Логические основы компьютеров
Логические основы компьютеров
Вспомним известное…
Вспомним известное…
Операция НЕ (инверсия)
Операция И
Операция И (логическое умножение, конъюнкция)
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
Операция «исключающее ИЛИ»
Свойства операции «исключающее ИЛИ»
Импликация («если …, то …»)
Импликация («если …, то …»)
Эквиваленция («тогда и только тогда, …»)
Базовый набор операций
Штрих Шеффера, «И-НЕ»
Стрелка Пирса, «ИЛИ-НЕ»
Логические основы компьютеров
Формализация
Вычисление логических выражений
Составление таблиц истинности
Составление таблиц истинности
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Диаграммы Венна (круги Эйлера)
Диаграмма с тремя переменными
Диаграмма с тремя переменными
Диаграмма с тремя переменными
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Сложная задача
Логические основы компьютеров
Законы алгебры логики
Упрощение логических выражений
Упрощение логических выражений
Примеры:
Задачи (упрощение)
Логические основы компьютеров
Логические уравнения
Логические уравнения
Логические уравнения
Логические уравнения
Логические уравнения
Логические уравнения
Логические уравнения
Системы логических уравнений
Системы логических уравнений
Системы логических уравнений
Системы логических уравнений
Системы логических уравнений
Логические основы компьютеров
Синтез логических выражений
Синтез логических выражений (2 способ)
Синтез логических выражений (3 способ)
Синтез логических выражений
Синтез логических выражений (2 способ)
Логические основы компьютеров
Что нужно знать о множествах?
Что нужно знать о множествах?
Множества и логические функции
Задача дополнения (I)
Задача дополнения (II)
Общий подход к решению
Задачи с отрезками
Задачи с отрезками
Задачи с отрезками-II
Задачи с отрезками-II
Задачи с отрезками-III
Задачи с отрезками-III
Множества чисел
Множества чисел
Множества чисел-II
Множества чисел-II
Логические основы компьютеров
Предикаты
Предикаты и кванторы
Кванторы
Кванторы
Несколько кванторов
Отрицание
Логические основы компьютеров
Логические элементы компьютера
Логические элементы компьютера
Составление схем
Триггер (англ. trigger – защёлка)
Триггер – таблица истинности
Полусумматор
4.83M
Категория: ПрограммированиеПрограммирование

Логические основы компьютеров. 10 класс

1. Логические основы компьютеров

1
Логические основы
компьютеров
§ 16. Логические операции
§ 17. Логические выражения
§ 18. Упрощение логических выражений
§ 19. Логические уравнения
§ 20. Синтез логических выражений
§ 21. Множества и логика
§ 22. Предикаты и кванторы
§ 23. Логические элементы компьютера
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

2. Логические основы компьютеров

2
Логические
основы
компьютеров
§ 16. Логика и компьютер
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

3. Вспомним известное…

Логические основы компьютеров, 10 класс
3
Вспомним известное…
Логическое высказывание – это
повествовательное предложение, относительно
которого можно однозначно сказать, истинно оно
(0) или ложно (1).
Алгебра логики (булева алгебра) — это
математический аппарат, с помощью которого
записывают, вычисляют, упрощают и
преобразуют логические высказывания.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

4. Вспомним известное…

Логические основы компьютеров, 10 класс
4
Вспомним известное…
Логическое выражение — это символическая
запись высказывания, которая может
содержать логические переменные и знаки
логических операций.
Логическая функция — это правило
преобразования входных логических значений
в выходные. Логическая функция задаётся
таблицей истинности.
Выражения:
A
A+A B
A (A+B)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
F
0
0
1
1
функция
http://kpolyakov.spb.ru

5. Операция НЕ (инверсия)

Логические основы компьютеров, 10 класс
5
Операция НЕ (инверсия)
Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и
наоборот.
также A , A ,
А
не А
0
1
1
0
not A (Паскаль),
! A (Си)
таблица
истинности
операции НЕ
Таблица истинности логического выражения Х – это
таблица, где в левой части записываются все
возможные комбинации значений исходных данных,
а в правой – значение выражения Х для каждой
комбинации.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

6. Операция И

Логические основы компьютеров, 10 класс
6
Операция И
Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда,
когда А и B истинны одновременно.
AиB
A
B
220 В
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

7. Операция И (логическое умножение, конъюнкция)

Логические основы компьютеров, 10 класс
7
Операция И (логическое умножение, конъюнкция)
0
1
2
3
A
B
АиB
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
также: A·B, A B,
A and B (Паскаль),
A && B (Си)
A B
конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

8. Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

Логические основы компьютеров, 10 класс
8
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
Высказывание «A или B» истинно тогда, когда
истинно А или B, или оба вместе.
A или B
A
B
220 В
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

9. Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

Логические основы компьютеров, 10 класс
9
Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
A
B
А или B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
также: A+B, A B,
A or B (Паскаль),
A || B (Си)
дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

10. Операция «исключающее ИЛИ»

