Расстояния в пространстве

1.

10 класс

2. Расстояние от точки до прямой

А
а
К
( А; а ) АК

3.

(С1 ; AD) С1 D
B1
C1
D1
A1
C
B
A
D

4.

Правильная пирамида
Все ребра равны 4
S
( S ; AD) 2 3
SN 2 16 4 12
4
B
C
O
A
D
N
2
SN 2 3

5. Расстояние от точки до плоскости

А
( А; ) АК
АК
К

6. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости и плоскостей

а
a
a
а
m
b
n
a n, a m
а
а a
а b

7.

B1
C1
N1
D1
A1
B
A
C
N
D
( А; BB1 D) AN

8.

S
Правильная пирамида
( А; SBC ) АК
K
SAN SBC
B
N
о
A
C
SN - линия их пересечения

9. Расстояние между параллельными прямыми, плоскостями

10.

Если фигуры (прямые, плоскости)
имеют общие точки, то расстояние
между ними считается равным
нулю

11. Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

1. Расстояние между скрещивающимися
прямыми – длина их общего перпендикуляра

12.

2.
a
a1
a
b
b
(a; b) AN
A
N

13.

a
a1
a
b
b1
(a; b) AA1
A1
b
A

14.

4.
b
a
К
А
b1
-проводим плоскость, перпендикулярную одной
из скрещивающихся прямых;
- проектируем вторую прямую на эту плоскость;
-из точки пересечения первой прямой с построенной
плоскостью опускаем перпендикуляр на проекцию;
(a; b) AK расстояние между скрещивающимися
прямыми

15.

S
Расстояние
между SN и BC
Все ребра пирамиды
равны
BC SAM
SP проекция
К
A
SN на ASM
Р
N
B
О
М
C
Длина отрезка КМ – расстояние между
прямыми SN и ВС

16.

Самостоятельная работа
IB
II B
B1
D1
A1
B1
C1
C1
D1
А1
B
d
B
C
C
d
A
D
A
D

17. Самостоятельная работа

IB
IIB
d
d

18. Самостоятельная работа

IB
IIB
Все ребра пирамиды равны 2. Найти ( M , ABC )
S
S
М
М
A
к
B
о
к
о
N
C
C
B
A
D

19. Задания для самостоятельной работы

Находим расстояние между
одной из скрещивающихся
прямых и параллельной ей
плоскостью, содержащей
другую скрещивающуюся
прямую

20. Задания для самостоятельной работы

Строим плоскость,
перпендикулярную одной из
скрещивающихся прямых
Строим проекцию второй
скрещивающейся прямой
на эту плоскость
Опускаем перпендикуляр
на построенную проекцию
Длина этого перпендикуляра
и есть искомое расстояние

21. Задачи ЕГЭ

1. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найти
расстояние между диагоналями куба BD1
и AB1 .
2. В основании прямой призмы ABCA1 B1C1
лежит ABC , AB AC 8 ,один угол которого
равен 60. Точка Р расположена на ребре
AA1 , причем AP : PA1 2 : 1 . Найдите тангенс
угла между плоскостями ABC и BCB1 ,
если расстояние между прямыми AB и B1C1
равно 18 3.