Системы уравнений

1.

Задание 21.
Решите систему уравнений
x 2 у 1, (1)
2
2
x
2
xy
y
1;
x 2 у 1,
2
x( x 2 y ) y 1;
x 2 у 1,
x 2 у 1,
+ 2
2
x y 1; ( 1) x y 1;
Из уравнения (1)
y2 2 y 0
x 1 2 y
y ( y 2) 0
y1 0
y2 2
х1 1 2 0 1
х2 1 2 ( 2) 1 4 5
Ответ: (1; 0), (5;–2).

2.

Задание 21.
Решите систему уравнений
х у 5,
х у 5,
2
2
2
2
х
2
ху
у
81
х у 81 2 ху
Применим формулу
х у 5,
2+2ab+b2 =(a + b)2
a
2
х у 81
x у 5,
+
x y 9;
2 х 14
х 7
7 у 9; у 2
(7; 2)
x у 5,
+
x y 9;
2 х 4
х 2
2 у 9;
у 7
( 2; 7)
Ответ: (7; 2), (–2;–7).

3.

Задание 21.
Решите систему уравнений
5
2
3
х у х ху у 2 35,
х 3 у 35,
у
2
2
х
у
5
х
у
5
Применим формулу
5 х 2 ху у 2 35, : 5
2= a2+2ab+b2
(a
+
b)
2
х 2 ху у 2 25
ху 6
2
2
х ху у 7, (–1)
2
х у 5
2
х 2 ху у 25
х1 2, у1 3
х 2 ху у 2 7,
+
2
2
х2 3, у2 2
х 2 ху у 25
3ху 18 : 3
Ответ: (2; 3), (3; 2).

4.

Задание 21
2
x
y
Используем метод
3 5 у 4, 3 перехода к Решите
целым систему
числам.уравнений
1 x y 5.
12
3 4
2 x y 15 у 12,
12 4 х 3 у 60
2 x 14 у 12,
4 х 3 у 48
4 x 28 у 24,
+
25 у 72 : 25
у 2,88
Используем способ
алгебраического сложения.
2
Чтобы найти х, подставим во 2 уравнение у=2,88
4 х 3 2,88 48
4 х 8,64 48
4 х 48 8,64
4 х 56,64 : ( 4)
х 14,16
Ответ:
(–14,16; 2,88).

5.

Решите систему уравнений
xу 12,способ подстановки:
Используем
– из уравнения (2) выразим «y»,
x 2)( y в уравнение
4) 8; (1).
–(подставим
xу 12,
xy 4 x 2 y 8 8;
xy 12,
2 x y 2;
(2)
y = 2 – 2x
(1)
x(2 – 2x) =–12
Найдем корни по теореме Виета.
xy 12,
4 x 2 y 4; : (–2)
(1)
(2)
приведённое
12
xу Это
квадратное
–12 уравнение (старший
4 x 2 y равен
16,1).
коэффициент
xу
xу 12,
12 4 x 2 y 16;
Задание 21
(2–2x)
2x – 2x2 =–12
–2x2 + 2x + 12=0 : (–2)
1 x2 – x – 6=0
x1 + x 2 = 1
x1 x2 = –6
x1 = 3,
y1 = 2–2*3 = –4
x2 = –2,
y2 =2–2*(–2)=2+4=6
Ответ: (3;–4), (–2;6).

6.

Задание 21
x 2 у 2 5,
xy 2. 2
Решите систему уравнений
Используем способ
алгебраического сложения.
x у 5,
+
2
xy
4
2
2
x 2 2 xy у 2 9,
x у 2 9,
xy 2
x у 3,
xy 2
x у 3,
xy 2
(1; 2), (2;1)
(–1; –2), (–2;–1)
Ответ: (1; 2), (2;1), (–1;–2), (–2;–1).

7.

Задание 21
Решите систему уравнений
x 2 xу 7,
x y 3 8.
x( x у ) 7,
3
3
( x у ) 2
x( x у ) 7,
x у 2
x ( 2) 7, : (–2)
x у 2
–3,5 + y = –2
x =–3,5
y = 1,5
Ответ: (–3,5; 1,5).

8.