Логические основы компьютеров, 10 класс
10
Операция «исключающее ИЛИ»
Высказывание «A B» истинно тогда, когда истинно А
или B, но не оба одновременно (то есть A B).
«Либо пан, либо пропал».
A
B
А B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
также:
A xor B (Паскаль),
A ^ B (Си)
арифметическое
сложение, 1+1=2
остаток
сложение по модулю 2: А B = (A + B) mod 2
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

11. Свойства операции «исключающее ИЛИ»

Логические основы компьютеров, 10 класс
11
Свойства операции «исключающее ИЛИ»
A A= 0
(A B) B = ?
A 0= A
A 1= A
A B A B A B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
0
0
1
0
A B A B A B А B
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
http://kpolyakov.spb.ru

12. Импликация («если …, то …»)

Логические основы компьютеров, 10 класс
12
Импликация («если …, то …»)
Высказывание «A B» истинно, если не
исключено, что из А следует B.
A – «Работник хорошо работает».
B – «У работника хорошая зарплата».
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
А B
1
1
0
1
A B A B
http://kpolyakov.spb.ru

13. Импликация («если …, то …»)

Логические основы компьютеров, 10 класс
13
Импликация («если …, то …»)
«Если Вася идет гулять, то Маша сидит дома».
A – «Вася идет гулять».
A
B
А
B
B – «Маша сидит дома».
A B 1
?
А если Вася не идет
гулять?
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Маша может пойти гулять
(B=0), а может и не пойти (B=1)!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

14. Эквиваленция («тогда и только тогда, …»)

Логические основы компьютеров, 10 класс
14
Эквиваленция («тогда и только тогда, …»)
Высказывание «A B» истинно тогда и только
тогда, когда А и B равны.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А B
1
0
0
1
A B A B A B A B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

15. Базовый набор операций

Логические основы компьютеров, 10 класс
15
Базовый набор операций
С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно
реализовать любую логическую операцию.
И
ИЛИ
НЕ
базовый набор операций
?
Сколько всего существует логических операций с
двумя переменными?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

16. Штрих Шеффера, «И-НЕ»

Логические основы компьютеров, 10 класс
16
Штрих Шеффера, «И-НЕ»
A | B A B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А|B
1
1
1
0
Базовые операции через «И-НЕ»:
A A|A
A B A | B (A | B) | (A | B)
A B A | B (A | A) | (B | B)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

17. Стрелка Пирса, «ИЛИ-НЕ»

Логические основы компьютеров, 10 класс
17
Стрелка Пирса, «ИЛИ-НЕ»
A B A B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
А↓B
1
0
0
0
Базовые операции через «ИЛИ-НЕ»:
!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
Самостоятельно…
http://kpolyakov.spb.ru

18. Логические основы компьютеров

18
Логические
основы
компьютеров
§ 17. Логические выражения
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

19. Формализация

Логические основы компьютеров, 10 класс
19
Формализация
Прибор имеет три датчика и может работать, если два из
них исправны. Записать в виде формулы ситуацию
«авария».
A – «Датчик № 1 неисправен».
B – «Датчик № 2 неисправен».
Формализация – это
переход к записи на
C – «Датчик № 3 неисправен».
формальном языке!
Аварийный сигнал:
X – «Неисправны два датчика».
X – «Неисправны датчики № 1 и № 2» или
«Неисправны датчики № 1 и № 3» или
«Неисправны датчики № 2 и № 3».
логическая
формула
X A B A C B C
!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

20. Вычисление логических выражений

Логические основы компьютеров, 10 класс
20
Вычисление логических выражений
1
4
2
5
3
X A B A C B C
+
Порядок вычислений:
•скобки
• НЕ
•И
• ИЛИ, исключающее ИЛИ
• импликация
• эквиваленция
A
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
+
B
A
B
C
С
http://kpolyakov.spb.ru

21. Составление таблиц истинности

Логические основы компьютеров, 10 класс
21
Составление таблиц истинности
X A B A B B
0
1
2
3
A
B
A·B
A B
B
X
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Логические выражения могут быть:
• тождественно истинными (всегда 1, тавтология)
• тождественно ложными (всегда 0, противоречие)
• вычислимыми (зависят от исходных данных)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

22. Составление таблиц истинности

Логические основы компьютеров, 10 класс
22
Составление таблиц истинности
X A B A C B C
0
1
2
3
4
5
6
7
A
B
C
A∙B
A∙C
B∙C
X
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

23. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
23
Задачи
Задача 1. При каких значениях логических переменных
истинно выражение:
X1 X 2 X 3 X 4 X 5
Решение. Все сомножители равны 1:
X 1 X 4 1,
X2 X3 X5 1
Задача 2. При каких значениях логических переменных
ложно выражение:
X1 X 2 X 3 X 4 X 5
Решение. Все слагаемые равны 0:
X 1 X 3 X 5 0,
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
X2 X4 1
http://kpolyakov.spb.ru

24. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
24
Задачи
Задача 3. Запишите любое логические выражение,
соответствующее таблице истинности:
в полной
23 = 8 строк
X Y Z F
Полная таблица?
?
1 0 0 1
0 0 0 0
1 1 1 0
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
истинно при X = 1, Y = Z = 0
X Y Z 1
F X Y Z
http://kpolyakov.spb.ru

25. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
25
Задачи
Задача 4. Запишите любое логические выражение,
соответствующее таблице истинности:
X
1
0
1
Y
0
0
1
Z
0
0
1
F
0
1
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
ложно при X = 1, Y = Z = 0
X Y Z 0
F X Y Z
http://kpolyakov.spb.ru

26. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
26
Задачи
Задача 5. Символом F обозначено одно
из указанных ниже логических
выражений от трёх аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности
выражения F. Какое выражение
соответствует F?
1) X Y Z
1) ¬X ¬Y ¬Z
2) X Y Z
2) X Y Z
3) X Y Z
3) X Y Z
4) X Y Z
4) ¬X ¬Y ¬Z
X
1
0
1
Y
0
0
1
Z
0
0
1
F
1
1
0
Быстрый способ:
F X Y Z
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

27. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
27
Задачи
Задача 6. Запишите любое логические выражение,
соответствующее таблице истинности:
x1
x2
x3
0
0
x4
x5
x6
x7
x8
1
0
0
0
F
1
0
0
«И»
F x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8
могут быть и с инверсиями!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

28. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
28
Задачи
Задача 7. Задана таблица истинности логической
функции F Z X X Y . Определите, где какой
столбец.
Z Y
?
? X
? F
X Y Z
0 0 0 0
0 0 0
0 0 1 1
0 0 1
0 1 0 0
0 1 0
0 1 1 1
0 1 1
1 0 0 0
1 0 0
X Y Z F
1 0 1 0
1 0 0 1
1 0 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
F
1
1
1
http://kpolyakov.spb.ru

29. Диаграммы Венна (круги Эйлера)

Логические основы компьютеров, 10 класс
29
Диаграммы Венна (круги Эйлера)
A
A
A
B
B
A·B
A
A+B
A
A
A
B
B
A B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
A B
B
A B
http://kpolyakov.spb.ru

30. Диаграмма с тремя переменными

Логические основы компьютеров, 10 класс
30
Диаграмма с тремя переменными
Хочу
Могу
3
2
1
5
6
4
7
8
1 M X H
5 M X H
2 M X H
6 M X H
3 M X H
7 M X H
4 M X H
8 M X H
Надо
3 4 M X H M X H
!
3 4 X H
Логические выражения можно упрощать!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

31. Диаграмма с тремя переменными

Логические основы компьютеров, 10 класс
31
Диаграмма с тремя переменными
F M (X H)
М
Х
M ( X H )
M X
Н
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

32. Диаграмма с тремя переменными

Логические основы компьютеров, 10 класс
32
Диаграмма с тремя переменными
F M (X H)
М
Х
M X
M (X H)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
Н
M
http://kpolyakov.spb.ru

33. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
33
Задачи
Известно количество сайтов, которых находит поисковый
сервер по следующим запросам:
Запрос
огурцы
помидоры
огурцы & помидоры
Количество сайтов
100
200
50
Сколько сайтов будет найдено по запросу
огурцы | помидоры
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

34. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
34
Задачи
A
B
NA|B = NA+ NB
50
огурцы & помидоры
A
B
NA|B = NA+ NB – NA&B
огурцы | помидоры
250
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
огурцы
помидоры
100
200
http://kpolyakov.spb.ru

35. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
35
Задачи
Известно количество сайтов, которых находит поисковый
сервер по следующим запросам:
Количество
сайтов
Запрос
Динамо & Рубин
Спартак & Рубин
(Динамо | Спартак) & Рубин
320
280
430
Сколько сайтов будет найдено по запросу
Динамо & Спартак & Рубин
!
Общее условие с & можно отбросить !
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

36. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
37
Задачи
Известно количество сайтов, которых находит
поисковый сервер по следующим запросам :
Запрос
Динамо
Спартак
Динамо | Спартак
Количество
сайтов
320
280
430
Сколько сайтов будет найдено по запросу
Динамо & Спартак
Ответ: 320 + 280 – 430 = 170
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

37. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
39
Задачи
Поисковый сервер в автоматическом режиме составил
таблицу ключевых слов для сайтов некоторого
сегмента Интернета. Вот ее фрагмент:
Ключевое слово
сканер
принтер
монитор
Количество сайтов, для которых
данное слово является ключевым
200
250
450
Сколько сайтов будет найдено по запросу
(принтер | сканер) & монитор
если по трем следующим запросам найдено:
принтер | сканер
– 450 сайтов,
принтер & монитор
– 40 сайтов
сканер & монитор
– 50 сайтов.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

38. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
40
Задачи
А (сканер)
B (принтер)
450
принтер | сканер
0
NA|B = NA+ NB – NA&B
сканер
200
принтер
250
(принтер | сканер) & монитор = ?
принтер
сканер
принтер & монитор = 40
50
40
сканер & монитор = 50
монитор
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
40 + 50 = 90
http://kpolyakov.spb.ru

39. Задачи

Логические основы компьютеров, 10 класс
41
Сложная задача
Ниже приведены запросы и количество страниц, которые нашел
поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте
Интернета:
мезозой
500
кроманьонец
600
неандерталец
700
мезозой | кроманьонец
800
мезозой | неандерталец
1000
неандерталец & (мезозой | кроманьонец) 200
Сколько страниц будет найдено по запросу
кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

40. Задачи

42
Логические
основы
компьютеров
§ 21. Упрощение логических
выражений
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

41. Сложная задача

Логические основы компьютеров, 10 класс
43
Законы алгебры логики
название
для И
для ИЛИ
A A
двойного отрицания
A A 0
A A 1
операции с
константами
A 0 0, A 1 A
A 0 A, A 1 1
повторения
A A A
A A A
исключения третьего
поглощения
переместительный
A ( A B) A
A A B A
A B B A
A B B A
сочетательный
A (B C) ( A B) C A (B C) ( A B) C
распределительный
A B C ( A B) ( A C)
A (B C) A B A C
законы де Моргана
A B A B
A B A B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

42. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
44
Упрощение логических выражений
Шаг 1. Заменить операции на их выражения
через И, ИЛИ и НЕ:
A B A B A B
A B A B
A B A B A B
Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по
формулам де Моргана:
A B A B,
A B A B
Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение,
стараясь применять закон исключения третьего.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

43. Законы алгебры логики

Логические основы компьютеров, 10 класс
45
Упрощение логических выражений
Q M X H M X H (M M ) X H X H
X (B A) (A B) (A C)
( B A) (A B) (A C)
формула де Моргана
( B A) A B (A C)
( B A A A ) B (A C)
B A B (A C)
B A (A C)
B A
раскрыли
распределительный
исключения третьего
повторения
поглощения
?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
Как сделать проще?
http://kpolyakov.spb.ru

44. Упрощение логических выражений

Логические основы компьютеров, 10 класс
46
Примеры:
F P (Q A P )
Ответ: F P Q A
F (A P ) ( Q A)
Ответ: F A P Q
F (A Q) P ((A Q ) ( Q A Q P))
Ответ: F A Q P
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

45. Упрощение логических выражений

Логические основы компьютеров, 10 класс
47
Задачи (упрощение)
Какое логическое выражение равносильно выражению
A ¬(¬B C)?
1) A B C
1) ¬A ¬B ¬C
2) A B C
2) A ¬B ¬C
3) A B C
3) A B ¬C
4) A B C
4) A ¬B C
A ( B C) A B C A B C
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

46. Примеры:

48
Логические
основы
компьютеров
§ 19. Логические уравнения
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

47. Задачи (упрощение)

Логические основы компьютеров, 10 класс
49
Логические уравнения
?
((B C) A) ( A C D) 0
Как решать?
Способ 1. Построить таблицу истинности…
16 строк!
Способ 2. Свойство импликации:
(B C) A 1, A = 1 A C D 0
B C A 1 B = C = 0
D=0
Способ 3. Упрощение:
( B C A) ( A C D) 0
B C A ( A C D) 0
B C A A C D 0
B C A D 0
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
A=1
B=C=D=0
http://kpolyakov.spb.ru

48. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
50
Логические уравнения
A B C B C D 0
?
Сколько может быть
решений?
16
Решение. Найдём число решений для
A B C B C D 1
A B C 1 или
B C D 1
(A, B, C, D):
(1, 1, 1, 0)
(1, 1, 1, 1)
нет повторяющихся!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
(0, 0, 0, 1)
(1, 0, 0, 1)
Ответ: 16 – 4 = 12
http://kpolyakov.spb.ru

49. Логические уравнения

Логические основы компьютеров, 10 класс
51
Логические уравнения
x1 x2 x3 x4 x5 0
00000
Запрещены 1!
x1 x2 x3 x4 x5 1
?
Ответ: 31
x1 x2 x3 x4 x5 1
Запрещены 0!
x1 x2 x3 x4 x5 0
Сколько
решений?
11111
?
Сколько
решений?
Ответ: 31
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

50. Логические уравнения

Логические основы компьютеров, 10 класс
52
Логические уравнения
( x1 x2 ) ( x3 x4 ) 1
Запрещены 00** и **00!
x1 x2 x3 x4
пары битов:
3 3
0101 1001 1101
0110 1010 1110
0111 1011 1111
9 решений!
3
01, 10, 11
( x1 x2 ) ( x3 x4 ) 0
4 переменные – всего 24 = 16 вариантов
для уравнения с 1 в правой части – 9 решений
16 – 9 = 7 решений!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

