Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники
и электроники
(МИРЭА, МГУПИ)университет
Московский
государственный
информационных
технологий,
радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО
ОБУЧЕНИЯ
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Линейная алгебра и аналитическая
геометрия
Михайлова Ольга Юрьевна
E-mail: [email protected]
online.mirea.ru

2. Календарный план

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Календарный план
• Учебный семестр длится до 7 июля, затем
сессия – экзамен
• Для допуска к сессии необходимо выполнить 4
задания и набрать не менее 40 баллов
№
п/п
1
2
3
4
Тема 1-2
Тема 3-5
Тема 6-7
Тема 8-10
5
Тема 1-10
6
Активность
Сумма баллов
Тема дисциплины
Тип
Тест 1
Тест 2
Тест 3
Тест 4
Задание
(итоговое)
Мин.
балл
7
7
7
7
Макс.
балл
10
10
10
10
12
25
0
40
5
70online.mirea.ru

3. Комментарии к календарному плану

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Комментарии к календарному плану
• Все задания выполняются на Учебном портале onlineedu.mirea.ru
• Тесты выполняются в электронном виде с
автоматической оценкой. Тесты проверяют усвоение
базовых понятий, формул, теорем.
• Задания выполняются в виде файла и прикрепляются на
проверку на Учебном портале. Задания проверяются в
период, указанный в календарном плане
• По каждому заданию могут быть даны дополнительные
вопросы и комментарии
online.mirea.ru

4. Список литературы

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Высшая математика для экономистов: учебник / под ред Н.Ш.
Кремера – 2-е изд. перераб. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 471 с
М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее
приложения в экономическом образовании. М. «Дело», 2003. –
625 с.
Высшая математика для экономистов: практикум / под ред
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2010. – 479 с.
Шипачев В.С. Высшая математика. Полный курс: учебник для
бакалавров/ под ред А. Тихонова. – М.: Юрайт, 2012. – 479 с.
Высшая математика в упражнениях и задачах – 7-е изд. испр. –
М.: ОНИКС; Мир и образование, 2008. – 816 с.
Клименко Ю.И. высшая математика для экономистов в
примерах и задачах: учебник – 2-е изд. перераб. и доп. – М.:
online.mirea.ru
Экзамен, 2006. – 734 с.

5. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Базы данных, информационносправочные и поисковые системы
1.
2.
3.
4.
5.
Справочно-информационная система Гарант, Консультант.
Электронная библиотечная система КнигаФонд [Электронный
ресурс]. Электрон. дан. Режим доступа http://www.knigafund/ru/.
Библиотека Genesis [Электронный ресурс]. – Электрон. дан.
Режим доступа: http://gen.lib.rus.ec/.
Образовательный математический сайт [Электронный ресурс].
– Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.exponenta.ru/.
Научная электронная библиотека [Электронный ресурс]. –
Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.elibrary.ru/.
online.mirea.ru

6. Темы раздела линейная алгебра

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Темы раздела линейная алгебра
Тема 1. Система линейных уравнений общего
вида. Метод Жордана-Гаусса решения
системы линейных уравнений.
Тема 2. Арифметическое n-мерное векторное
пространство. Линейная зависимость и
независимость системы векторов.
Тема 3. Матрицы. Операции над матрицами.
Обратная матрица.
Тема 4. Определители, их свойства и вычисление.
Тема 5. Правило Крамера и матричный способ
решения системы линейных уравнений. online.mirea.ru

7. Темы раздела аналитическая геометрия

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Темы раздела аналитическая
геометрия
Тема 6. Элементы векторной алгебры.
Тема 7. Простейшие задачи
аналитической
геометрии.
Тема 8. Уравнения прямой на плоскости и в
пространстве.
Тема 9. Уравнения плоскости в пространстве.
Тема 10. Взаимное расположение прямых и
плоскостей.
online.mirea.ru

8. Система линейных уравнений общего вида. Метод Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема 1
Система линейных уравнений
общего вида.
Метод Жордана-Гаусса решения
системы линейных уравнений.
online.mirea.ru

