Задачи на нахождение площади сечения многогранника

1. Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Подготовка к решению задач ЕГЭ
Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна,
учитель математики,
МОУ «СОШ № 6» г. Луга

2.

Найти площадь сечения правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
вершины A, B и C1.
Построим
АС
= СВ; СС1плоскость
- общая сечения, проходящее
С1 через вершины A, B и C1.
Δ АСС1 = Δ ВСС1 (по двум
А1
катетам)
Проведем высоту КC1.
Значит АС1 = ВС1
Èç ÂÊÑ1 :
Δ Èç
АВС1 - ÂÑÑ
равнобедренный
1:
2
2
2
ÊÑ
ÂÑ
ÂÊ
;
2
2
1
1
В1
2
BÑ1 BÑ ÑÑ1 ;
BÑ1 12 12 ;
2
2
BÑ1 2;
2.
А
2
1
ÀÂ ÊÑ1
2
1
7
7
1
2
2
4
S ÀÂÑ1
В
2
2
С BÑ1
К 1
ÊÑ1
S ÀÂÑ1
2 12 ;
3
ÊÑ1 1 ;
4
7
ÊÑ1
.
2
2
Ответ.
2
2
7
4

3.

Н – точка пересечения
ABCD – правильная треугольная
пирамидамедиан.
все ребра которой
Применим
медиан:
медианы
равны 1. Найти площадь
сечениясвойство
пирамиды
плоскостью,
треугольника
пересекаются
в
проходящей через точки
D, C и М, где
М – середина
стороны
отношении 2 к 1, считая от вершины
АВ.
Построим плоскость
проходящее через точки D, C и М.
СН : сечения,
НМ = 2 : 1.
Вся
медиана
СМ – это 3 части.
Δ АВС
- равносторонний
2 AB 3
3
2
1
ÑM= СМ (2
СН
части)
ÑÍ CM
3 2
2
3
3
1
3
DH 2 DC 2 CÍ 2 ;
Èç = DÍC
НМ
СМ :(1 часть)
2
1
DH 2 12
;
3
2
DÍ 2 ;
3
Н
М
DÍ
Ответ.
2
4
2
.
3
1
ÑM DH
2
1 3 2
2
2 2
4
3
S DÑÌ
S DÑÌ

4.

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершину A и середины ребер BB1 и DD1.
АКСпроходящее
Построим плоскость сечения,
через вершину A и точки К и М.
1М – параллелограмм
BD AC
BD
( ACC1 ) BD AC1
АС
КМ
=
BD
=
=
2
BD CC1
Èç
KM ÀÑÑ
BD 1 :KM AC1
2
2
2
Çíà÷èò
ÀÊÑ
Ì
ðîìá
1
ÀÑ
ÀÑ
ÑÑ
1
1
1 ; S
ÀÑ1 ÊÌ
ÀÊÑ1 Ì
2
2
2
2
ÀÑ1 2 1 ;
1
6
2
S ÀÊÑ1Ì 3 2
ÀÑ1 5;
2
2
ÀÑ1 5 .
Ответ.
6
2

5.

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через вершину В и точки E и F на
ребрах A1В1 и В1C1 соответственно, если В1E = 5A1E и C1F = 5В1F.
Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, Е и F.
Δ
ВEF - произвольный
2
2
5 1 26
Èç Â1 EF : EF EB1 B1F
6 6 36
2
2
5
6
E
1
6
F
2
EF
26
6
BF
37
6
2
37
1
Èç BÂ1F : BF BB1 B1F 1
36
6
2
2
2
2
2
61
61
5
Èç BÂ1 E : BE BB1 B1 E 1
BE
36
6
6
2
2
2
По теореме косинусов: BE BF EF 2 BF FE cos BFE
2
2
2
2
BF 2 EF 2 BE 2
1
cos BFE
2 BF EF
962
sin BFE 1 cos 2 BFE 1
1
BF EF sin BEF
2
1 37 26 31
31
2 6
6
962 72
S BEF
S BEF
31
Ответ. 72
1
31
962
962

6.

Найти площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой
равны 1, проходящее через середины ребер AD, BC и SC.
Построим плоскость сечения, проходящее через точки N, К и М.
KM CD KM ( SCD) KM PN
1
1
1
1
DC=
КР= МN= AS =
2
2 2
ëèíèÿ SCD
2PN ñðåäíÿÿ
КМ=PN
АВ =1,
CDPN=
CN 1NS
1 1 1
ÊÍ ( KM PS ) 1
DP2 PS
2 2 4
KDP
è óãëó
Èç
ÊÐÍ
: MCN ( ïî äâóì ñòîðîíàì
1
S KPSM PS KM PH
2
2
ÐÍìåæäó
ÊÐíèìè
ÊÍ) 2
; KP MN
2
1 1
3
1равнобедренная
1
2
КPSМ
–
трапеция
S
1
ÐÍ ;
KPNM
2 2
4
2 4
3
3 3
ÐÍ 2 ;
S KPNM
16
16
3
ÐÍ
.
4
2
1
2
1
4
2
Ответ.
3 3
16

7. Найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, C и D1.

