Релятивістська кінематика. (Лекція 6)

1. Лекція 6. Релятивістська кінематика

1. Постулати спеціальної теорії відносності.
2. Перетворення Лоренца.
3. Відносність проміжків часу і довжини в різних
інерціальних системах.
4. Релятивістський закон додавання швидкостей.
5. Інваріант релятивістської кінематики.

2. Дослід Майкельсона з визначення швидкості світла

3. Альберт Ейнштейн (1879-1955). Нобелівська премія 1921 р.

4. Постулати спеціальної теорії відносності

• 1. Принцип відносності: ніякі досліди, проведені в
середині інерціальної системи відліку, не дають
можливості виявити, чи знаходиться ця система в стані
спокою, чи рухається рівномірно і прямолінійно; всі
закони природи інваріантні відносно переходу від однієї
інерціальної системи відліку до іншої.
• 2. Принцип інваріантності швидкості світла: швидкість
світла у вакуумі не залежить від швидкості руху джерела
світла або спостерігача і однакова у всіх інерціальних
системах відліку.

5. Постулати спеціальної теорії відносності

Розглянемо дві інерціальні системи К і К’. В початковий час t=t’, коли
точки О і О’ збігаються, випромінюється імпульс світла.
y
y’
O
z ot
В момент x ct , x ct
світло досягне точки А.
O’
x
0
z’ x’
A
x x , x x c t t .
x, x’
Отже,
t t.

6. Перетворення Лоренца.

• Розглянемо дві інерціальні системи К і К’. Система К’
рухається зі швидкістю 0 вздовж осі х.
y
O
z ot
y y , z z
y’
O’
x
0
z’ x’
В
В системі К xO 0t ,
а в системі К’ xO 0 t .
x, x’
В перетворенні Галілея 0 ,
що суперечить принципу c=const.

7. Перетворення Лоренца.

y y , y y, 2 1, 1.
x ct , x ct
x x 0 t
ct ct 0t
c c
2
2
2
x x 0 t
ct ct 0t - перемножимо
2
o
1
o2
1 2
c

8. Перетворення Лоренца.

x 0 t
x 0t
0
x
, x
,
2
2
c
1
1
0
0
t 2 x t x
t 2 x t x
c
c , t
c
c
t
1 2
1 2
1 2
1 2
x
x (ct )
1 2
,
ct x
ct
1 2

9. Відносність проміжків часу і довжини і різних системах

Нехай в системі К в точках х1 і х2 одночасно відбулись
дві події в момент часу t1 = t2 = t0.
t0 x1
t 0 x2
c , t
c
t1
2
2
1
1 2
x1 x2
t 2 t1 c
1 2
t 2 t1

10. Відносність проміжків часу і довжини в різних системах

• Якщо
x1 x2
x1
x1 0t
1
2
, x 2
x2 0 t
1
2
,
то і
x1 x2
Нехай в деякій точці, нерухомій в системі К, відбувається
подія з тривалістю t 2 t1
Тоді в системі К’
0
0
t 2 2 x t1 2 x
t 2 t1
c
c
t 2 t1
2
2
2
1
1
1
1 2
Отже, < ′.
Тривалість мінімальна в системі, зв’язаній з тілом.

11. Відносність проміжків часу

12. Задача

• Апаратура, яка знаходиться на Землі,
зареєструвала удари блискавки на
висоті 7 103 м і 2 103 м як одночасну
подію. Який інтервал між блискавками
зареєструвала апаратура на космічному
кораблі, який віддаляється від Землі зі
швидкістю, що дорівнює 0,8 від
швидкості світла?

13. Відносність проміжків часу і довжини в різних системах

14. Відносність проміжків часу і довжини і різних системах

• Нехай лінійка довжиною 0 x 2 x1
з системою К’. Довжина в системі К:
рухається разом
x2 0 t
0 x2 x1
1 2
x1 0t
1 2
0 1
x2 x1
1 2
1 2
2
Отже, довжина лінійки максимальна в системі, в якій вона
знаходиться в стані спокою.
Поперечні розміри однакові у всіх інерціальних системах.

15. Задача

• Яку частину швидкості світла складає
швидкість тіла, що рухається, якщо його
релятивістське зменшення лінійних
розмірів складає 70% ?

16. Релятивістський закон додавання швидкостей

dx dx 0 dt x 0
x
dt dt 0 dx 1 0 x
c2
c2
2
dy 1 2 y 1
dz 1 2 z 1 2
y
, z
0 dx
0 x
0 dx
0 x
dt 2
1 2
dt 2
1 2
c
c
c
c
c 0
c
При ’=с x
c
1 20
c
c c
c
При о= ’= с
x
cc
1 2
c

17. Інваріант релятивістської кінематики

• Нехай відбулися дві події в точках ct1, x1, y1, z1 та ct2, x2, y2,
z2. Введемо позначення t = t2 – t1, x = x2 – x1, y =
y2 – y1, z = z2 – z1. Точки, які характеризуються 4
координатами, називаються світовими точками.
2
2
2
2
2
2
S
c
t
x
y
z
• Введемо інтервал:
• Виявилось, що величина S2 є інваріантом відносно
2
2
S
S
.
перетворення координат, тобто
• Величина власного інтервалу часу
1
c t 2 t 2
t 1
c
1
c t 2 2 S
c
c
2