Модели простых сплошных сред

1. Модели простых сплошных сред

1
Модели простых
сплошных сред

2.

2
Под простыми моделями сплошных сред понимаются
идеализированные представления реальных
деформируемых сред, учитывающие какое-либо одно из
основных механических свойств. К числу простых относятся
следующие четыре модели: модель идеальной среды
(идеальная жидкость или идеальный газ, не способные
оказывать сопротивление формоизменению); модель
вязкой жидкости (учитывается лишь свойство вязкости);
модель упругой среды (принимается во внимание лишь
проявление свойства упругости); модель
жесткопластической среды (проявляется только свойство
пластичности).

3.

3
Построение модели сплошной среды заключается в
составлении такой замкнутой системы уравнений и
соотношений, которая бы описывала движение и
состояние деформируемых сред с учетом их
физико-механических свойств, действия внешних сил,
тепловых и других факторов и позволяла определять
зависимости характеризующих движение и
состояние физических величин от координат и
времени
и т.п.

4. Постановка любой задачи механики сплошных сред включает следующие пять этапов:

— выбор системы отсчета и системы координат, по отношению
к которым будет описываться движение материального
континуума;
— выбор моделей сплошных сред для участвующих в
исследуемом процессе реальных деформируемых сред;
— составление системы исходных уравнений для выбранных
моделей и исследуемого процесса;
— выбор основных неизвестных характеристических функций и
переход к так называемой системе разрешающих уравнений;
— формулировка начальных и граничных условий для
решаемой задачи.

5.

Для формирования модели сплошной среды
необходимо: выбрать систему отсчета и систему
координат, по отношению к которым будет
описываться движение материального континуума,
исходя из принципа наибольшего удобства
формулирования математических соотношений,
описывающих среду; составить систему исходных
уравнений исследуемого процесса; выбрать
основные неизвестные характеристические функции
и перейти к так называемой системе разрешающих
уравнений; сформулировать начальные и граничные
условия для решаемой задачи. На примере
идеальной жидкости рассмотрим этапы
формирования модели сплошной среды.
4

6. Система исходных уравнений

Система исходных уравнений – это замкнутая
система уравнений и соотношений, которая
полностью описывает движение и состояние
деформируемых сред с учетом их физикомеханических свойств. Согласно нашему
предыдущему рассмотрению в самом общем виде
система исходных уравнений имеет следующий вид:
5

7.

Система исходных уравнений в обязательном порядке включает
основные общие для всех сплошных сред дифференциальные
уравнения механики, выражающие фундаментальные законы
сохранения массы (1), импульса (2), энергии (3), а также
общие для всех сред кинематические соотношения (4) –
выражение для координат перемещения, и (5) – выражение для
тензора скоростей деформаций, а также геометрические
соотношения (6) – выражение для тензора деформаций в
случае линейных деформаций (в нашем случае).
6

8.

Индивидуальные особенности рассматриваемой
деформируемой среды в отношении оказания
сопротивления деформированию учитываются
физическими соотношениями (7), обязательно
включаемыми в систему исходных уравнений
согласно выбранной модели сплошной среды. В
следующем разделе остановимся подробнее на
выборе конкретного вида соотношений (7).
7

9.

Начальные и граничные условия. Неотъемлемым и важнейшим
элементом постановки любой задачи механики сплошных сред
является формулировка начальных и граничных условий. Их
значение определяется тем, что та или иная система
разрешающих уравнений описывает целый класс движений
соответствующей деформируемой среды, и лишь задание
отвечающих исследуемому процессу начальных и граничных
условий позволяет выделить из этого класса представляющий
интерес частный случай, соответствующий решаемой
практической задаче.
Начальные условия — это условия, которыми задаются значения
искомых характеристических функций в момент начала
рассмотрения исследуемого процесса. Количество задаваемых
начальных условий определяется количеством основных
неизвестных функций, входящих в систему разрешающих
уравнений, а также порядком входящей в эту систему высшей
производной по времени. Например, адиабатическое движение
идеальной жидкости или идеального газа описывается системой
шести уравнений с шестью основными неизвестными — тремя
компонентами вектора скорости
и давлением

10.

Плотностью
и удельной внутренней энергией
при этом порядок производных этих физических величин по
времени не превышает первый порядок. Соответственно этому в
качестве начальных условий должны быть заданы начальные поля
этих шести физических величин: при t =0
В некоторых случаях (например, в
динамической теории упругости) в качестве основных неизвестных в
системе разрешающих уравнений используются не компоненты
вектора скорости а компоненты вектора перемещений движения
содержит производные второго порядка компонент перемещения,
что требует задания двух начальных условий для искомой функции:
при t = 0

11.

Более сложным и разнообразным образом при постановке задач
механики сплошных сред задаются граничные условия. Граничные условия
— это условия, которыми задаются значения искомых функций (или их
производных по координатам и времени) на поверхности S области,
занимаемой деформируемой средой. Различают граничные условия
нескольких типов: кинематические, динамические, смешанные и
температурные.
Кинематические граничные условия соответствуют случаю, когда на
поверхности S тела (или ее части) задаются перемещения
или скорости
где
— координаты
точек поверхности S, изменяющиеся в общем случае в зависимости от
времени.

12.

Динамические граничные условия (или граничные условия в
напряжениях) задаются, когда на поверхности S действуют
поверхностные силы р. Как следует из теории напряжений, в
этом случае на любой элементарной площадке поверхности
с единичным вектором нормали п вектор удельных
поверхностных сил рп принудительно задает вектор полного
напряжения σп = рn, действующий в сплошной среде в точке
на данном участке поверхности, что приводит к взаимосвязи
тензора напряжений (σ) в этой точке с поверхностной силой и
ориентацией вектора п соответствующего участка
поверхности: (σ) · п = рп или

13.

Смешанные граничные условия соответствуют случаю, когда на поверхности
S задаются значения и кинематических, динамических величин или
устанавливаются взаимосвязи между ними.
Температурные граничные условия подразделяются на несколько групп
(родов). Граничные условия первого рода задают на поверхности S
деформируемой среды определенные значения температуры Т. Граничные
условия второго рода задают на границе вектор теплового потока q, что с
учетом закона теплопроводности Фурье q = — λ grad T, по существу,
накладывает ограничения на характер температурного распределения в
окрестности граничной точки
.
Граничные условия третьего рода устанавливают зависимость между
вектором теплового потока q, направленным к данной среде со стороны
окружающей среды, и температурным перепадом между этими средами и
т.д.
Следует отметить, что постановка и решение большинства задач физики
быстропротекающих процессов, как правило, осуществляются в
адиабатическом приближении, поэтому температурные граничные условия
используются достаточно редко, в основном в различных сочетаниях
применяются кинематические, динамические и смешанные граничные
условия

14. Спасибо за внимание