51. Логические уравнения

Логические основы компьютеров, 10 класс
53
Логические уравнения
( x1 ~ x2 ) ( x2 ~ x3 ) ( x3 ~ x4 ) ( x4 ~ x5 ) ( x5 ~ x6 ) 1
? Сколько может быть
Решение:
решений?
64
Пусть x1 = 0, тогда…
x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = 0
Пусть x1 = 1, тогда…
x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = 1
Ответ: 2 решения,
000000 и 111111
( x1 ~ x2 ) ( x2 ~ x3 ) ( x3 ~ x4 ) ( x4 ~ x5 ) ( x5 ~ x6 ) 0
?
Сколько решений?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
62
http://kpolyakov.spb.ru

52. Логические уравнения

Логические основы компьютеров, 10 класс
54
Логические уравнения
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x3 x4 ) ( x4 x5 ) ( x5 x6 ) 1
Решение:
Пусть x1 = 0, тогда…
x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 0, x6 = 1
Пусть x1 = 1, тогда…
x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 1, x6 = 0
Ответ: 2 решения,
010101 и 101010
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x3 x4 ) ( x4 x5 ) ( x5 x6 ) 0
?
Сколько решений?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
62
http://kpolyakov.spb.ru

53. Логические уравнения

Логические основы компьютеров, 10 класс
55
Логические уравнения
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x3 x4 ) ( x4 x5 ) ( x5 x6 ) 1
? Когда нарушится?
Решение:
Рассмотрим цепочку x1 x2 x3 x4 x5 x6
!
1 0
После 1 могут быть только 1!
Ответ: 000000
000001
000011
000111
001111
011111
111111
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
7 решений
Для уравнения с N переменными:
N+1 решений.
http://kpolyakov.spb.ru

54. Логические уравнения

Логические основы компьютеров, 10 класс
56
Системы логических уравнений
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ... ( x5 x6 ) 1
7 решений
( y1 y2 ) ( y2 y3 ) ... ( y4 y5 ) 1
6 решений
!
Уравнения независимы!
всего 7 6 = 42 решения!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

55. Логические уравнения

Логические основы компьютеров, 10 класс
57
Системы логических уравнений
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ... ( x5 x6 ) 1
7 решений
( y1 y2 ) ( y2 y3 ) ... ( y4 y5 ) 1
6 решений
y 2 x4 1
уравнение связи
y2 0 x4 {0, 1} X:
000000
y2 1 x4 1
000001
всего 7 4 + 4 2
= 36 решений!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
000011
000111
001111
011111
111111
Y:
00000
00001
00011
00111
01111
11111
7
7
7
7
4
4
http://kpolyakov.spb.ru

56. Системы логических уравнений

Логические основы компьютеров, 10 класс
58
Системы логических уравнений
( x1 y1 ) ( x2 y2 )
( x2 y2 ) ( x3 y3 )
...
( x8 y8 ) ( x9 y9 )
Замена переменных:
z1 ( x1 y1 )
z2 ( x2 y2 )

z9 ( x9 x9 )
z1 z 2 , z2 z3, z8 z9
z1 z 2 , z2 z3, z8 z9
( z1 z2 ) ( z2 z3 ) ( z2 z3 ) ( z8 z9 ) 1
!
Биты чередуются!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
Решения: Z = 010101010,
Z = 101010101
http://kpolyakov.spb.ru

57. Системы логических уравнений

Логические основы компьютеров, 10 класс
59
Системы логических уравнений
Решения: Z = 010101010,
Z = 101010101
zi ( xi yi )
9 битов
zi 0 ( xi , yi ) (0,1) (1,0)
zi 1 ( xi , yi ) (0,0) (1,1)
!
0 и 1 дают по
2 решения!
29 + 29 = 1024
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

58. Системы логических уравнений

Логические основы компьютеров, 10 класс
60
Системы логических уравнений
( x1 y1 ) ( x2 y2 )
( x2 y2 ) ( x3 y3 )
Замена переменных:
z1 ( x1 y1 )
z 2 ( x2 y 2 )
...
( x5 y5 ) ( x6 y6 )
z6 ( x6 y6 )
( z1 z2 ) ( z2 z3 ) ( z5 z6 ) 1
«биты чередуются»
Решения: 010101, 101010
zi 1 ( xi , yi ) (1,1)
Ответ: 33+33= 54
zi 0 ( xi , yi ) (0,0)(0,1)(1,0)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

59. Системы логических уравнений

61
Логические
основы
компьютеров
§ 20. Синтез логических
выражений
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

60. Системы логических уравнений

Логические основы компьютеров, 10 класс
62
Синтез логических выражений
A B
X
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
A B
A B
A B
Шаг 1. Отметить строки в
таблице, где X = 1.
Шаг 2. Для каждой из них
записать логическое
выражение, которое истинно
только для этой строки.
Шаг 3. Сложить эти выражения и
упростить результат.
распределительный
X A B A B A B A (B B) A B
A A B ( A A) ( A B) A B
исключения
третьего
распределительный
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
исключения
третьего
http://kpolyakov.spb.ru

61. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
63
Синтез логических выражений (2 способ)
A B
X
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
A B
Шаг 1. Отметить строки в
таблице, где X = 0.
Шаг 2. Для каждой из них
записать логическое
выражение, которое истинно
только для этой строки.
Шаг 3. Сложить эти выражения и
упростить результат, который
равен X .
Шаг 4. Сделать инверсию.
X A B X A B A B
?
Когда удобнее применять 2-ой способ?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

62. Синтез логических выражений

Логические основы компьютеров, 10 класс
64
Синтез логических выражений (3 способ)
A B
X
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
A B
A B
Шаг 1. Отметить строки в
таблице, где X = 0.
Шаг 2. Для каждой из них
записать логическое
выражение, которое ложно
только для этой строки.
Шаг 3. Перемножить эти
выражения и упростить
результат.
X (A B) ( A B) A A B A A B B B
B (A A) B B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

63. Синтез логических выражений (2 способ)

Логические основы компьютеров, 10 класс
65
Синтез логических выражений
A
B C
X
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
X A B C A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C A B C
A B C A B C
A B ( C C)
A B ( C C)
A C ( B B)
A B A B A C
A (B B) A C
A A C
(A A) (A C) A C
http://kpolyakov.spb.ru

64. Синтез логических выражений (3 способ)

Логические основы компьютеров, 10 класс
66
Синтез логических выражений (2 способ)
A
B C
X
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
X A B C A B C
A C ( B B)
A C
X A C A C
A B C
A B C
!
3-й способ –
самостоятельно.
http://kpolyakov.spb.ru

65. Синтез логических выражений

67
Логические
основы
компьютеров
§ 21. Множества и логика
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

66. Синтез логических выражений (2 способ)

Логические основы компьютеров, 10 класс
68
Что нужно знать о множествах?
U – универсальное
множество
(все натуральные)
A
(делятся на 6)
A – дополнение A до
универсального множества
(НЕ делятся на 6)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

67. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
69
Что нужно знать о множествах?
A
B
A·B – пересечение (A B)
A
B
A+B – объединение (A B)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

68. Что нужно знать о множествах?

Логические основы компьютеров, 10 класс
70
Множества и логические функции
Множество задаётся логической функцией
x A
A
A(x) = 1
A( x) 1 x A
x A
A
A
B
A( x) B( x) 1 x A·B
A
B
A( x) B( x) 1 x A+B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

69. Что нужно знать о множествах?

Логические основы компьютеров, 10 класс
71
Задача дополнения (I)
Задача 1. Каким должно быть множество A для того,
чтобы множество A + B совпадало с универсальным
множеством U?
A B U A( x) B( x) 1 для всех x
это решение!
B B U A B
B ( x) 1
это условие
?
A
Есть ли другие решения?
определяет нужное
множество A
A включает B
(A B)
C B B U Amin B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

70. Множества и логические функции

Логические основы компьютеров, 10 класс
72
Задача дополнения (II)
Задача 2. Каким должно быть множество A для того,
чтобы множество A B совпадало с универсальным
множеством U?
A B U A( x) B( x) 1 для всех x
B B U A B A B
B( x ) 1
это условие
это решение!
?
A
Есть ли другие решения?
определяет нужное
множество A
A включает B
(A B)
C B B U ( A ) min B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
A B
Amax B
http://kpolyakov.spb.ru

71. Задача дополнения (I)

Логические основы компьютеров, 10 класс
73
Общий подход к решению
1. Свести задачу к одной из базовых задач
Задача 1. A B 1
B A 1
Задача 2. A B 1 B A 1
2. Использовать готовое решение:
Задача 1. Amin B
Задача 2. Amax B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

72. Задача дополнения (II)

Логические основы компьютеров, 10 класс
74
Задачи с отрезками
На числовой прямой даны два отрезка:
P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую
возможную длину такого отрезка A, что
выражение
(x P) → (((x Q) ¬(x A)) → ¬(x P))
истинно при любом значении переменной х.
Вводим утверждения:
P = (x P), Q = (x Q),
A = (x A)
Заданное условие:
P (Q A P )
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

73. Общий подход к решению

Логические основы компьютеров, 10 класс
75
Задачи с отрезками
Упрощение выражения:
P (Q A P ) P (Q A P)
P Q A P
P Q A
A B 1 Задача 1
Решение:
P Q
Amin B P Q P Q
P = [37; 60], Q = [40; 77]
Amin = [40; 60]
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
длина 20
http://kpolyakov.spb.ru

74. Задачи с отрезками

Логические основы компьютеров, 10 класс
76
Задачи с отрезками-II
На числовой прямой даны два отрезка:
P = [10; 20] и Q = [25; 55]. Укажите наибольшую
возможную длину такого отрезка A, что
выражение
(x A) → ((x P) (x Q))
истинно при любом значении переменной х.
Вводим утверждения:
P = (x P), Q = (x Q),
A = (x A)
Заданное условие:
A ( P Q)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