9. Система линейных уравнений.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Система линейных уравнений.
1.
2.
3.
4.
Понятие системы линейных уравнений (СЛУ), ее
решения. Основная и расширенная матрицы системы.
Понятие совместной и несовместной системы,
равносильные системы.
Элементарные преобразования системы, их основное
свойство.
Система линейных уравнений базисного вида. Общее,
частное, базисное, опорное решения СЛУ.
online.mirea.ru

10. Определения.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Определения.
О.1 Линейным уравнением (ЛУ) от nпеременных называется выражение
вида:
а11 х1 а12 х2 .... а1n xn в1
а х а х .... а x в
21 1 22 2
2n n
2
...................................... 1.3
аm1 х1 аm 2 х2 .... аmn xn вm
a1 x1 a2 x2 ... an xn в
n
или
a x
i
i
в
О.3 Системой линейных уравнений
(СЛУ) называется совокупность ЛУ вида:
1.1
1.2
i 1
О.2 Решением уравнения называется
упорядоченный набор n вещественных
чисел 1 , 2 ,..., n ,
при подстановке которых в уравнение
вместо неизвестных соответственно,
уравнение превращается в верное
числовое равенство.
n
a
ij
j 1
или
x j вi ;
i 1, m
1.4
О.4 Решением СЛУ называется
упорядоченный набор n вещественных
чисел 1 , 2 ,..., n ,
являющийся решением каждого из m
уравнений, входящих в систему.
online.mirea.ru

11. Матрицы СЛУ.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Матрицы СЛУ.
• Основная матрица
а11 .......а1 j ......a1n
.......................
аi1.......аij .......ain
........................
аm1.......аmj .......amn
• Расширенная матрица
а11 .... а1п в1
... ... ... ...
a
...
a
в
m1
mn
m
m n
1.5
m n 1
1.6
online.mirea.ru

12. Определения.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Определения.
• О.7 СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в
противном случае система называется несовместной.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное
решение и неопределенной, если имеет более одного решения.
СЛУ
Совместные
(есть решения).
Неопределенные
(много решений).
Несовместные
(нет решений).
Определенные
(одно решение).
СЛУ называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.
• О.8 Две системы линейных уравнений от одинакового числа неизвестных
называются равносильными, если множества их решений совпадают.
online.mirea.ru

13.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
О.9 Элементарными преобразованиями СЛУ
называются следующие преобразования:
• а) перестановка местами i-го и j-го уравнений;
• б) умножение на число 0 обеих частей i-го
уравнения;
• в) прибавление к левой и правой частям i-го уравнения
соответствующих частей j –го уравнения, умноженных
на число ;
• г) удаление из системы нулевого уравнения:
0 x1 0 x2 ... 0 xn .0
Т.1 Элементарные преобразования переводят СЛУ в
равносильную ей систему.
online.mirea.ru

14.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Рассмотрим преобразование типа (в)
1.3
а11 х1 .... а1n xn в1
................................
аi1 х1 ...... аin xn вi
...............................
а х ...... а x в
jn n
j
j1 1
.................................
аm1 х1 ......... аmn xn вm
1, 2 ,..., n
1.7
а11 х1 .... а1n xn в1
................................
(аi1 а j1 ) x1 ..... (аin а jn ) xn вi в j
...............................
а х ...... а x в
j
jn n
j1 1
.................................
аm1 х1 ......... аmn xn вm
1, 2 ,..., n
online.mirea.ru

15. Определения.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Определения.
• О.10 Переменная x j в СЛУ называется базисной, если
она встречается в единственном уравнении системы и
имеет коэффициент, равный 1.
Говорят, что СЛУ имеет базисный вид, если в каждом
уравнении выделена базисная переменная.
В системе базисного вида переменные, не являющиеся
базисными, будем называть свободными
переменными.
online.mirea.ru

