Теория управляемых процессов. Рекуррентные соотношения Беллмана

1. теория управляемых процессов

Рекуррентные соотношения Беллмана

2. Введение

• Метод динамического программирования –
один из наиболее мощных и широко известных
математических методов современной теории
управления, был предложен в конце 50-х годов
американским математиком Р. Беллманом
• Используется для процессов в экологии и
управлении качеством с дискретным значениям
времени для многошаговых процессов
управления, которым могут отвечать дни,
месяцы или годы

3. Рассматриваемые вопросы

• Параметры управляемой системы
• Расчет соотношений Беллмана
(прямой ход)
• Расчет управляющих
коэффициентов (обратный ход)
• Расчет эффективности вектора
управления

4. Параметры управляемой системы

• Эффективное управление реконструкцией
производства – увеличение объемов выпуска
продукции за счет замены устаревшего
оборудования более производительным
• Исходные данные
–
–
–
–
Периодов реконструкции – 6
Средства на реконструкцию – S
Замена оборудования – 600 рублей
Дополнительная прибыль – 200 рублей
• Доля средств на продолжение реконструкции –
Xi=?, i=1,2,…,6

5. Расчет соотношений Беллмана (прямой ход)

• Первый период S
расчет
n1
• Новых станков
600
• Дополнительной
прибыли
q1 n1 200
• Средства на
продолжение
f
q
x
1
1
1
реконструкции
• Накопление средств
w1 q1 1 x1

6. Второй период

Новых станков – n2
Дополнительная прибыль – q2
Продолжение реконструкции – f2
Накопление средств – w2
f1
q1 x1
n1 200 x1
1
n2 n1
n2 n1
n1
n1 x1 n1
600
600
600
3
1
n2 n1 x1 n1
3
q2 n2 200
f 2 q 2 x2
w2 q2 1 x2 n2 200 1 x2

7. Третий период

• Новых станков – n3
• Накопление средств – w3
1
n3 n2 x2 n2
3
w3 n3 200 1 x3

8. Остальные периоды (соотношения Беллмана)

• Новых станков – ni
• Накопление средств – wi
1
ni ni 1 xi 1 ni 1
3
wi ni 200 1 xi

9. Расчет коэффициентов (обратный ход)

• Шестой период - расчет
• Накопление средств
• Значение управляющего коэффициента x6
– x6=0 – только накопление
w6 n6 200 1 x6 200 n6 200 n6 x6
w6 200 n6
x6 0
0 x6 0

10. Пятый период

• Накопление средств
• Раскрываем скобки и проводим алгебраические
преобразования
• Значение управляющего коэффициента x5
– x5=0 – только накопление
w5 n5 200 1 x5 200
n6
1
n5 x5 n5
3
1
w5 n5 200 1 x5 200 n5 x5 n5
3
200
w5 n5 200 n5 200 x5 200 n5
x5 n5
3
400
w5 400 n5
x5 n5 w5 400 n5
3
0 x5 0

11. Четвертый период

• Накопление средств
• Раскрываем скобки и проводим алгебраические
преобразования
• Значение управляющего коэффициента x4
– x4=0 – только накопление
400
w4 n4 200 n4 200 x4 400 n4
x4 n4
3
200
w4 600 n4
x4 n4 w4 600 n4
3
0 x4 0

12. Третий период

• Накопление средств
• Раскрываем скобки и проводим алгебраические
преобразования
• Значение управляющего коэффициента x3
– 0≤x3≤1 – любой допустимый вариант
600
w3 n3 200 n3 200 x3 600 n3
x3 n3
3
w3 800 n3

13. Второй период

• Накопление средств
• Раскрываем скобки и проводим алгебраические
преобразования
• Значение управляющего коэффициента x2
– x2 – только реконструкция
800
w2 n2 200 n2 200 x2 800 n2
x2 n2
3
200
3200
w2 1000 n2
x2 n2 w2
n2
3
3
x2 1

14. Первый период

• Накопление средств
• Раскрываем скобки и проводим алгебраические
преобразования
• Значение управляющего коэффициента x1
– x1 – только реконструкция
3200
3200
w1 n1 200 n1 200 x1
n1 3 x1 n1
3
3
3800
1400
12800
w1
n1
x1 n1 w1
n1
3
9
9
x1 1

15. Расчет эффективности вектора управления

• Определяем эффективность вложения
средств
• Определяем периоды реконструкции и
накопления
12800
64
w1
n1 w1
S
9
27
S
x1 1; x2 1; x3 0,5; x4 0; x5 0; x6 0;
600

16. Варианты заданий

Вариант
Замена оборудования
Дополнительная прибыль
Вариант
Замена оборудования
Дополнительная прибыль
Вариант
Замена оборудования
Дополнительная прибыль
1
Вариант
25 Замена оборудования
49 Дополнительная прибыль
5
Вариант
36 Замена оборудования
51 Дополнительная прибыль
9
Вариант
23 Замена оборудования
43 Дополнительная прибыль
2
Вариант
36 Замена оборудования
53 Дополнительная прибыль
6
Вариант
37 Замена оборудования
51 Дополнительная прибыль
10
Вариант
35 Замена оборудования
49 Дополнительная прибыль
3
Вариант
27 Замена оборудования
41 Дополнительная прибыль
7
Вариант
23 Замена оборудования
43 Дополнительная прибыль
11
Вариант
29 Замена оборудования
44 Дополнительная прибыль
4
32
53
8
33
47
12
23
47