Построение сечения куба, нахождение его координат и площади

1. Построение сечения куба, нахождение его координат и площади

Ларионова Н.Е.
учитель математики МАОУ ЛМИ
г. Саратов

2.

3.

• Задача №1
Построить сечение куба,
проходящего через точки P, Q, R,
найти координаты точек сечения и
площадь сечения,
если P-середина BB1,
Q-середина B1C1,
R=D.

4.

Куб
P – середина BB¹
Q
B¹
ABCDA¹B¹C¹D¹
A¹
C¹
D¹
Q – середина B¹C¹
P
R=D
AB = AA¹ = AD = 6
6
B
Построить сечение
куба, проходящего
через точки P, Q, R,
найти координаты
точек сечения и
площадь сечения.
C
6
A
6
D= R

5.

Рассмотрим заднюю плоскость BB¹CC¹
C²
3
3
B¹
Q
3
C¹
Рассмотрим ∆ B¹PQ.
∟B¹PQ = ∟B¹QP = 45˚ (т.к. ∆ B¹PQ –
равнобедренный (B¹P = B¹Q))
3
B
B¹Q = QC¹ = 3 (Q середина B¹C)
Продлим BC и CC¹ .Соединим точки P и
Q . PQ ∩ BC = A²
PQ ∩ CC¹ = C²
P
3
BB¹ = B¹C¹ = 6 (по условию)
B¹P = PB = 3 (P середина BB¹)
3
A²
Решение
C
Рассмотрим ∆ B¹PQ и ∆ C¹QC²
∆ B¹PQ = ∆ C¹QC² (по 2-ум сторонам и
углу между ними) => C¹C² = B¹P = 3

6.

Рассмотрим боковую плоскость DD¹CC¹
C²
Решение
3
F
D¹
x
C¹
DC = CC¹ = 6 (по условию).
Продлим СC¹, так чтобы C¹C² = 3
Пусть FC¹ = x
Рассмотрим ∆ DC²C и ∆ FC²C¹ ∆
6
C
D=R
6
DC²C ~ ∆ FC²C¹ (по 2-ум
сторонам и углу между ними)
CC² DC
9 6 x=2
C¹C² FC¹
3 x
FC¹ = 2 , a FD¹ = 4

7.

Рассмотрим нижнюю плоскость ABCD
Решение
A²
3
B
6
C
y
Пусть BE = y
E
6
A
BC = CD = 6 (по условию)
Продлим СB, так чтобы A²B = 3
D
Рассмотрим ∆ A²BE и ∆ A²CD
∆ A²BE ~ ∆ A²CD (по 2-ум
сторонам и углу между ними)
A²B BE
3 y
y 2
A²C CD
9 6
BE = 2, а AE = 4

8.

Сечение куба, проходящей через точки P, Q, R
C²
Q
F
Q
B¹
C¹
F
A¹
P
D¹
P
E
B
A²
C
R
E
A
D=R
Сечение куба (PQFRE)

9.

Координаты точек сечения куба
z
2
3
B¹
Q
Отметим оси координат x, y, z
3
C¹
x
y z
F
3
A¹
D¹
P (0, 0, 3)
Q (0, 3, 6 )
P
F (2, 6, 6 )
3
B
C
E
2
6
A
D=R
x
y
R (6, 6, 0 )
E (2, 0, 0 )

10.

Нахождение площади сечения куба
Q
F
Разобьём плоскость
сечения куба на три
треугольника, чтобы
подсчитать площадь
всего сечения куба.
P
E
R

11.

Q
Рассмотрим ∆ EPR
1
S ∆ EPR =F
RE2 * RP2 (RE * RP)2
2
RE ( 4, 6,0)
RP ( 6, 6,3)
P
RE2 ( 4) 2 ( 6) 2 (0) 2 16 36 0 52
RP 2 ( 6) 2 ( 6) 2 ( 3) 2 36 36 9 81
E
E (2, 0, 0 )
Q (0, 3, 6 )
R (6, 6, 0 )
RE * RP (( 4) * ( 6)) (( 6) * ( 6))
(( 0) * ( 3)) 24 36 0 60
R
S ∆ EPR =
1
52 * 81 (60) 2
2
612
153
2

12.

Q
Рассмотрим ∆ QPR
F
1
RQ2 * RP2 (RQ * RP)2
S ∆ QPR =
2
RQ ( 6, 3,6)
RP ( 6, 6,3)
P
RQ2 ( 6)2 ( 3)2 (6)2 36 9 36 81
RP2 ( 6)2 ( 6)2 ( 3)2 36 36 9 81
E
P (0, 0, 3)
Q (0, 3, 6 )
R (6, 6, 0 )
R
RQ
* RP (( 6) * ( 6)) (( 3) * ( 6))
(( 6) * ( 3)) 36 18 18 72
1
1377 3 153
2
81 * 81 (72)
S ∆ QPR =
2
2
2

13.

