Сызықтық емес (бейсызықтық) жұп регрессия

1.

Сызықтық емес (бейсызықтық) жұп регрессия
Біз осы уақытқа дейін тек сызықтық жұп регрессия қарастырған болатынбыз.
Оның теңдеуінің түрін еске сала кетейік:
y a bx
Егер тәуелсіз фактор мен қорытынды фактордың арасындағы байланыс
сызықтық болмайтын болса, онда олардың регрессиялық моделі сызықтық
емес (бейсызықтық) функция арқылы өрнектеледі. Бұндай регрессияны
сызықтық емес, кейде бейсызықтық регрессия деп атаймыз.
Қисық сызықты регрессияны екі түрге бөліп қарастыруға болады:
1. тәуелсіз факторлар бойынша бейсызықтық, бірақ параметрлері сызықтық
түрде теңдеуге кіреді. Мысалы: параболалар, гиперболалар, логарифмдік
функциялар;
y a bx cx 2 ;
y a
b
;
x
y a ln x.
2.тек қана тәуелсіз факторлар ғана емес параметрлері бойынша да сызықтық
емес регрессиялар. Мысалы: дәрежелік, көрсеткіштік, т.с.с. функциялар.
y a bx;
y a xb .

2.

Іс жүзінде жиі кездесетін сызықтық емес жұп регрессияның бірі
көпмүшелік болған кез:
y a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 ... ak x k
мұнда а0, а1,… ак белгісіз коэффициенттер, олар төмендегі теңдеулер
жүйесінін шешімі болады:
a0 n a1 xi a2 xi2 ... ak xik yi ;
2
3
k 1
a0 xi a1 xi a2 xi ... ak xi xi yi ;
...................................................................................
a0 xik a1 xik 1 a2 xik 2 ... ak xi2 k xik yi .
Бұл теңдеулер жүйесін Крамер, немесе Гаусс әдістерінің бірімен шешіп
белгісіз коэффициенттерді а0, а1,… ак табуға болады.
Егер регрессия теңдеуі көпмүшелік болмаса басқаша әдіспен жұмыс
істеуге тура келеді. Көп жағдайда сызықтық емес регрессия теңдеулерінің
параметрлерін сызықтық регрессия теңдеуінің параметрлерін тапқан
әдіске келтіру арқылы шығарады.

3.

4.

Әңгімеміз түсінікті болуы үшін сызықтық емес регрессия теңдеуін у=1/
(а0+а1х) түрінде іздестіргенде қолданатын әдісті толығырақ көрсетелік:
Бізге тәжірибеден алынған мынандай таблица беріледі (сол жақтағы
таблица). Енді осы мәліметтерді қолданып келтірілген сызықтық емес
регрессия теңдеуінің параметрлерін іздестірелік.
x
y
x1
y1
x2
y2
…
…
xn
yn
Ол үшін мынандай түрлендіру
жасаймыз: ỹ=1/y. Сонда теңдеу
мына түрге келеді:
1
1
~
y a0 a1 x
~
y a0 a1 x
x
y
ỹ=1/у
x1
y1
ỹ1
x2
y2
ỹ1
…
…
…
xn
yn
ỹn
Ал соңғы теңдеу кәдімгі өзімізге белгілі сызықтық регрессия теңдеуі.
Түрлендіру формуласының көмегі арқылы жаңа таблица (оң жақтағы
таблица) құрамыз да, бұрыннан белгілі әдіспен а0, а1 параметрлерін табамыз.
Бұл параметрлер табылғасын сызықтық емес регрессия теңдеуін жаза
аламыз.
Осы тәрізді әдісті қолданып көп жағдайда сызықтық емес регрессия
теңдеуінің параметрлерін табуға болады.

5.

Төменде сызықтық емес регрессия теңдеуінің түрлері, қолданылатын
түрлендірулер, түрлендіру қолданғаннан кейін шыққан сызықтық регрессия
теңдеуінің түрлері келтірілген.

6.

Параболалық регрессияға мысал
Капуста өсіру кезінде суаруға жұмсалған су көлемі мен
капуста өнімділігінің арасындаы байланысты табу керек
болсын. Байқаудан мынадай мәліметтер алынған.
Жұмсалған су
Өнім
18,2
25,3
16,3
23,1
17,0
24,2
Регрессия теңдеуін табыңыз
19,4
30,5
20,4
35,6
22,1
33,7
23,2
30,8
24,3
28,2
25,1
22,5

7.

9 a0 186 a1 3925,6 a2 253,9;
186 a0 3925,6 a1 84506,55 a2 5275,67;
3925,6 a 84506,55 a 1852505,77 a 111670,14.
0
1
2
y 212,96 23,45 x 0,56 x 2 .

8.

Енді y=abx түріндегі регрессия теңдеуінің параметрлерін табудыңтмысалын
қарастыралық. Тәжірибеден алынған төмендегі мәліметтерді қарастыралық:
9
10,3
10,3
8
9,2
9,2
11
14,7
14,7
2
2,7
2,7
5
4,9
4,9
14
25,9
25,9
15
30,4
30,4
Бізге регрессия теңдеуін табу керек болсын дейік.
Әуелі регрессия
теңдеуінің түрін анықтау
керек. Ол үшін корреляция
өрісін саламыз. Коррреляция
өрісіндегі нүктелердің
орналасы ретіне қарап біз
регрессия теңдеуінің түрі
y=abx болады деп
болжауымызға боладыю
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16

9.

y=abx теңдеуінің екі жағын логарифмдесек lny=lna+(lnb)x өрнегін
аламыз. Енді мынандай белгілеулер енгізелік:
~y ln y;
a~ ln a;
~
b ln b.
Сонда іздеп отырған теңдеуіміз мына түрге келеді:
~
~
y a~ b x
Ал бұл бізге бұрыннан таныс сызықтық регрессия. Біз жаңа таблица құрамыз:
x
y
ỹ=lny
9.0
10.3
2.3
8.0
9.2
2.2
11.0
14.7
2.7
2.0
2.7
1.0
5.0
4.9
1.6
14.0
25.9
3.3
15.0
30.4
3.4
Бұрыннан белгілі әдіспен сызықтық регрессия теңдеуінің параметрлерін
табамыз:
a~ 0,6615;
~
b 0,1853
a 1,9377;
y (1,9377) (1,2036) x .
b 1,2036.