Задание 21 Решите систему уравнений
x 3 y 31, ( 2)
2
2 x 6 y 2 31x.
2
2
2 x 2 6 y 2 62,
+
2
2 x 6 y 2 31x.
0 31x 62
31x 62
x1 2,
2
Подставимспособ
Применим
х = 2 в первое
алгебраического
уравнение,
чтобысложения.
найти
Сначала первое
значение
у.
2 уравнение
2
x
3
y
31
умножим на (–2).
x2 3 y 31
2
2
4 3 y 2 31
3 y 2 27
y2 9
: 31
y1 3
y2 3
Ответ: (2; 3), (2;–3).
:3

9.

Задание 21 Решите систему уравнений
Применим способ
Подставим
х=2
–4ввпервое
первое
алгебраического
уравнение,
чтобысложения.
найти
Сначала первое
значение
у.
уравнение
2
умножим наx(–1).
2 y 1
( 1)
x 2 y 1,
2
x 15 2 y y 2 .
2
x 2 2 y 1,
+
2
x 15 2 y y 2 .
2
15 y 1
y 16
2
y 1
x 2 y4 1 x 2 (-4)
2
2
x 9
2
x1 3
x 7
2
x2 3
y1 4,
y2 4,
Ответ: (4; 3), (4;–3).

10.

Задание 21 Решите систему уравнений
способ
(
2
)
4 x 2 y 9, Применим
сложения. При сложении
2+
8 x y 3. уравнений исключится y.
12 x 2 12
:12
3 y 15
y 5
x 1
2
x1 1,
8 x 2 2 y 18,
+
2
8 x y 3.
y1 5,
x2 1, y1 5.
Ответ: (1; 5), (–1; 5).

11.

Задание 21 Решите систему уравнений
xy x 2 18, ( 1)
+ 2
xy x 14.
2 xy 4 : 2
xy 2
2
y
x
xy x 2 18,
+ 2
xy x 14.
2 x 32
2
:2
x 2 16
2
1
x1 4; y1
4
2
2
1
x2 4; y1
4
2
Ответ: (4; –0,5), (–4; 0,5)

12.

Задание 21. Решите систему уравнений
x y xy 11, ( 1) x y xy 11,
+
+
x y xy 1.
x y xy 1.
2 xy 12 : ( 2 )
2 x 2 y 10 : 2
x y 5
xy 6
Это приведённое
Применим способ
квадратное
подстановки.
(старшийИз первого
5уравнение
,коэффициент
равен
1).
уравнения
выразим
y
Найдем корни по теореме Виета.
x y
xy 6
y x 5
x x 5 6
x1 x2 5
x1 x2 6
1
x1 2,
x2 3,
y1 3
y2 2
x2 5x 6 0
Ответ: (–2; 3), (–3; 2).

13.

Задание 21
Решите систему уравнений
x–y=4
xy + 5y + 3x
x
x + 15 = 0
x = 4+y
Это приведённое квадратное
уравнение (старший
коэффициент равен 1).
Найдем корни по теореме Виета.
Применим способ
подстановки. Из первого
уравнения выразим x
(4+y)y + 5y + 3(4+y) + 15 = 0
4y + y2 + 5y + 12 + 3y + 15 = 0
1 y2 + 12y + 27 = 0
y1 + y2 = –12
y1 y2 = 27
y1 = –9,
x1 = 4+(–9) = – 5
y2 = –3,
x2 = 4+(–3) = 1
Ответ: (–5;–9), (1; –3).

14.

Задание 21
Решите систему уравнений
x + y = 17
xy – 9y – 9x + 81 = 0
x + y = 17
xy – 9(y + x) + 81 = 0
17
x + y = 17
xy – 9 17 + 81 = 0
x + y = 17
xy – 153 + 81 = 0
x + y = 17
xy = 72
Решения этой системы уже можно
найти подбором. Если не
получится… решаем способом
подстановки.
Ответ: (8; 9), (9; 8).

15.

Задание 21 Решите систему уравнений
4 x 3 2 7 y, Вычтем из уравнения (1)
уравнение (2)
–
3x 4 2 7 y.
2
2
4 x 3 3x 4 0
Подставим x=1 в
первое уравнение
4 1 3
2
7y
7 y 49
y 7
4x 3 3x 4 4x 3 (3x 4) 0
Подставим x=–1 в
первое уравнение
7x 7 4x 3 3x 4 0
2
7 x 1 x 1 0
4 ( 1) 3 7 y
2
x1 1, 1
4 3 7 y
x2 1,
7y 1
2
1
Ответ: (1; 7), (–1; 7 )
у
1
=7

16.