Q
F
Рассмотрим ∆ FQR
1
RQ2 * RF2 (RQ * RF)2
S ∆ FQR =
2
RQ ( 6, 3,6)
P
RF ( 4,0,6)
RQ2 ( 6)2 ( 3)2 (6)2 36 9 36 81
RF2 ( 4)2 (0)2 (6)2 16 0 36 52
E
F (2, 6, 6 )
Q (0, 3, 6 )
R (6, 6, 0 )
S ∆ FQR =
R
RQ * RF (( 6) * ( 4)) (( 3) * (0))
(( 6) * (6)) 24 0 36 60
1
81 * 52 (60) 2
2
612
153
2

14.

Нахождение площади сечения куба
Q
F
S
СЕЧ.
PQFRE ∆ QPR +
+ ∆ QPR + ∆ FQR
P
S
+
E
R
S
СЕЧ.
=
PQFRE
СЕЧ.
PQFRE
3 153
2
+
153 +
153 =
(7 153 ) / 2 = (21 17 ) / 2
(21 17 ) / 2

15.

Q
F
P (0, 0, 3)
Q (0, 3, 6 )
F (2, 6, 6 )
P
R (6, 6, 0 )
E (2, 0, 0 )
E
R
Координаты точек
сечения куба
Сечение куба (PQFRE)
Площадь
сечения куба
S
СЕЧ.
PQFRE ( 21
17 ) / 2

16.

• Задача №2
Построить сечение куба,
проходящего через точки P, Q, R,
найти координаты точек сечения и
площадь сечения,
если P-середина AA1,
Q-середина A1B1,
R- серединаAD.

17.

Куб
B¹
ABCDA¹B¹C¹D¹
C¹
Q
P – середина АА¹
A¹
D¹
Q – середина А¹В¹
R – середина АD
AB = AA¹ = AD = 6
P
B
Построить сечение
куба, проходящего
через точки P, Q, R,
найти координаты
точек сечения и
площадь сечения.
C
6
A
R
D

18.

Координаты точек:
H
B¹
C¹
Q
Р(6;0;3)
A¹
D¹
Q(3;0;6)
H(0;3;6)
K
P
K(0;6;3)
B
F(3;6;0)
R(6;3;0)
SPQHKFR= 27 3
C
6
F
A
R
D

19.

• Задача №3
Построить сечение куба плоскостью,
проходящей через точки P, Q, R,
найти координаты точек сечения,
если P принадлежит AA1,
AP=2,
Q принадлежит A1D1,
D1Q=2,
R=B.

20.

Координаты точек:
B¹
C¹
Р(6;0;2)
Q
A¹
D¹
Q(6;4;6)
R(0;0;0)
C1(0;6;6)
B
P
R
C
6
A
D

21.

• Задача №4
Построить сечение куба плоскостью,
проходящей через точки P, Q, R,
найти координаты точек сечения,
если P принадлежит AA1,
AP=2,
Q –середина B1C1,
R принадлежит DD1,
D1R=2.

22.

Координаты точек:
Q(0;3;6)
Q
B¹
C¹
M
K
A¹
D¹
K(0;0;5)
R
Р(6;0;2)
R(6;6;4)
M(2;6;6)
B
P
C
6
A
D

23.

• Задача №4
Построить сечение куба плоскостью,
проходящей через точки P, Q, R,
найти координаты точек сечения и
площадь сечения,
если P принадлежит BB1,
BP=2,
Q –середина CC1,
C1Q=2,
R принадлежит DD1,
D1R=2.

24.

Координаты точек:
B¹
C¹
Р(0;0;2)
Q
A¹
D¹
Q(0;6;4)
P
R(6;6;4)
M(6;0;2)
M
R
B
C
6
A
SPQRM= 12 10
D

25. Задачи для самостоятельного решения:

Построить сечение куба плоскостью,
проходящей через точки P, Q, R, найти
координаты точек сечения и площадь
сечения, если:
1. P принадлежит CC1,C1P=2,
Q- середина AD,R-середина A1B1.
2. P принадлежит CC1,C1P=1,
Q- середина AD,R-середина AA1.

26.

3. P принадлежит DD1,D1P=1,
Q- середина AD,R-середина AB.
4. P принадлежит AA1, A1P=1,
Q- середина D1D, R принадлежит CC1,
CR=1.
5. P принадлежит BB1,BP=2,
Q- середина C1D1,R-середина AA1.