75. Задачи с отрезками

Логические основы компьютеров, 10 класс
77
Задачи с отрезками-II
Упрощение выражения:
A ( P Q) A P Q
A B 1 Задача 2
P Q
Решение:
Amax B P Q
P = [10; 20], Q = [25; 55]
Нельзя перекрыть!
Q
P
10
20 25
Amax = [25; 55]
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
55
x
длина 30
http://kpolyakov.spb.ru

76. Задачи с отрезками-II

Логические основы компьютеров, 10 класс
78
Задачи с отрезками-III
На числовой прямой даны два отрезка:
P = [10; 20] и Q = [25; 55]. Укажите наименьшую
возможную длину такого отрезка A, что
выражение
((x P) (x Q)) → (x A)
истинно при любом значении переменной х.
Вводим утверждения:
P = (x P), Q = (x Q),
A = (x A)
Заданное условие:
( P Q) A
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

77. Задачи с отрезками-II

Логические основы компьютеров, 10 класс
79
Задачи с отрезками-III
Упрощение выражения:
( P Q) A A P Q
A B 1
Задача 1
P Q
Решение:
Amin B P Q
P
10
P = [10; 20], Q = [25; 55]
Нужно перекрыть!
Q
20 25
Amin = [10; 55]
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
55
x
длина 45
http://kpolyakov.spb.ru

78. Задачи с отрезками-III

Логические основы компьютеров, 10 класс
80
Множества чисел
Элементами множеств А, P и Q являются
натуральные числа, причём
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} и Q = {4, 8, 12, 116}.
Известно, что выражение
(x P) → (((x Q) ¬(x A)) → ¬(x P))
истинно при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение суммы
элементов множества A.
Вводим утверждения:
P = (x P), Q = (x Q),
A = (x A)
Заданное условие:
P (Q A P )
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

79. Задачи с отрезками-III

Логические основы компьютеров, 10 класс
81
Множества чисел
Упрощение выражения:
P (Q A P ) P (Q A P)
P Q A P
P Q A
A B 1 Задача 1
Решение:
P Q
Amin B P Q P Q
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, Q = {4, 8, 12, 116}
Amin = {4, 8, 12}
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
сумма 24
http://kpolyakov.spb.ru

80. Множества чисел

Логические основы компьютеров, 10 класс
82
Множества чисел-II
Элементами множеств А, P и Q являются
натуральные числа, причём
P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Q = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 }.
Известно, что выражение
((x A) → ¬(x P)) (¬(x Q) → ¬(x A))
истинно при любом значении переменной х.
Определите наибольшее возможное количество
элементов множества A.
Вводим утверждения:
P = (x P), Q = (x Q),
A = (x A)
Заданное условие:
( A P ) ( Q A)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

81. Множества чисел

Логические основы компьютеров, 10 класс
83
Множества чисел-II
Упрощение выражения:
(A P) (Q A) ( A P) (Q A)
A Q P Q A P A
A Q P Q A
A P Q
A B 1 Задача 2
Решение:
Amax B P Q
P Q
P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Q = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 }
Amax = { 3, 9, 15, 21, 24, 27, 30 }
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
7 шт.
http://kpolyakov.spb.ru

82. Множества чисел-II

84
Логические
основы
компьютеров
§ 22. Предикаты и кванторы
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

83. Множества чисел-II

Логические основы компьютеров, 10 класс
85
Предикаты
Предикат (логическая функция) – это утверждение,
содержащее переменные.
Предикат-свойство – от одной переменной:
P(N) = «В городе N живут более 2 млн человек»
P(Москва) = 1
P(Якутск) = 0
Простое(x) = «x – простое число»
Спит(x) = «x всегда спит на уроке»
Предикат-отношение – от нескольких переменных:
Больше(x, y) = «x > y»
Живет(x, y) = «x живет в городе y»
Любит(x, y) = «x любит y»
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

84. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
86
Предикаты и кванторы
Предикаты задают множества:
P( x ) ( x 0)
P( x, y ) ( x y 1)
Предикаты, которые всегда истинны:
P( x) ( x 2 0) для всех вещественных чисел
«Для любого допустимого x утверждение P(x)
истинно»:
квантор
x P(x )
высказывание
Квантор – знак, обозначающий количество.
А
(all – все)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
E
(exists – существует)
http://kpolyakov.spb.ru

85. Предикаты

Логические основы компьютеров, 10 класс
87
Кванторы
Какой квантор использовать?
моря соленые».
« …
кошки серые».
« …
числа чётные».
« …
« …
окуни – рыбы».
прямоугольники – квадраты».
« …
квадраты – прямоугольники».
« …
Истинно ли высказывание?
x P(x ) при P( x ) ( x 0)
x P(x ) при P( x ) ( x 0)
x P(x ) при P( x) ( x 2 0)
x P(x ) при P( x) ( x 2 0)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