Найти площадь сечения правильной шестиугольной
призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, C и D1.
Построим плоскость сечения, проходящее через точки A, C и D1.
ÀÑD
AC 1F1 3 ïàðàëëåëîã ðàìì
AC ÀFF
AF :
Èç
1 AC ( AA1F ) AC AF
AC2 AA1 2
2
ÀF1 ÀF FF1 ;
Çíà÷èò
ÀÑD1F1 ïðÿìîóãîëü íèê
2
ÀF1 12 12 ;
ÀF1 2;
2
ÀF1 2 .
S ÀÑD1F1 ÀÑ AF1
S ÀÑD1F1 3 2 6
Ответ.
6

8. Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1  плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на ребре CC1, если C1M = 2CM.

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на
ребре CC1, если C1M = 2CM.
Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, D1 и M.
Сечением является параллелограмм BMD1K.
2
2
3
Èç ÂMC : ÂÌ
2
Èç MC 1 D1 : ÌD
2
3
1 10
BÑ MC 1
9
3
2
2
2
BM
10
3
MD1
13
3
2
1
3
1
2 13
C1 D1 MÑ1 1
9
3
2
2
2
По теореме косинусов: BD1 BM 2 MD1 2 BM MD1 cos BMD1
2
cos BMD1
2
2
130
sin BMD1 1 cos 2 BMD1 1
S BMD1K BM MD1 sin BMD1
S BMD1K
10 13 63
14
3
3
65
3
Ответ.
14
3
4
63
130
65

9. Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину D1 и середины ребер AB, BC.

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершину D1 и середины ребер AB, BC.
Построим плоскость сечения,
проходящее
через
указанные точки.
Теорема
о площади
ортогональной
проекции
многоугольника:
Сечением является пятиугольник
EFGD1H.
Площадь
проекции
многоугольника
ADCFE
– ортогональной
проекция сечения
на плоскость
ABCD
на плоскость равна произведению его площади на
1 7 многоугольника
косинус
угла
между
плоскостью
1
; DR 3 DB 3 и2
SADCFE =SABCD - SBEF =
плоскостью проекции. 8 8
4
4
S Èç
S DRD cos
Èç DRD1
ïð
ñå÷ 1 :
2
2
2
DR
3
RD
DRìåæäó
DD1 ;ïëîñêîñòüþ
ãäå
1 óãîë
COS DRD1 ñå÷åíèÿ
RD1
17
2
è ïëîñêîñòüþ
åãî
ïðîåêöèè
3 2
2
2
RD1
1
;
D
C
4
34
2
RD1 ;
F
16
R
34
RD1
.
4
А
E
B
По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника
S EFGD1 H
S ADCFE
7 17
COS DRD1
24
Ответ.
7 17
24

10. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

11.

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершины A, B, C1.
Ответ.
.
2

12.

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 ,
проходящее через середины ребер AB, BC, A1B1.
Ответ:
2
2

13.

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершину A и середины ребер CD, C1D1.
Ответ.
.
5
2

14.

Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра
которой равны 1, проходящее через середины ребер SA, SB и
SC.
Ответ. 0,25.

15.

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
середины ребер AA1, BB1, CC1.
Ответ. 0,5.

16.

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
вершины B, B1 и середину ребра AC.
Ответ.
.
3
2

17.

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной
призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, C и C1.
Ответ.
.
3

18.

1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2
плоскостью, проходящей через вершины C1 и В и точку E на
ребре A1В1, если В1E = 0,4 А1E.
Ответ.
6 11
7

19. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45 к плоскости основания проведена п

В правильной четырехугольной призме сторона основания равна
4 см. Через диагональ основания под углом 45 к плоскости
основания проведена плоскость, пресекающая боковое ребро. Найти
площадь сечения.
Ответ.
8 2

20. Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и середину ребра CC1.

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и середину
ребра CC1.
Ответ.
6
2

21.

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершины A, C и середину ребра С1D1.
Ответ:
1
1
8

22.

Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра
которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину
ребра SC.
Ответ:
3 11
16

23.

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через
середины ребер AB, BC и CC1.
Ответ:
3 7
16

24.

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной
призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, D и C1.
Ответ:
3 7
4

25.

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через вершину A и середины ребер BC, DD1.
Ответ:
3 21
16

26.

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1,
проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.
Ответ.
3 3
4

27.

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной
призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,
проходящее через вершины A, B и D1.
Ответ: 3

28. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины ребер A1D1 и CD.

Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2
плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины
ребер A1D1 и CD.
Ответ.
3 21
4