Исследование функции и построение графика

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ
О п р е д е л е н и е 1. Функция y f x называется
непрерывной в точке , принадлежащей области
определения D ( f ) , если функция y f x имеет в точке
конечный предел, равный числу f а , то есть
a
a
lim f x f a .
(1)
x a
О п р е д е л е н и е 2. Функция y f x называется
непрерывной справа (слева) в точке
из D ( f ) , если
в точке
существует конечный правый (левый)
предел функции y f x , равный числу f а , то есть
a
a

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

f a 0 lim f ( x) f a ;
x а 0
f ( x) f a .
f a 0 xlim
а 0
Из свойств предела вытекает следующее
утверждение.
Т е о р е м а 1. Функция y f x
непрерывна в точке a тогда и только тогда,
когда в этой точке справедливы равенства:
f a f a 0 f a 0 .

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

Пример: Рассмотрим функцию y f x ,
1
1

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

О п р е д е л е н и е 3. Функция y f x
называется непрерывной в интервале b; c , если
она непрерывна в любой его точке.
Функция y f x называется непрерывной
на отрезке b; c , если она непрерывна в
интервале b; c , непрерывна справа в точке x b,
непрерывна слева в точке x с .

6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

Т е о р е м а 2. Если функция y f x
дифференцируема в точке , то она непрерывна
в этой точке. Обратное утверждение неверно.
О п р е д е л е н и е 4. Точка х а , являющаяся предельной точкой множества D( f ) ,
называется точкой разрыва функции
y f, x
если в точке a эта функция либо не
определена, либо определена, но нарушено
условие непрерывности.
a

7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

О п р е д е л е н и е 5. Точка разрыва x aназывается
точкой устранимого разрыва функции y f x , если в
этой точке предел функции f x существует, но f x в
точке a либо не определена, либо значение f а не
совпадает с найденным пределом, то есть
f a 0 f a 0 f a .
Пример Функция
sin x
y
x
0
Имеет в точке х=0 устранимый разрыв, т.к:
при х =0
при х =0
у a 0 у a 0 1. y(0) 0

8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

О п р е д е л е н и е 6. Точка разрыва x a называется
точкой разрыва первого рода функции y f x , если в этой
точке функция имеет конечные, но не равные друг другу
правый и левый пределы, то есть: f a 0 f a 0 .
Пример:
«знак» числа х имеет в точке х=0 разрыв первого рода, т.к:
1 при x 0
y sgn x 0 при x 0
1 при x 0

9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

у 0 0 1, у 0 0 1, у(0) 0
y sgn x
у
1
0
х
-1
О п р е д е л е н и е 7. Точка разрыва x a
называется точкой разрыва второго рода функцииy f x ,
если в этой точке функция f x не имеет, по крайней мере,
одного из односторонних пределов или хотя бы один из
односторонних пределов равен бесконечности.

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

1
Пример Функция y имеет в точке х=0 разрыв второго
x
рода, так как в данном случае
число y(0) не определено
у 0 0 , у 0 0
у
0
х

11. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

Т е о р е м а 3. Если функция y f x непрерывна в точке
и существует конечный предел lim f 1 x , то справедливо
равенство:
lim f f1 x f lim f1 x
x a
x a
a
x a
Т е о р е м а 4. Пусть функция u g x непрерывна в точке
x a и функция y f u непрерывна в точке u g a .Тогда
сложная функция y f g x непрерывна в точке x a .
Т е о р е м а 5. Сумма, разность, произведение, частное,
суперпозиция конечного числа непрерывных функций (то
есть любая элементарная функция) есть функция,
непрерывная во всех точках области определения.

12. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

2. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
О п р е д е л е н и е 8. Прямая x x 0 называется вертикальной асимптотой кривой y f x , если точка x x 0
является для функции f x точкой разрыва второго рода.
О п р е д е л е н и е 9. Прямая у kx b называется
наклонной асимптотой кривой y f x на (на ),
если
lim
f x kx b 0.
x
x

13. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

Т е о р е м а 6. Кривая y f x
имеет наклонную
асимптоту у kx b на (на ) тогда и только тогда,
когда существуют конечные пределы:
k lim
x
x
f x
,
x
b lim
f x kx .
x
x
Пример Найти асимптоты графика функции:
2
x 1
y
x 1
Область определения: D y ; 1 ( 1; )
непрерывна во всех точках области определения,

14. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

1.Найдем вертикальные асимптоты графика:
x 1
2
lim
x 1 0
x 1
x 1
2
; lim
x 1 0
x 1
Точка х = -1является точкой разрыва второго рода, значит
прямая х = -1является вертикальной асимптотой графика
2. Найдем наклонную асимптоту на . Вычислим:
2
1
1
2
f x
x 1
x
k lim
lim
lim
1;
x
x x 1
x
1
x
1
x

15. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

x 1 2
b lim f x kx lim
x
x
x
x 1
1
3
2
2
x 2x 1 x x
1 3x
lim
lim
lim x
3
x
x x 1
x
1
x 1
1
x
Наклонной асимптотой является прямая:
y x 3
Ответ: х = -1 - вертикальная асимптота
y = x -3- наклонная асимптота при x и x .

16. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

3. ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ,
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
О п р е д е л е н и е 10. Функция y f x называется
возрастающей (убывающей) в некотором промежутке,
если для любых х1 и х 2 из этого промежутка,
удовлетворяющих условию х1 x 2 , выполняется
неравенство:
f x1 f x2
f x1 f x2 .

17. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

О п р е д е л е н и е 11. Точки области определения функции, в
которых производная f x равна нулю или не существует,
называются критическими.
О п р е д е л е н и е 12. Пусть функция y f x определена
всюду в некоторой окрестности точки х х 0. Точка х х 0
называется точкой максимума (минимума) функции y f x ,
если существует такая окрестность u x 0 с центром в точке х 0 ,
что справедливо неравенство:
f x f x0 x u x0 \ x0 .
f x f x0
О п р е д е л е н и е 13. Максимумы и минимумы функции
называются экстремумами функции.

18. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

Т е о р е м а 7 (достаточное условие возрастания
(убывания)). Пусть во всех точках некоторого интервала
функция y f x дифференцируема и f x 0 f x 0 .Тогда
в этом интервале функция y f x возрастает (убывает).
Т е о р е м а 8 (необходимое условие экстремума). Если
функция y f x имеет экстремум в точке х х 0 , то
эта точка критическая.

19. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

Т е о р е м а 9 (достаточное условие экстремума). Пусть
функция y f x дифференцируема в некоторой окрестности
критической точки х х 0 за исключением, быть может, самой
этой точки. Если в пределах указанной окрестности функция
f x имеет разные знаки слева и справа от точки х 0 , то х 0
точка экстремума. Если при этом знак производной меняется
с « » на «+», то точка минимума,
с «+» на « », то точка максимума.
Если в пределах указанной окрестности функция f x имеет
один и тот же знак слева и справа от точки х 0 , то в х 0
экстремума нет.

20. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

П р и м е р. Найти интервалы возрастания, убывания и
1 3
экстремумы функции:
2
f x x 2 x 3.
3
Р е ш е н и е. 1) Функция определена D f ;
2) Найдем производную f x :
1 3
f x x 2 x 2 3 x 2 4 x x x 4
3
при f x 0
х1 0 и х2 4

21. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

х
знак
y x
;0
+
вывод о
0
0
max
y x
Возраст.
f 0 3
0;4
-
4
0
4;
+
min
23
f
4
убывает
3
О т в е т: интервалы возрастания: ;0 ;
интервалы убывания: 0;4 ;
Возраст.
4; ;