Многогранники. Определения

1. Многогранники

.
2019 год

2. Определения

Существует несколько определений многогранника:
Поверхность, составленная из многоугольников и
ограничивающая некоторое геометрическое тело,
называется многогранником.
Многогранник - геометрическое тело,
ограниченное со всех сторон плоскими
многоугольниками.

3.

• Геометрическим телом (или
просто телом) называют ограниченную
связную фигуру в пространстве, которая
содержит все свои граничные точки.
• Границу тела называют также его
поверхностью и говорят, что
поверхность ограничивает тело.

4. Многогранник…

…называется выпуклым, …называется невыпуклым,
если он расположен по
если он расположен по
разные стороны от
одну сторону от
плоскости одной из его
плоскости каждой его
граней.
грани.

5. Правильный многогранник…

• …или плато́ново тело — это выпуклый
многогранник, состоящий из
одинаковых правильных
многоугольников и обладающий
пространственной симметрией.

6. Правильный многогранник

• В трёхмерном евклидовом пространстве существует
всего пять правильных многогранников:

7.

Названия многогранников пришли из Древней Греции
и в них указывается число граней:
«эдра» - грань
«тетра» - 4
«окта» - 8
«гекса» - 6
«дедека» - 12
«икоса» - 20

8.

Правильные многогранники
Тетраэдр
Додекаэдр
Куб
Октаэдр
Икосаэдр

9. Правильные многогранники в философской картине мира Платона

• Платон считал, что мир строится
из четырёх «стихий» - огня, земли,
воздуха и воды, а атомы этих
«стихий» имеют форму четырёх
правильных многогранников.
Тетраэдр олицетворял огонь,
поскольку его вершина устремлена
вверх, как у разгоревшегося
пламени; икосаэдр – как самый
обтекаемый – воду; куб – самая
устойчивая из фигур – землю, а
октаэдр – воздух. Пятый
многогранник – додекаэдр
символизировал весь мир и
почитался главнейшим

10. Развертки многогранников

тетраэдр
куб
додекаэдр
октаэдр
икосаэдр

11. Многогранники в архитектуре

Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская
пирамида является древнейшим из Семи чудес
древности. Великая пирамида была построена как гробница
Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов,
или царей древнего Египта, а его гробница была завершена
в 2580 году до н.э.
Позднее вГизе было
построен еще две
пирамиды, для сына и
внука Хуфу, а также
меньшие по размерам
пирамиды для их цариц.

12. Многогранники в архитектуре

Галикарнасский мавзолей
Лучшие архитекторы того времени построили мавзолей в виде
почти квадратного здания, первый этаж которого был
собственно усыпальницей. Снаружи эта громадная погребальная
камера, площадью 5000 кв. метров и высотой около 20 метров,
была обложена отесанными
и отполированными
плитами белого мрамора.
Во втором этаже, окруженном колоннадой, хранились
жертвоприношения, крышей
же мавзолея служила
пирамида.

13. Многогранники в архитектуре

Башня Сююмбике
находится в Казани и
состоит из семи ярусов,
нижние ярусы
представляют из
себя параллелепипеды, а
верхние -многогранники.

14. Многогранники в архитектуре

Стеклянная пирамида Лувра во дворе Наполеона служит
главным входом в Лувр и является одним из символов Парижа.
Строилась с 1985 г. по 1989 г., проект создал знаменитый
американский
архитектор китайского
происхождения
Бэй Юймин. Вес
пирамиды 180 тонн.
Прототипом
послужила
пирамида Хеопса.

15. Многогранники в архитектуре

Мечеть Кул-Шариф. Одна из главных мусульманских мечетей
республики Татарстан и Казани. Расположена на территории
Казанского кремля.
Архитектура
этой мечети
представляет
собой сочетание
различных
многогранников.

16. Многогранники в природе

Скелет одноклеточного
организма феодарии
представляет собой
икосаэдр.
Поваренная соль состоит из
красталлов в форме куба.

17. Многогранники в природе

Минерал сильвин имеет
кристаллическую решетку в
форме куба.
Кристаллы пирита имеют
форму додекаэдра.

18. Многогранники в природе

Наиболее характерной формой
алмазных кристаллов является
восьмигранник (октаэдр).
Минерал куприт образует
кристаллы в форме
октаэдров.

19. Многогранники в искусстве

Знаменитый художник
Альбрехт Дюрер написал
гравюру «Меланхолия»
На литографии Эшера
“Порядок и хаос” изображен
малый звездчатый додекаэдр.

20. Многогранники в искусстве

Сальвадор Дали на
картине «Тайная
вечеря» изобразил
И. Христа со
своими учениками
на фоне огромного
прозрачного
додекаэдра.

21. В заключении…

Ни одни геометрические тела не обладают таким
совершенством и красотой, как правильные
многогранники.
"Правильных многогранников
вызывающе мало, но этот весьма
скромный по численности отряд
сумел пробраться в самые глубины
различных наук".
Л. Кэрролл

22.

Параллелепипед
Прямой
Наклонный
(ребра
перпендикулярны
основаниям)
D1
(ребра наклонены к
плоскости основания
под углом)
D1
D
A1
A
C1
C1
A1
D
B1
B1
C
A
B
B
C

23.

Прямоугольный
(прямой параллелепипед
в основании которого
лежит прямоугольник)
D1
D
A1
A
B1
B
C1
C

24.

D
1
АВСDА1В1С1D1 — параллелепипед
грань A1B1C1D1
C1
грань BB1C1C
A
1
B1
грань ABCD
D
C
A
B
Грани:
ABCD — нижнее основан
A1B1C1D1 — верхнее основ

25.

D
ребро A1B1
1
C1
ребро C1C
A
1
B1
D
Рёбра:
C
АВ, ВС, CD,
AD, А1В1 В1С1,
C1D1, A1D1
A
ребро AD
B
АА1, ВВ1, СС1,
DD1 — боковые
рёбра

26.

D
вершина D1
1
C1
вершина С
A
1
B1
D
Вершины:
C
A
вершина B
B
А, В, С, D, А1, В1,
С1, D1

27.

Задача 1
АВСDА1В1С1D1 —
прямоугольный
параллелепипед
D1
АВ = 12 см, ВС = 5 см
АС1^(АВС) = 45°
A1
Решение:
Найти: ВВ1
1) СС1 ⏊ (АВС) ⇒ АС ⏊ СС1
АС - проекция АС1 на (АВС) ⇒
D
САС1 = 45°
2) ∠С1СА = 90°, ∠САС1 = 45° ⇒
45°
∠СС1А = 45°
ΔАСС1 — прямоуг. и равноб. A
⇒ АС = СС1 3) СС1 = ВВ1 = АС
12 см
Дано:
Ответ: ВВ1 = 13 см
C1
45°
B1
5 см
B
C

28.

Задача 2
Дано:
АВСDА1В1С1D1 — прямой
параллелепипед
A1
АВСD — ромб
АС = 24 см
ВD = 10 см
10 см
АА1 = 10 см
Найти: большую диагональ АВСDА1В1С1D1
Решение:
1) А1С — большая диагональ
2) ΔАА1С — прямоугольный
Ответ: А1С = 26 см
A
B1
C1
26 см
D1
B
24 см
10 см
C
D