2
a
2
2
4
2

13.

a 2 2 x 2 1 a x 4 x 0
4. Уравнение относительно а – квадратное
D 2 x 1 4 x 4 x 4 x 4 4 x 2 1 4 x 4 4 x
2
2
4 x 4 x 1 2 x 1
2
2x 1 2x 1
2
a
2
2
a x 2 x,
2
a
x
x 1.

14.

a 2 x 1 a x x 0
2
2
4
5. Подставим вместо а его значение
x 2 x 3,
2
x x 1 3

15.

a 2 2 x 2 1 a x 4 x 0
6. Из первого уравнения
x2 x 3 0
получим
1 1 4 3
x
2

16.

a 2 x 1 a x x 0
2
2
4
7. Из второго уравнения
x2 x 1 3 0
получим
1 4 3 3
x
2

17.

a 2 x 1 a x x 0
2
2
4
7. Из второго уравнения
x2 x 1 3 0
получим
1 4 3 3
x
2
Ответ
1 1 4 3
,
2
1 1 4 3 1 4 3 3 1 4 3 3
,
,
2
2
2

18.

x
3
7 1 x x 7 7 0
2

19.

x
3
7 1 x x 7 7 0
2
1. Введём обозначение, пусть
a 7

20.

x
3
7 1 x x 7 7 0
2
1. Введём обозначение, пусть
a 7
2. Переформулируем задание в задачу с
параметром:
x a 1 x x a a 0
3
2
2

21.

x
3
7 1 x x 7 7 0
2
1. Введём обозначение, пусть
a 7
2. Переформулируем задание в задачу с
параметром:
x a 1 x x a a 0
3
2
2
3. Выберем в качестве параметра х, и решим
уравнение относительно а:
a 2 x 2 1 a x3 x 2 x 0

22.

a x 1 a x x x 0
2
2
3
2
4. Уравнение относительно а – квадратное
D x 1 4 x x x
2
2
3
2

23.

a x 1 a x x x 0
2
2
3
2
4. Уравнение относительно а – квадратное
D x 1 4 x x x
2
2
3
2
x 4 2 x 2 1 4 x3 4 x 2 4 x

24.

a x 1 a x x x 0
2
2
3
2
4. Уравнение относительно а – квадратное
D x 1 4 x x x
2
2
3
2
x 4 2 x 2 1 4 x3 4 x 2 4 x
x 4 x 6 x 4 x 1 x 1
4
3
2
4

25.

a x 1 a x x x 0
2
2
3
2
4. Уравнение относительно а – квадратное
D x 1
4
x 1 x 1
2
a
2
2

26.

a x 1 a x x x 0
2
2
3
2
4. Уравнение относительно а – квадратное
D x 1
4
x 1 x 1
2
a
2
2
a x 2 x 1,
a x.

27.

a x 1 a x x x 0
2
2
3
2
5. Подставим вместо а его значение
x 2 x 1 7,
x 7.

28.

a x 1 a x x x 0
2
2
3
2
6. Из первого уравнения
x2 x 1 7 0
получим
1 4 7 3
x
2

29.

a x 1 a x x x 0
2
2
3
2
6. Из первого уравнения
x2 x 1 7 0
получим
1 4 7 3
x
2
Ответ
1 4 7 3 1 4 7 3
7,
,
2
2

30.

x
3
7 1 x x 7 7 0
2

31.

Реализации технологии
интеграции урочной и
внеурочной деятельности на
примере изучения методов
решения уравнений

32.

x3
1. Введём обозначение, пусть
a 2
2 1 x2 2 0

33.

x3
1. Введём обозначение, пусть
a 2
2. Переформулируем задание в
задачу с параметром:
x3 a 1 x2 a2 0
2 1 x2 2 0

34.

x3
1. Введём обозначение, пусть
a 2
2. Переформулируем задание в
задачу с параметром:
x3 a 1 x2 a2 0
3. Выберем в качестве параметра х,
решим уравнение относительно а:
a 2 x 2 a x3 x 2 0
2 1 x2 2 0

35.

x3
2 1 x2 2 0
1. Введём обозначение, пусть
a 2
2. Переформулируем задание в
задачу с параметром:
x3 a 1 x2 a2 0
3. Выберем в качестве параметра х,
решим уравнение относительно а:
a 2 x 2 a x3 x 2 0
D x 4 x x
4
3
2
x x 2
2
2