86. Предикаты и кванторы

Логические основы компьютеров, 10 класс
88
Кванторы
Дано:
A = «Все люди смертны» = 1.
B = «Сократ – человек» = 1.
Доказать:
C = «Сократ смертен» = 1.
Доказательство:
A
0
0
B
0
1
А B
1
1
1
1
0
1
0
1
P(x) = «x – человек»
Q(x) = «x – смертен»
x (P( x ) Q( x))
A = 1:
P( Сократ ) Q( Сократ) 1
при «x =Сократ»
P( Сократ ) 1
B = 1:
по свойствам импликации Q( Сократ ) 1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

87. Кванторы

Логические основы компьютеров, 10 класс
89
Несколько кванторов
Квантор связывает одну переменную:
x P( x, y ) – предикат от переменной y
y P( x, y ) – предикат от переменной x
Два квантора связывают две переменных:
x y P( x, y ) – высказывание «для любого x
существует y, при котором P(x,y)=1»
x y P( x, y ) – высказывание «существует x, такой
что при любом y верно P(x,y)=1»
Сравните два последних высказывания при:
P( x, y ) ( x y 0)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
P( x, y ) ( x y 0)
http://kpolyakov.spb.ru

88. Кванторы

Логические основы компьютеров, 10 класс
90
Отрицание
НЕ «для любого x выполняется P(x)»
«существует x, при котором не выполняется P(x)»
x P(x) x P(x)
НЕ «существует x, при котором выполняется P(x)»
«для любого x не выполняется P(x)»
x P(x) x P(x)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

89. Несколько кванторов

91
Логические
основы
компьютеров
§ 23. Логические элементы
компьютера
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

90. Отрицание

Логические основы компьютеров, 10 класс
92
Логические элементы компьютера
значок инверсии
A
A
A
&
A
A B
B
НЕ
B
И
A
&
B
A B
A B
1
ИЛИ
A
1
A B
B
И-НЕ
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
ИЛИ-НЕ
http://kpolyakov.spb.ru

91. Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров, 10 класс
93
Логические элементы компьютера
Любое логическое выражение можно реализовать на
элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ.
И: A B A B
НЕ: A A A A A
A
&
A
A
ИЛИ:
B
A
&
& A B
A
A B A B
&
B
A B
&
A B
&
B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

92. Логические элементы компьютера

Логические основы компьютеров, 10 класс
94
Составление схем
последняя операция - ИЛИ
X A B A B C
И
A
B
A
B
&
A
B
& A B
A B
A B C
C
1
X
&
C
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

93. Логические элементы компьютера

Логические основы компьютеров, 10 класс
95
Триггер (англ. trigger – защёлка)
Триггер – это логическая схема, способная хранить
1 бит информации (1 или 0). Строится на 2-х
элементах ИЛИ-НЕ или на 2-х элементах И-НЕ.
set, установка
S
вспомогательный
выход
Q
1
режим
0 0 Q Q
хранение
обратные связи
0 1
0
1
сброс
Q
1 0
1 1
1
0
0
0
установка 1
1
R
S R Q Q
основной
выход
запрещен
reset, сброс
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

94. Составление схем

Логические основы компьютеров, 10 класс
96
Триггер – таблица истинности
S
1
0
Q
0
Q
R
1
1
1
Q
0
Q
0
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
0
Q
S R Q Q
режим
0 0 Q Q
хранение
обратные связи
0 1 0
1
сброс
Q
1 0 1
1 1 0
0
0
установка 1
1
запрещен
http://kpolyakov.spb.ru

95. Триггер (англ. trigger – защёлка)

Логические основы компьютеров, 10 класс
97
Полусумматор
Полусумматор – это логическая схема, способная
складывать два одноразрядных двоичных числа.
A
S сумма
A B
P
S
Σ
B
P перенос
P A B
S A B A B A B
A
B
A
B
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
& A B
& A B
& A B
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
S A B A B
P
?
Схема на 4-х
элементах?
http://kpolyakov.spb.ru

96. Триггер – таблица истинности

Логические основы компьютеров, 10 класс
98
Сумматор
Сумматор – это логическая схема, способная
складывать два одноразрядных двоичных числа с
переносом из предыдущего разряда.
перенос
A
B
C
Σ
A
B
C
P
S
0
0
0
0
0
S сумма
0
0
1
0
1
P перенос
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
http://kpolyakov.spb.ru

97. Полусумматор

Логические основы компьютеров, 10 класс
99
Многоразрядный сумматор
это логическая схема, способная складывать два
n-разрядных двоичных числа.
X
xn-1 xn-2 x0
110
Y
yn-1 yn-2 y0
011
Z p zn-1 zn-2 z0
1001
перенос
x0 0
y0 1
0
Σ
z0 1
x1 1
Σ
y1 1
p1 0
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2018
z1 0
x2 1
Σ
y2 0
p2 1
z2 0
p 1
перенос
http://kpolyakov.spb.ru
English     Русский Правила