16.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
x1 , x2 ,..., xk , xk 1 ,..., xn
базисные
свободные
x1 c1k 1 xk 1 c1k 2 xk 2 ... c1n xn d1
x c x c x ... c x d
2 2 k 1 k 1 2 k 2 k 2
2n n
2
...........................................................
xk ckk 1 xk 1 ckk 2 xk 2 ... ckn xn d k
1
0
0 ... 0 c1k 1 c1k 2 ... c1n d1
1 ... 0 c2 k 1 c2 k 2 ... c2 n d 2
... ... ... ...
0
...
0 ... 1 ckk 1
...
ckk 2
...
БП
x1
x2
... ...
...
... ckn d k
xk
online.mirea.ru

17. Определения.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Определения.
• О.11 Общим решением СЛУ называют множество
упорядоченных наборов из n действительных чисел, в
которых свободные переменные могут принимать
любые действительные значения, а базисные
переменные однозначно выражаются через свободные.
Частное решение СЛУ получается из общего
путем придания свободным переменным конкретных
действительных значений.
• О.12 Частное решение, в котором свободные
переменные равны 0, называют базисным.
• О.13 Базисное неотрицательное решение называют
опорным.
online.mirea.ru

18. Метод Жордана-Гаусса решения СЛУ

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Метод Жордана-Гаусса решения
СЛУ
1.
2.
3.
4.
5.
Приведение системы линейных уравнений к базисному
виду методом Жордана-Гаусса. Правило прямоугольника.
Формулы преобразования Жордана-Гаусса.
Алгоритм метода Жордана-Гаусса.
Анализ работы по методу Жордана-Гаусса.
Преобразование однократного замещения.
Однородные системы линейных уравнений.
online.mirea.ru

19.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
а11 х1 ..... а1q хq ..... а1n хn в1
...............................................
p
i
а p1 х1 ..... а pq хq ..... а pn хn в p
................................................
1
aiq
a pq
аi1 х1 ..... аiq хq ..... аin хn вi
................................................
аm1 х1 ..... аmq хq ..... аmn хn вm
2.1
online.mirea.ru

20.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
p
i
ДИСТАНЦИОННОГО
а11 .......
а1q .......a1nОБУЧЕНИЯ
ЦЕНТР
b1
.......................
a .......a ......a
1
b
pq
pn
p
p1
a pq
.......................
а
........
а
.......
a
b
iq
in
i
i1
........................
а .......а .......a bm
mq
mn
m1
aiq
..................
.............................0...............................
a pn
bp
a p1
..........
..........
...
1
..........
.......
a
a pq
a pq
pq
.............................0.......................................................................
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
b
i pq
iq p
i1 pq iq p1 .......0................ in pq iq pn
a pq
a pq
a pq
..........
.........
.............................0...............................
online.mirea.ru

21. Формулы преобразований Жордана – Гаусса:

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Формулы преобразований Жордана – Гаусса:
1.
Элементы разрешающей строки делятся на
a pi
разрешающий элемент
а pi а ' pi
a pq
;
2.
Элементы разрешающего столбца заменяются
нулями (кроме 1 в разрешающей строке)
а jq а' jq 0; j 1,..., p 1, p 1,...., m;
3.
Остальные элементы расширенной матрицы
преобразуются по ” правилу прямоугольника”
аij а 'ij аij
вi в 'i вi
a pj
a pq
вp
a pq
aiq
aiq
aij a pq a pj aiq
a pq
вi a pq в p aiq
a pq
online.mirea.ru

22. Правило прямоугольника.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Правило прямоугольника.
a
b
1
c
d
0
b
a
ad bc
a
online.mirea.ru

23. Свойства преобразований Ж-Г.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Свойства преобразований Ж-Г.
Л 2.1. Преобразования Жордана - Гаусса переводят
исходную систему линейных уравнений в равносильную
ей систему.
Л 2.2. Если в разрешающей строке стоит 0, то
соответствующий ему столбец не изменится при
преобразовании Жордана - Гаусса.
Л 2.3. При преобразовании Жордана - Гаусса число
базисных переменных не уменьшается.
Л 2.4. Если в разрешающем столбце стоит 0, то
соответствующая ему строка расширенной матрицы не
меняется при преобразовании Жордана - Гаусса.
online.mirea.ru

