Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом

1.

Аксиомы
стереометрии.
Некоторые
следствия
из аксиом.

2. Геометрия

Планиметрия
Стереометрия
stereos
телесный, твердый,
объемный,
пространственный

3. Стереометрия.

-Раздел геометрии, в котором
изучаются свойства фигур
в пространстве.
Основные фигуры в пространстве:
А
Точка.
а
Плоскость.
Прямая.

4.

A, B, C, …
a, b, c, …
или
AВ, BС, CD, …
, , ,

5. Геометрические тела:

Куб.
Тетраэдр.
Параллелепипед.

6. Геометрические понятия.

Плоскость – грань
Прямая – ребро
Точка – вершина
вершина
грань
ребро

7. Аксиома

(от греч. axíõma – принятие положения)
исходное положение
научной теории,
принимаемое без
доказательства

8.

АКСИОМЫ
планиметрия
Характеризуют взаимное
расположение точек и прямых
1. Каждой прямой
принадлежат по крайней
мере две точки
стереометрия
А1. Через любые три точки, не
лежащие на одной прямой,
проходит плоскость, и притом
только одна
2. Имеются по крайней мере
три точки, не лежащие на
одной прямой
А2. Если две точки прямой
лежат в плоскости, то все
точки прямой лежат в этой
плоскости
3. Через любые две точки
проходит прямая, и притом
только одна.
Основное понятие геометрии
«лежать между»
4. Из трех точек прямой одна и
только одна лежит между двумя
другими.
А3. Если две плоскости
имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на
которой лежат все общие
точки этих плоскостей.

9.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то
они имеют общую прямую, на которой лежат все
общие точки этих
плоскостей.

10.

Аксиомы стереометрии описывают:
А1.
Способ
задания
плоскости.
А2.
Взаимное
расположение
прямой и
плоскости
А3.
Взаимное
расположение
плоскостей
А
В
А
С
В

11.

Способы задания плоскости
1. Плоскость
2. Можно
3. Можно
можно провести провести через провести через
через три
прямую и не
две
точки.
лежащую на ней пересекающиеся
точку.
прямые.
Аксиома 1
Теорема 1
Теорема 2
А1

12.

Взаимное расположение прямой и плоскости.
Прямая
лежит в
плоскости.
Прямая
пересекает
плоскость.
а
Множество
общих
точек.
а
М
а
Прямая не
пересекает
плоскость.
а
а М
Единственная
общая точка.
а
Нет общих
точек.
А2

13. Следствия из аксиом стереометрии.

Следствие
Чертеж
формулировка
№1
(Т)
Через прямую и не
лежащую на ней точку
проходит плоскость, и
притом только одна.
№2
(Т)
Через две
пересекающиеся
прямые проходит
плоскость, и притом
только одна.

14. Прочти чертеж

С
A
A
C

15. Прочти чертеж

b
B
c
a
b B
a
c

16. Прочти чертеж

c
c

17.

Пользуясь данным
рисунком, назовите:
S
а) четыре точки,
лежащие в плоскости
SAB, в плоскости АВС;
б) плоскость, в
которой лежит
прямая MN, прямая
КМ;
в) прямую, по которой
пересекаются
плоскости ASC и SBC ,
плоскости SAC и CAB.
К
C
А
М
N
В

18.

Пользуясь данным
S
рисунком, назовите:
а) две плоскости,
содержащие прямую
DE , прямую EF
б) прямую, по которой
пересекаются
плоскости
DEF и SBC; плоскости
FDE и SAC ;
в) две плоскости,
которые пересекает
прямая SB; прямая AC .
E
D
С
А
F
В

19.

Пользуясь данным
рисунком, назовите:
B1
а) три плоскости,
содержащие прямую В1С;
прямую АВ1;
A1
C1
D1
B
A
C
D

20.

В1
а)
А1
C1
D1
В1С
?
В
А
С
D

21.

В1
а)
А1
C1
D1
В1С
?
В
А
С
D

22.

Пользуясь данным
рисунком, назовите:
B1
а) три плоскости,
содержащие прямую В1С;
прямую АВ1;
б) прямую, по которой
пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости
ADC1 и A1B1B ;
A1
C1
D1
B
A
C
D

23.

В1
б)
А1
C1
D1
В
А
С
D

24.

Пользуясь данным
рисунком, назовите:
B1
а) три плоскости,
содержащие прямую В1С;
прямую АВ1;
б) прямую, по которой
пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости
ADC1 и A1B1B ;
в) плоскость, не
пересекающуюся с прямой
CD1 ; с прямой BC1
C
1
A1
D1
B
A
C
D

25.

В1
в)
А1
C1
D1
В
А
С
D

26.

Пользуясь данным
рисунком, назовите:
B1
а) три плоскости,
содержащие прямую В1С;
прямую АВ1;
б) прямую, по которой
пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости
ADC1 и A1B1B ;
в) плоскость, не
пересекающуюся с прямой
CD1 ; с прямой BC1
C
1
A1
D1
B
A
C
D

27. Закрепление изученного материала.

• № 1;
• № 2 (б,д);

28. Домашнее задание:

1) Выучить аксиомы
и следствия из них.
Задания 4 – 12 в
рабочей тетради.
2) П. 1-3
стр. 4 – 7.
3) №№ 4; 6; 10.
Успехов!

29. Комментарий:

1 случай: точки лежат
на одной прямой.
№ 6.
2 случай: точки лежат
в одной плоскости
В
С
А
В
А
С