36.

x3
2 1 x2 2 0
1. Введём обозначение, пусть
a 2
2. Переформулируем задание в
задачу с параметром:
x3 a 1 x2 a2 0
3. Выберем в качестве параметра х,
решим уравнение относительно а:
a 2 x 2 a x3 x 2 0
D x 4 x x
x2 x x 2
a
2
4
3
2
x x 2
2
2

37.

x3
2 1 x2 2 0
1. Введём обозначение, пусть
a 2
2. Переформулируем задание в
задачу с параметром:
x3 a 1 x2 a2 0
3. Выберем в качестве параметра х,
решим уравнение относительно а:
a 2 x 2 a x3 x 2 0
D x 4 x x x x 2
x2 x x 2
a x 2 x,
a
2
a x.
4
3
2
2
2

38.

x3
2 1 x2 2 0
1. Введём обозначение, пусть
a 2
2. Переформулируем задание в
задачу с параметром:
x3 a 1 x2 a2 0
3. Выберем в качестве параметра х,
решим уравнение относительно а:
a 2 x 2 a x3 x 2 0
D x 4 x x x x 2
x2 x x 2
a x 2 x,
a
2
a x.
4
x2 x 2 0
3
2
2
x 2
2

39.

x3
2 1 x2 2 0
1. Введём обозначение, пусть
a 2
2. Переформулируем задание в
задачу с параметром:
x3 a 1 x2 a2 0
3. Выберем в качестве параметра х,
решим уравнение относительно а:
a 2 x 2 a x3 x 2 0
D x 4 x x x x 2
x2 x x 2
a x 2 x,
a
2
a x.
4
x2 x 2 0
1 4 7 3
x
2
3
2
2
x 2
2

40.

x3
2 1 x2 2 0
1. Введём обозначение, пусть
a 2
1. Раскроем скобки и разложим на
множители способом группировки
2. Переформулируем задание в
задачу с параметром:
x3 x 2 2 x 2 2
x3 a 1 x2 a2 0
3. Выберем в качестве параметра х,
решим уравнение относительно а:
a 2 x 2 a x3 x 2 0
D x 4 x x x x 2
x2 x x 2
a x 2 x,
a
2
a x.
4
x2 x 2 0
1 4 7 3
x
2
3
2
2
x 2
2
x 2
2
x2 x 2 x 2
x 2
x2 x

41.

x3
2 1 x2 2 0
1. Введём обозначение, пусть
a 2
1. Раскроем скобки и разложим на
множители способом группировки
2. Переформулируем задание в
задачу с параметром:
x3 x 2 2 x 2 2
x3 a 1 x2 a2 0
x 2
2
x2 x 2 x 2
3. Выберем в качестве параметра х,
решим уравнение относительно а:
x 2
x
2
x
a 2 x 2 a x3 x 2 0
D x 4 x x x x 2
x2 x x 2
a x 2 x,
a
2
a x.
4
x2 x 2 0
1 4 7 3
x
2
3
2
2
x 2
2
1. x 2 корень уравнения
2
3
2
2 1
2
2 0

42.

x3
2 1 x2 2 0
1. Введём обозначение, пусть
a 2
1. Раскроем скобки и разложим на
множители способом группировки
2. Переформулируем задание в
задачу с параметром:
x3 x 2 2 x 2 2
x3 a 1 x2 a2 0
x 2
2
x2 x 2 x 2
3. Выберем в качестве параметра х,
решим уравнение относительно а:
x 2
x
2
x
a 2 x 2 a x3 x 2 0
D x 4 x x x x 2
x2 x x 2
a x 2 x,
a
2
a x.
4
x2 x 2 0
1 4 7 3
x
2
3
2
2
x 2
2
1. x 2 корень уравнения
2. Построим схему Горнера
1
2
x3
2 1
1
−1
2 1 x2 2 x 2
0
2
2
0
x
2
x 2

43.

