Теорема Менелая

1. Теорема Менелая.

•Теория.
•Тренажеры.
•Задачи.

2. Теорема Менелая (теория).

Теорема:
Пусть некоторая прямая пересекает
две стороны треугольника АВС и
продолжение третьей. Точки
A1 , B1 , C1 это пересечения со
сторонами BC , AC , AB
или их продолжениями
соответственно.
Тогда имеет место следующее
равенство:
А
AB1 CA1 BC1
1
B1C A1 B C1 A
В
C1
A1
С
B1

3. Правило для запоминания

В
C1
A1
А
С
B1
Обход можно начинать с любой точки, но при этом обязательно
чередовать: вершина – точка на стороне – вершина – точка на стороне
и т.д.

4. Тренажер-1.

Для заданных чертежей записать теорему Менелая.

5. Тренажер-2.

На заданных чертежах найти два
возможных применения теоремы
Менелая.
Пример:

6. Тренажер-3.

Найти отношения отрезков:
3
2
3
5
8
6
1
?
?
?
?
4
?
4
6
?
3
9
2
12
4
4
?
?

7. Задачи.

Задача 1.
Задача 2.
Доказать теорему о точке
пересечения медиан.
В треугольнике АВС проведена
медиана AD. На ней выбрана точка
К так, что AK:KD=3:1. В каком
отношении прямая ВК делит
площадь треугольника АВС?
A
F
3
M
Р
K
1
А
Е
С B
D
С

8. Задачи.

Задача 3.
Задача 4.
На сторонах треугольника АВС даны
соответственно точки М и N такие,
что АМ:МВ=СN:NA=1:2. В каком
отношении точка S (пересечение
этих отрезков) делит каждый из
этих отрезков?
В треугольнике АВС биссектриса
AD делит ВС в отношении 2:1. В
каком отношении медиана СЕ
делит эту биссектрису?
B
B
2
2
Е
Р
S
1
A
2
N
1
С
A
К
D
1
С

9. Задачи.

В
y
3x
S=2
S=3
К
x
L
2z
S=1
z
Q
2y
S=6
А
С
Задача
5.
Решение:
В треугольнике АВС на стороне
1) Применим теорему Менелая
АВк взята
точка К так, что
треугольнику ABL:
АК:ВК=1:3, а на стороне ВС
x 3 y LQ
LQ 2
L так,
1 что
.
взята точка
3x 2 y QA
QA 1
CL:BL=2:1. Пусть Q – точка
2) Найдем площадь
пересечения
прямых AL и CК.
треугольника ABQ:
Найти площадь
треугольника
S ABQ
z
S ABQ 1.
АВС, если
S BQL площадь
2z
треугольника BQL равна 2.
3) Используем отношение площадей треугольников ABL и ALC:
S ABL
y
S ALC 2 y
S ALC 6.
Ответ: площадь треугольника равна 9.

10. Задачи.

Решение:
B
1)
BKC
.
ТочкаSМ,
лежащая
на стороне
4 2 KM
MKC
3x
параллелограмма ABCD,
2y
2) Применим теорему
соединена
с вершиной
В.
S=5
K 2x
Менелая
к
треугольнику
BDM:
O
S=15
Диагональ
АС пересекает
M
1 3x MC
MC 2
1
.
y
отрезок
1 2 x CD ВМ в точке
CD К.
3
Площадьотношение
треугольника
D
3) Используем
площадей
КВС равна
6,иплощадь
треугольников
BMС
DMC:
S BMC
2
треугольника
S BDMКМС
5. равна
S BDM
1
4. Найти
площадь
исходного
Получаем, что площадь всего параллелограмма
равна 30.
параллелограмма.
S=6
S=10
S=15 S=4
А
C
Задача
6. 6(ЕГЭ-2008)
S
3 BK

11. Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах.

M
F
B
K
O
A
D
В правильной
четырехугольной
пирамиде MABCD
точка F – середина
ребра МВ, точка К
делит ребро МD в
отношении
C МК:KD=5:1.
• В каком отношении
плоскость АFK делит:
1) Высоту МО данной
пирамиды?
2) Ребро МС?

12. Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах.

M
Решение:
Построение сечения.
L
F
2) FK – пересечение
плоскости сечения с BMD.
Н
B
K
O
A
1) AF и AK – прямые
пересечения плоскости с
гранями пирамиды.
D
3) Прямая AL –
C пересечение плоскости
сечения с АМС.
4) Прямые FL и FK – прямые
пересечения плоскости с
гранями пирамиды.
5) AFLK – искомое сечение.

13. Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах.

Решение: нахождение отношения МН:НО
M
M
x
F
L
F
5y
Н
K
x
y
B
Н
B
2z 3zD z
C 1) По теореме Менелая для
K
O
A
2z О
S
D
S
треугольника ВMD получаем:
x 5 y DS
DS 1
1
x y SB
SB 5
2) Для треугольника ВМС
получаем:
x MH 3z
MH 5
1
x HC 5z
HC 3

14.

Использование теоремы Менелая в
стереометрических задачах.
Нахождение отношения ML:LC
M
М
5x
Н
L
F
А
Н
B
C
K
O
A
D
L
3x
О
C
По теореме Менелая для
треугольника МОС
получаем:
3x ML 2
1
5 x LC 1
ML 5
LC 6