24. Алгоритм Жордана – Гаусса.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
1.
2.
3.
4.
Алгоритм Жордана – Гаусса.
Выберем уравнение, не содержащее базисной
переменной. (Иначе СЛУ базисного вида).
Выберем в нем разрешающий элемент и сделаем шаг
преобразований Жордана - Гаусса.
Преобразования проводим, пока в уравнениях без
базисной переменной можно найти разрешающий
элемент.
Получим два возможных исхода:
а) в каждом уравнении есть базисная переменная
- тогда СЛУ приведена к базисному виду;
б) есть уравнение без базисной переменной, в
котором нельзя выбрать разрешающий элемент:
0 х1 ..... 0 хп в
Если в = 0, то это уравнение можно вычеркнуть из
системы.
Если в 0, то уравнение не имеет решений,
online.mirea.ru
система несовместна.

25. Анализ работы по методу Жордана - Гаусса.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Анализ работы по методу Жордана - Гаусса.
СЛУ
Совместные
(есть решения).
Неопределенные
(бесконечно много
решений).
Несовместные
(нет решений).
Определенные
(одно решение).
online.mirea.ru

26. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема 2
Арифметическое n-мерное
векторное пространство.
Линейная зависимость и
независимость системы векторов.
online.mirea.ru

27. Арифметическое n-мерное векторное пространство.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Арифметическое n-мерное
векторное пространство.
1.
2.
3.
Действия с арифметическими векторами, их свойства.
Арифметическое n-мерное векторное пространство.
Понятие линейной зависимости и линейной
независимости системы векторов. Основные свойства
линейной зависимости.
Векторная запись системы линейных уравнений.
online.mirea.ru

28. Определения

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Определения
• О.5.1 Арифметическим вектором размерности n
называется упорядоченный набор а (а1 ,..., ап ) n
вещественных чисел
.
(ai R, i 1, n)
• О.5.2 Суммой векторов
а (а1 ,..., ап ) и в (в1 ,..., вп )
называется вектор с а в : (а в ,..., а в ).
1
1
п
п
Произведением вектора
называется вектор
a
на число
R
d а : ( а1 ,..., ап ).
online.mirea.ru

29. Т.5.1 Выше перечисленные операции обладают свойствами:

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
Т.5.1 Выше перечисленные операции
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
обладают свойствами:
сложение коммутативно, т.е.
а , в R n
а в в а
сложение ассоциативно, т.е.
существует нулевой вектор , такой, что
( a в ) с a (в с )
а , в , с R n
а R n
а 0 а
а R n
а в о
а R n
1 а а
существует противоположный вектор
умножение унитарно, т.е.
в , такой , что
в а
умножение ассоциативно, т.е.
умножение дистрибутивно относительно сложения векторов,
т.е.
а R n
, R
а, в R n R
( ) a ( a )
(а в) а в
умножение дистрибутивно относительно сложения чисел, т.е.
а R n , R
( ) а а а.
online.mirea.ru

30.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
• О.5.3 Множество V , на котором заданы операции
сложения и умножения на вещественные числа,
обладающие свойствами
(1-8) теоремы 5.1. называется векторным (или линейным)
пространством (над R). Элементы векторного
пространства называют векторами.
• Л.5.2 Для произвольных векторов справедливы равенства:
( 1) а а,
а V
0 a 0,
a V
0 0,
R
online.mirea.ru

31. Определения

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Определения
a1 ,..., ап
• О.5.4 Линейной комбинацией векторов
называется выражение вида
1 а1 2 а2 ..... п ап
n
или в символической форме a , где R (i 1, n)
i 1
i
i
i
Числа i называются коэффициентами линейной
комбинации.
• О.5.5 Линейная комбинация называется тривиальной,
если все коэффициенты в этой комбинации равны 0.
online.mirea.ru

32.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
• О.5.5 Упорядоченный набор векторов называется
системой векторов.
• О.5.6 Система векторов a1 ,..., ап называется линейно
независимой, если нулевой вектор можно представить
в виде линейной комбинации n
i ai 0
векторов этой системы
i 1
единственным образом – лишь в виде тривиальной
комбинации, т.е. ... 0
1
2
n
• О.5.7 Система векторов a1 ,..., ап называется линейно
зависимой , если нулевой вектор можно представить в
виде линейной комбинации n
i ai 0
векторов системы
i 1
не единственным образом, т.е. 0
i
online.mirea.ru