Задание 21
Решите систему уравнений
( x 1)( 2 у 1) 0,
2
2 y x y 5;
(1)
(2)
Используем способ подстановки:
– из уравнения (2) выразим «x»,
– подставим в уравнение (1).
Произведение равно «0», когда
(2) x =–2y2+y+5
один из множителей равен «0».
2
(1) (–2y +y+5+1)(2y–1) = 0
–2y2 +y+6=0
2y – 1 = 0
2y = 1
D = b2 – 4ac
a =–2, b = 1, c = 6
D = 12 – 4*(–2)*6 = 49 = 72
–b +
D
–
x=
2a
3,
y
=
–
–1 +
7
2
y= – = 1
–4
y2 = 2
1
y3= 2
x1 =–2*(– 3 )2 + (– 3 )+5 = –2 * 9 – 3 +5 = – 9 – 3 +5 = – 12 +5 = –1
2
2
4
2
x2 =–2*22 + 2 + 5 = –8 + 2 + 5 = –1
x3
=–2*0,52
+ 0,5 + 5 = –0,5 + 0,5 + 5 = 5
2
2
2
Ответ: (–1;–1,5),
(–1; 2), (5; 0,5).

17.

Задание 21
Решите систему уравнений
5x
2
у
4,
5x 6
+
3x у 2 24.
x 6
4x
20
1
x 6
Используем способ
алгебраического сложения.
20 x 6 4x
20x 120 4x
20x 4x 120
24x 120 : ( 24)
x 5
5
у2 4
5–1
6
5 у2 4
у2 4 5
у2 9
у1 3
у2 3
Ответ: (5;–3), (5; 3).

18.

Задание 21.
Решите систему уравнений
y 2 1 4 x 2 4 x,
2
4 x y 2 3xy 1;
Из (1): y2=4х2+4х+1
y=2х+1
y2=(2х+1)2
y=–2х–1
Подставляем в уравнение (2):
4х2+(2х+1)2–3х(2х+1)=1
4х2+4х2+4x+1–6x2–3х–1=0
2х2+x=0
x(2х+1)=0
x1=0 , y1=2 0+1=1
x2=–0,5, y2=2 (-0,5)+1=0
Ответ: (0; 1), (–0,5; 0), (0;–1).
4х2+(–2х–1)2–3х(–2х–1)=1
4х2+(–(2х+1))2–3х(–2х–1)=1
4х2+(2х+1)2–3х(–2х–1)=1
4х2+4х2+4x+1+6x2+3х–1=0
14х2+7x=0
7х(2x+1)=0
x3=0 , y1=–2 0–1=–1
x4=–0,5 , y2=–2 (-0,5)–1=0

19.

Задание 21. Решите систему уравнений
2
х
у
5 х у 4 0
2
х у х у 2 0
a 2 – 5a + 4 = 0
a 1 +a 2 = 5
a1=4
a2=1
a1 a2 = 4
Пусть х+у= a , х–у = b
a 2 – 5a + 4 = 0
b2 – b – 2 = 0
b2 – b – 2 = 0
b 1 +b 2 = 1
b1 b2 = –2
b1=2
b2=–1
Вернемся к замене
x +y = 4
x –y = 2 +
2x = 6
x=3
3+y = 4
y=1
x +y = 4
x–y = –1 +
2x = 3
x = 1,5
1,5+y = 4
y = 2,5
x +y = 1
x –y = 2 +
2x = 3
x = 1,5
1,5+y = 1
y =–0,5
x +y = 1 +
x–y = –1
2x = 0
x=0
0+y = 1
y=1
Ответ: (3; 1), (1,5; 2,5), (1,5; –0,5), (0; 1).

20.

Задание 21. Решите систему уравнений
x y xy 1,
2
2
x
y
xy
30.
( x y ) xy 1,
xy( x y ) 30.
a b 1,
ab 30.
a 5,
b 6;
a 6,
b 5.
Вернёмся к замене
Применим способ замены.
x
y
6
,
x
y
5
,
Пусть a = x+y, b = xy
xy 6.
(–2;–3), (–3;–2).
D = k2 – ac
4
D
+
–k – 4
x=
a
y 6 x
xy 5;
x(6 x) 5
x 6x 5 0
x2 6x 5 0
2
a =1, k =–3, c=5
D
( 3) 2 1 ( 5) 14
4
x1 3 14 , y1 3 14
x2 3 14 , y2 3 14
Ответ: (–2; 3), (–3; 2), (3+ 14 ;3– 14 ), (3– 14 ;3+ 14 ).