Применение метода в различных
ситуациях

44.

x 4 x3 3ax 2 2ax 2a 2 0

45.

x 4 x3 3ax 2 2ax 2a 2 0
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
2a 2 3 x 2 2 x a x 4 x 3 0

46.

x 4 x3 3ax 2 2ax 2a 2 0
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
2a 2 3 x 2 2 x a x 4 x 3 0
D 3x 2 x 8 x 4 x3
2
2

47.

x 4 x3 3ax 2 2ax 2a 2 0
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
2a 2 3 x 2 2 x a x 4 x 3 0
D 3x 2 x 8 x 4 x3 9 x 4 12 x3 4 x 2 8 x 4 8 x3
2
2

48.

x 4 x3 3ax 2 2ax 2a 2 0
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
2a 2 3 x 2 2 x a x 4 x 3 0
D 3x 2 x 8 x 4 x3 9 x 4 12 x3 4 x 2 8 x 4 8 x3
2
2
x 4x 4x x x 2
4
3
2
2

49.

x 4 x3 3ax 2 2ax 2a 2 0
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
2a 2 3 x 2 2 x a x 4 x 3 0
D 3x 2 x 8 x 4 x3 9 x 4 12 x3 4 x 2 8 x 4 8 x3
2
2
x 4x 4x x x 2
4
a
3
2
3x 2 2 x x x 2
4
2

50.

x 4 x3 3ax 2 2ax 2a 2 0
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
2a 2 3 x 2 2 x a x 4 x 3 0
D 3x 2 x 8 x 4 x3 9 x 4 12 x3 4 x 2 8 x 4 8 x3
2
2
x 4x 4x x x 2
4
3
2
3x 2 x x x 2
2
a
4
2
a x 2 x,
2
x
a .
2

51.

x 4 x3 3ax 2 2ax 2a 2 0
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
2a 2 3 x 2 2 x a x 4 x 3 0
D 3x 2 x 8 x 4 x3 9 x 4 12 x3 4 x 2 8 x 4 8 x3
2
2
x 4x 4x x x 2
4
a
3
2
3x 2 2 x x x 2
4
x2 x a 0
2
a x 2 x,
2
x
a .
2
x 2 2a

52.

x 4 x3 3ax 2 2ax 2a 2 0
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
2a 2 3 x 2 2 x a x 4 x 3 0
D 3x 2 x 8 x 4 x3 9 x 4 12 x3 4 x 2 8 x 4 8 x3
2
2
x 4x 4x x x 2
4
3
2
3x 2 x x x 2
2
a
4
x2 x a 0
x
1 1 4a
2
2
a x 2 x,
2
x
a .
2
x 2 2a
x 2a

53.

x 4 x3 3ax 2 2ax 2a 2 0
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
2a 2 3 x 2 2 x a x 4 x 3 0
D 3x 2 x 8 x 4 x3 9 x 4 12 x3 4 x 2 8 x 4 8 x3
2
2
x 4x 4x x x 2
4
3
2
3x 2 x x x 2
2
a
4
x2 x a 0
x
1 1 4a
2
Ответ
1
a ;
4
2
a x 2 x,
2
x
a .
2
x 2 2a
x 2a
1
a ; 0
4
a 0;

54.

a a sin x sin x
Возведём в квадрат:
a a sin x sin 2 x

55.

a a sin x sin x
a a sin x sin 2 x
4
2
2
Возведём в квадрат: a sin x sin x 2a sin x a
Возведём в квадрат:

56.

a a sin x sin x
a a sin x sin 2 x
4
2
2
Возведём в квадрат: a sin x sin x 2a sin x a
Возведём в квадрат:
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
a 2 2sin 2 x 1 a sin 4 x sin x 0

57.

a a sin x sin x
a a sin x sin 2 x
4
2
2
Возведём в квадрат: a sin x sin x 2a sin x a
Возведём в квадрат:
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
a 2 2sin 2 x 1 a sin 4 x sin x 0
D 2sin x 1 4 sin 4 x sin x
2
2

58.

a a sin x sin x
a a sin x sin 2 x
4
2
2
Возведём в квадрат: a sin x sin x 2a sin x a
Возведём в квадрат:
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
a 2 2sin 2 x 1 a sin 4 x sin x 0
D 2sin x 1 4 sin 4 x sin x 4sin 4 x 4sin 2 x 1 4sin 4 x 4sin x
2
2

59.

a a sin x sin x
a a sin x sin 2 x
4
2
2
Возведём в квадрат: a sin x sin x 2a sin x a
Возведём в квадрат:
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
a 2 2sin 2 x 1 a sin 4 x sin x 0
D 2sin x 1 4 sin 4 x sin x 4sin 4 x 4sin 2 x 1 4sin 4 x 4sin x
2
2
4sin x 4sin x 1 2sin x 1
2
2

