Вписанная окружность

1. Вписанная окружность

Учитель математики ГБОУ гимназии № 1504 Железнова Я.А.

2. Определение

Если все стороны многоугольника
касаются окружности, то
окружность называется вписанной
в многоугольник,
а многоугольник – описанным около
этой окружности.

3.

Пятиугольник ABCDE
описанный.
Окр.(О,R) – вписанная.
АВ, ВС, CD, DE, АЕ
касательные

4.

Окружность с центром
Q не вписана в
четырехугольник
ABCD, т. к. CD не
касается окружности.

5. ТЕОРЕМА

В любой треугольник можно
вписать окружность.
Замечание: в треугольник можно
вписать только одну окружность.

6. Дано

А
ABC
AA1 , BB1 , CC1 биссектрисы
AA1 BB1 CC1 O
Доказать, что
окр. (О; R)вписанная.
О
С
В

7. Доказательство

Проведем
Доказательство
OK AB, OM AC, OL BC
Т.к. точка О лежит на биссектрисах,
то она равноудалена от АВ, ВС, АС,
т.е. OK OL OM
Значит точки K , L, M окр (O; OK )
Т.к. OK AB, OM AC, OL BC K
то AB, AC,CB – касательные.
Значит окр.(О; ОR) вписанная.
В
А
M
О
С
L

8. Важный вывод 1

Центр вписанной в
треугольник окружности
лежит в точке пересечения
его биссектрис и
равноудален от его сторон.

9. Важный вывод 2

Радиус окружности
вписанной в треугольник
равен расстоянию от центра
окружности до сторон
треугольника.

10.

Не во всякий четырехугольник
можно вписать окружность.
Если же в четырехугольник
можно вписать окружность, то
его стороны обладают
следующим свойством:

11. Свойство

В любом описанном
четырехугольнике
суммы противоположных
сторон равны.

12.

АВСD
описанный
четырехугольник.
В
А
O
С
AB+CD=BC+AD
D

13.

окружности
с
a + b + c +d
CD
AD
доказать
d

14. Верно и обратное утверждение

Если суммы противоположных сторон
выпуклого четырехугольника равны,
то в него можно вписать окружность.
Это признак описанного
четырехугольника.

15. Свойство описанного многоугольника

Площадь описанного
многоугольника равна половине
произведения его периметра на
радиус вписанной окружности.
S ABCD... K PABCD... K r
1
2

16.

ЗАДАЧА 1
все
стороны
д
а
вписанная
а д
треугольник
касаются

17. Задача 2

ОКРУЖНОСТИ
ТОЧКИ
3
BT
6
HB+BT+AT
2
3+6
28
АМ
MC+СH
СH

18.

ЗАДАЧА 3
КАСАНИЯ
АС
ВЫСОТА
ТРЕУГОЛЬНИКА
АОВ
ВЫСОТА
ОЕ
ОМ
АС·OH
1
2
1
2
ОH
ОМ
S AOC
AC· r
r
60·4
120
1
2
BС

19. № 690

Дано:
В
ABC равнобедренный
АС-основание
окр (О; R) вписанная
AB = 60,
BD – высота,
ВО : OD = 12 : 5,
Найти АС
K
O
А
D
С

20. № 691

Дано: ABC равнобедренный
АС-основание
В
окр (О; R) вписанная
Точки K, N, D –точки
касания.
ВК : КА = 4 : 3
Найти P
ABC
N
K
O
А
D
С

21. № 693 (a)

В
Дано: ABC прямоуголь ный
C 90
окр (О;4) вписанная
АВ = 26
М, N, K – точки касания
Найти PABC
N
O
М
С
K
A

22. № 698

Кратко!

23. Подведем итог :

Какая окружность называется вписанной в
многоугольник?
Какой многоугольник называется описанным
возле окружности?
В любой ли треугольник можно вписать
окружность?
Сколько окружностей можно вписать в
треугольник?
Где лежит центр вписанной окружности?

24. Подведем итог :

Чему равен радиус окружности,
вписанной в треугольник?
В любой ли четырехугольник можно
вписать окружность?
Сформулируйте свойство
описанного четырехугольника
Сформулируйте признак описанного
четырехугольника

25. Домашние задание

П.74. читать,
Теория из тетрадки, формулировки
знать наизусть.
№ 689, 692, 693 (б), 695