33. Свойства линейной независимости и зависимости

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Свойства линейной независимости и зависимости
С.1 Линейная независимость (зависимость) системы
векторов не меняется при перестановке векторов.
С.2 Любая подсистема линейно независимой системы
сама линейно независима.
С.3 Система, содержащая нулевой вектор, линейно
зависима.
С.4 Система, содержащая два одинаковых вектора,
линейно зависима.
С.5 Если система векторов содержит линейно зависимую
подсистему, то сама система линейно зависима.
С.6 Система векторов линейно зависима, тогда и только
тогда, когда хотя бы один вектор этой системы может быть
представлен в виде линейной комбинации остальных
векторов.
С.7 Если при добавлении к линейно независимой системе
векторов какого-нибудь вектора получается линейно
зависимая система, то добавленный вектор линейно
online.mirea.ru
выражается через остальные векторы новой системы.

34.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
а11 х1 а12 х2 ... а1п хп в1
а х а х ... а х в
21 1
22 2
2п п
2
......................................
аm1 х1 аm 2 х2 ... аmп хп вm
а11
а 21
а 1 ,
:
а m1
а1n
а12
а2 n
а 22
а2
, ...., а n
,
:
:
аm 2
а mn
в1
в2
в .
:
вm
х1 a1 х2 a 2 .... хп a п в
online.mirea.ru

35. Базис и ранг системы векторов

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Базис и ранг системы векторов
1.
2.
3.
4.
Базис системы векторов. Теорема о двух базисах.
Ранг системы векторов, его свойства. Ранг матрицы.
Вычисление ранга и нахождение базиса системы
векторов.
Разложение векторов, не входящих в базис, по базисным
векторам.
online.mirea.ru

36. Определения

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Определения
• О.6.1. Подсистема Т: а i1 ,..., а ik системы векторов
S: а1 ,..., а п называется
системой образующих для
S, если каждый вектор системы S линейно выражается
(представляется в виде линейной комбинации) через
векторы системы Т.
• О.6.2. Базис системы S – это система ее образующих Т,
являющаяся линейно независимой системой.
Теорема о двух базисах
• Т.6.1. Число векторов в любом базисе данной системы
векторов одно и то же.
online.mirea.ru

37. О.6.3.Рангом системы векторов называется число векторов в любом базисе этой системы.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
О.6.3.Рангом системы векторов называется число векторов
в любом базисе этой системы.
Л.5.2. Если к базису Т системы S добавить произвольный
вектор , то полученная система будет линейно зависимой.
• Л.5.3. Если из базиса Т удалить какой-либо вектор, то
полученная система не будет системой образующих.
online.mirea.ru

38. Ранг и его свойства

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Ранг и его свойства
С.1. Ранг системы векторов – это максимальное число
линейно независимых векторов системы.
С.2. Ранг системы векторов - это минимальное число
элементов в системе образующих.
С.3. Ранг системы векторов не меняется при произвольной
перестановке векторов системы.
С.4. Ранг системы векторов не меньше ранга любой ее
подсистемы (свойство монотонности).
С.5. Ранг системы векторов не изменится, если к системе
добавить (или удалить) произвольную линейную
комбинацию векторов системы.
online.mirea.ru

39. О.6.4. Рангом матрицы А мы будем называть ранг системы ее столбцов, рассматриваемых как векторы арифметического пространства.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
О.6.4. Рангом матрицы А мы будем называть ранг системы
ее столбцов, рассматриваемых как векторы арифметического
пространства.
11 12
21 22
A
... ...
m1 m 2
.... 1п
.... 2 п
.... ....
.... mn
а1i
a2i
Ai ... , i 1, n
a mi
rgA rg{ A1 , A2 ,..., An }
T.6.4. Ранг матрицы не меняется при элементарных
преобразованиях.
online.mirea.ru

