Линейная независимость

1.

II. Линейная независимость
1. Определения и примеры

2.

1. Определения и примеры
Лемма 1.1:
Пусть S – подмножество векторного пространства V, тогда v V,
span S = span( S {v}) тогда и только тогда, когда v span S
Доказательство (необходимость) :
v span( S {v} ), тогда из того, что span S = span( S {v} ) →
v span S
Доказателство (достаточность) :
s
p
a
n
S
v
a
v
a
s
S
0
k
ks
k
k
v span S →
v vksk
k
→
s
p
a
n
S
v
a
a
v
s
s
S
span S
k 0
k
k k
k
QED

3.

Пример 1.2:
Пусть
Тогда
1
0
2
v
0
v
1
v
1
1
2
3
0
0
0
s
p
a
n
v
,
v
s
p
a
n
v
,
v
,
v
так как
1
2
1
2
3
v
2
vv
p
a
n
v
,
v
3
1
1 s
1
2
Определение 1.3: Линейная независимость
Подмножество векторного пространства линейно независимо, если ни
один из его элементов не является линейной комбинацией других.
В противном случае, множество называется линейно зависимым.

4.

Лемма 1.4: Практический тест для определения ЛН.
S
s
V
k
1
, ,n
есть ЛН т.и т.т.к.
k
n
c s
k 1
k k
→
0
ck 0 k
Доказательство :
Если S есть ЛЗ система,
то можно записать
n
c s
Тогда,
k 1
k k
0
sj cksk
k j
j.
выполняется только при
Доказательство (от противного) :
Если S не является
ЛН, то j так что
т.е.
n
c s
k 1
k k
0
sj cksk
k j
выполняется для cj = 1 0.
Рассуждая обратно, заканчиваем доказательство. QED
ck 0 k

5.

Пример 1.5: Строки
{ (40 15), ( 50 25) } являются ЛН.
Доказательство:
Пусть
→
a
4
0
1
5
b
5
0
2
50
0
40a 50b 0
15a 25b 0
→
4a 5b 0
3a 5b 0
→
7a 0 0
3a 5b 0
{ (40 15), (20 7.5) } есть ЛЗ система.
Доказательство:
Пусть
→
a
4
0
1
5
b
2
0
7
.
5
0
0
40a 20b 0
→
15a 7.5b 0
2a b 0
2a b 0
→
b 2a
→
a 0
b 0

6.

Лемма 1.6: Пустое подмножество является ЛН.
Лемма 1.7: Любое подмножество S содержащее 0, является ЛЗ.
Доказательство:
0
v
... 0
v
a
00
a F
1
n
Теорема 1.8:
Любое конечное подмножество S векторного пространства V содержат
ЛН подмножество U с той же линейной оболочкой, что и S.
Доказательство:
• Если S ЛН, то берем U = S и все доказано.
• Если S ЛЗ, то sk так что sk = j k cj sj .
Из леммы 1.1, span S1 = span S, где S1 = S \ {sk} .
Если S1 ЛН, то все доказано.
• В противном случае, повторяем процедуру изъятия
элементов, пока не достигнем ЛН. QED.

7.

Лемма 1.9:
Всякое подмножество ЛН множества
является также ЛН.
Всякое надмножество ЛЗ множества также
является ЛЗ.
Доказательство: Очевидно.
S1 S
S2 S
S ЛН
S1 ЛН
--
S ЛЗ
--
S2 ЛЗ

8.

Лемма 1.10:
Пусть S есть ЛН подмножество векторного пространства V , тогда
v V & v S,
S {v} есть ЛЗ т.и т.т.к. v span S.
Доказательство :
По определению, v span S & v S S {v} есть ЛЗ
Доказательство :
S есть ЛН ни один sk не является линейной комбинацией других sj –
х.
S {v} есть ЛЗ v обязан быть линейной комбинацией sj-х. QED
Следствие 1.11:
j 1
Подмножество S = {sk | k = 1,…,n } ЛЗ т.и т.т.к
Доказательство: По построению.
sj cksk для некоторого
k 1
j n
Лемма 1.12: Пусть S – ЛН подмножество векторного пространства V ,
тогда v V & v S,
S {v} ЛН т.и т.т.к. v span S.