Предел функции. Непрерывность функции. Точки разрыва

1. Предел функции. Непрерывность функции. Точки разрыва.

2.

Предел функции в точке
Пусть функция y f ( x) определена в некоторой окрестности точки
x0 или в некоторых точках этой окрестности.
Говорят, что функция y f ( x) стремится к пределу A ( y A ) при
x стремящемся к x0 ( x x0 ), если для любого сколь угодно малого
0
найдется такой ( ) 0 , что для всех
удовлетворяющих неравенству
x x0
x , отличных от
x0 и
имеет место неравенство
f ( x) A .
f ( x) A . Записывают следующим образом xlim
x0

3.

Кратко
это
определение
записывают,
при
помощи
общепринятых обозначений следующим образом:
lim f ( x) A
x x0
0 ( ) x : 0 x x0 f (x) A
.

4.

Геометрически это определение означает, что чем ближе
значение аргумента функции х к х0, тем ближе значение
функции у к А (какую бы маленькую мы ни выбрали окрестность точки А, найдется такое , что для всех значений
аргумента из -окрестности точки х0 значение функции
попадет в -окрестность точки А).

5.

Число А называется пределом функции y f ( x) слева в точке
x0 , если для любого 0 существует число ( ) 0 такое, что
при
x ( x0 , x0 ) ,
выполняется неравенство f ( x) A . Предел
слева записывают следующим образом
.
Аналогично
определяется
lim f ( x) A
x x0 0
предел
или
f ( x0 0) A
функции
справа.
f ( x) A или f ( x 0) A . Пределы функции
Обозначается x lim
0
x0 0
слева и справа называют односторонними пределами.

6.

существует