Моделирование алгоритмов вейвлет-преобразования. Гармонические вейвлеты

1. «Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB»

Моделирование алгоритмов
вейвлет-преобразования.
Гармонические вейвлеты
Клионский Д.М. – к.т.н., доцент кафедры
математического обеспечения и применения ЭВМ (МОЭВМ)

2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (1)

Спектральная плотность базисного вейвлета
на нулевом уровне ( j=0 )
1/ 2 , 2 4
W ( )
2 , 4
0,
Вид базисной функции во временной области
ei 4 x ei 2 x
w( x)
i 2 x
2

3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (2)

Вещественная и мнимая части базисной функции
3

4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (3)

Спектральная плотность базисного вейвлета для
k-го уровня разложения
1 j i jk
j
j
2 e 2 , 2 2 4 2
W ( ) 2
0,
2 2 j , 4 2 j
Базисный вейвлет во временной области
w(2 x m)
j
e
i 4 (2 j x m )
i 2 (2 j x m )
e
i 2 (2 j x m)
4

5. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (4)

Диадический (октавный) банк фильтров
5

6. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (5)

Спектральная плотность масштабирующей функции
1 i m
e , 0 2
W ( ) 2
0, 2
0,
Масштабирующая функция во временной области
ei 2 ( x m ) 1
( x m)
i 2 ( x m)
6

7. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (6)

7
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (6)
Соотношения для базисного вейвлета
(соотношения ортогональности)
w(2 j x m) w(2r x s )dx 0 j , m, r , s ( j , r 0)
w(2 j x m) w* (2r x s )dx 0 j , m, r , s ( j , r 0; r j; s m)
j
2
j
|
w
(2
x
m
)
|
dx
1
/
2
Аналогичные соотношения
справедливы
для масштабирующей
функции (соотношения ортогональности).
Масштабирующая
стационарными.
функция
и
базисный
вейвлет
являются

8. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (7)

Свойства гармонического вейвлет-преобразования
1) сохраняет энергию сигнала (при переходе в вейвлет-область);
2) обладает свойством линейности.
Функциональный ряд для функции f(x)
f ( x)
a
m
,k
( x m) a ,m * ( x m)
a j ,m w(2 j x m) a j ,m w * (2 j x m)
j 0 m
8

9. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЕЙВЛЕТЫ (8)

9
Свойства гармонических вейвлетов (выводы)
1) гармонические вейвлеты имеют компактный носитель в частотной
области;
2) существуют и применяются на практике быстрые алгоритмы
вычисления вейвлет-коэффициентов и восстановления сигнала во
временной области, основанные на ДПФ, которое вычисляется с
помощью алгоритмов БПФ.

10. «Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB»

Моделирование алгоритмов
вейвлет-преобразования.
Гармонические вейвлеты
Клионский Д.М. – к.т.н., доцент кафедры
математического обеспечения и применения ЭВМ (МОЭВМ)