60.

a a sin x sin x
a a sin x sin 2 x
4
2
2
Возведём в квадрат: a sin x sin x 2a sin x a
Возведём в квадрат:
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
a 2 2sin 2 x 1 a sin 4 x sin x 0
D 2sin x 1 4 sin 4 x sin x 4sin 4 x 4sin 2 x 1 4sin 4 x 4sin x
2
2
4sin x 4sin x 1 2sin x 1
2
a
2sin 2 x 1 2sin x 1
2
2

61.

a a sin x sin x
a a sin x sin 2 x
4
2
2
Возведём в квадрат: a sin x sin x 2a sin x a
Возведём в квадрат:
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
a 2 2sin 2 x 1 a sin 4 x sin x 0
D 2sin x 1 4 sin 4 x sin x 4sin 4 x 4sin 2 x 1 4sin 4 x 4sin x
2
2
4sin x 4sin x 1 2sin x 1
2
a
2sin 2 x 1 2sin x 1
2
2
a sin 2 x sin x 1,
2
a
sin
x sin x.

62.

a a sin x sin x
a a sin x sin 2 x
4
2
2
Возведём в квадрат: a sin x sin x 2a sin x a
Возведём в квадрат:
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
a 2 2sin 2 x 1 a sin 4 x sin x 0
D 2sin x 1 4 sin 4 x sin x 4sin 4 x 4sin 2 x 1 4sin 4 x 4sin x
2
2
4sin x 4sin x 1 2sin x 1
2
a
2sin 2 x 1 2sin x 1
2
sin 2 x sin x 1 a 0
2
a sin 2 x sin x 1,
2
a
sin
x sin x.
sin 2 x sin x a 0

63.

a a sin x sin x
a a sin x sin 2 x
4
2
2
Возведём в квадрат: a sin x sin x 2a sin x a
Возведём в квадрат:
Выберем в качестве параметра х, решим уравнение относительно а:
a 2 2sin 2 x 1 a sin 4 x sin x 0
D 2sin x 1 4 sin 4 x sin x 4sin 4 x 4sin 2 x 1 4sin 4 x 4sin x
2
2
4sin x 4sin x 1 2sin x 1
2
a
2sin 2 x 1 2sin x 1
2
sin 2 x sin x 1 a 0
2
a sin 2 x sin x 1,
2
a
sin
x sin x.
sin 2 x sin x a 0
Решим полученные уравнения при условии:
0 sin x 1,
2
sin x a 0

64.

sin 2 x sin x 1 a 0
Уравнение корней не имеет
0 sin x 1,
2
sin x a 0

65.

sin 2 x sin x 1 a 0
Уравнение корней не имеет
sin 2 x sin x a 0
Рассмотрим функцию
f t t 2 t a, t 1;1
0 sin x 1,
2
sin x a 0

66.

sin 2 x sin x 1 a 0
Уравнение корней не имеет
0 sin x 1,
2
sin x a 0
sin 2 x sin x a 0
Рассмотрим функцию
f t t 2 t a, t 1;1
Необходимое и достаточное условие
существования корней на заданном
промежутке
Ответ
1
a ; 0
4
f
f
1
0,
2
1 0

67.

Мордкович А.Г, Семенов П.В,
Александрова Л.А, Мардахаева Е.Л.
Алгебра: 7 класс: учеб. пособие для
общеобразоват. организаций. – М.:
Просвещение, 2018. – 368 с.
Мордкович А.Г, Семенов П.В,
Александрова Л.А, Мардахаева Е.Л.
Алгебра: 8 класс: учеб. пособие для
общеобразоват. организаций. – М.:
Просвещение, 2018. – 384 с.
Мордкович А.Г, Семенов П.В,
Александрова Л.А, Мардахаева Е.Л.
Алгебра: 9 класс: учеб. пособие для
общеобразоват. организаций. – М.:
Просвещение, 2018. – 368 c.

68.

Приглашаю на сайт: «Лаборатория методиста: в
помощь учителю математики»:
http://elenamard.jimdo.com
– Внеурочная деятельность;
– Методические разработки к урокам;
– Информация
о
семинарах,
вебинарах,
конференциях.
Приглашаю к диалогу:
[email protected]
Спасибо за внимание!
Удачи в делах!