40. Алгоритм вычисления ранга и нахождения базиса

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Алгоритм вычисления ранга и нахождения
базиса
1.
2.
3.
4.
Составить матрицу, записав векторы системы в виде
столбцов.
Элементарными преобразованиями (Жордана - Гаусса)
привести матрицу к базисному виду.
Определить номера базисных столбцов.
Векторы с соответствующими номерами образуют
базис, а их число равно рангу системы.
online.mirea.ru

41. Матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица. Способы ее нахождения.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема 3
Матрицы. Операции над
матрицами. Обратная
матрица.
Способы ее нахождения.
online.mirea.ru

42. Операции над матрицами.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Операции над матрицами.
1.
2.
3.
4.
Матрицы. Операции над матрицами, их свойства.
Единичная матрица. Обратная матрица. Теорема о
существовании обратной матрицы.
Способы нахождение обратной матрицы.
Матричные уравнения. Их решение.
online.mirea.ru

43. Определения.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Определения.
• О.9.1 Матрицей размерности n x m называется таблица,
состоящая из n строк и m столбцов, элементами которой
являются вещественные числа
а11 ... а1 j .... a1m
... ... ... ... ...
А ai1 .... aij ... aim
... ... ... ... ...
a
...
a
...
a
nj
nm
n1
Элемент матрицы, расположенный на пересечении
i-ой строки и j-го столбца матрицы, обозначается
Множество всех матриц размером n x m будем
M n, m R.
обозначать
.
aij
online.mirea.ru

44. На множестве определены линейные операции: сложение и умножение на число.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
На множестве M n, m R
определены линейные операции: сложение и умножение
на число.
О.9.2 Суммой матриц A aij и B bij называется матрица
С (сij ) M n ,m ( R) , элементы которой вычисляются
по правилу
c a . в
ij
ij
ij
О.9.3 Произведением матрицы A aij на число
называется матрица А ( а ) M ( R )
ij
n, m
.
online.mirea.ru

45.

Свойства операции сложения матриц:
С.1 Коммутативность
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
А, В М n ,т ( R)
С.2 Ассоциативность
А, В, С М n ,т ( R)
С.3 Существует нулевая матрица
С.4
A В В А
( A В) С А ( В С )
:
(0) А М n ,т ( R)
A А
А М n , т ( R ) существует противоположная матрица
A aij
такая, что
A A
Свойства операции умножения на число:
С.5 Унитарность А М n ,т ( R)
1 A А
С.6 Ассоциативность
А М n ,т ( R), , R
( A) ( ) А
С.7 Дистрибутивность относительно сложения матриц
А, В М n ,т ( R), R
( А В ) А В
С.8 Дистрибутивность относительно сложения чисел
А, М n , т ( R), , R
( ) А А А online.mirea.ru

46.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
О.9.4 Произведением матриц A aij и B bij
называется матрица
С (сij ) M k , n ( R) размерности k x n, в i-ой строке, j- ом столбце которой
расположен элемент , вычисляемый по правилу:
сij ai1 в1 j ai 2 в2 j .... aim вmj
а11 a12
... ...
B ai1 ai 2
A
k m
m n
... ...
a
k1 a k 2
c11
...
C ci1
...
c
k1
... .... a1m
... ... ...
... ... aim
... ... ...
... ... akm
...
c1 j
....
...
...
...
....
cij
...
...
...
...
...
ckj
...
c1n
...
cin
...
ckn
b11
b21
...
...
b
m1
... b1 j .... b1n
... b2 j ... b2 n
.... ... ... ...
... ... ... ...
... bmj ... bmn
=
c C
ij
k n
online.mirea.ru

47.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
О.9.5 Матрица называется квадратной порядка n, если число ее
строк равно числу ее столбцов и равно n.
M n . R
Множество квадратных матриц обозначается
О.9.6 Квадратная матрица E порядка n называется единичной, если
для любой матрицы A порядка n выполняется
.
E A A E A.
1, если i j
eij
0, если i j
или
1 0 ... 0
Е 0 1 ... 0
0 0 ... 1
Л.9.1 Ранг единичной матрицы равен её порядку.
online.mirea.ru

48.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
О.9.7 Матрица В М п (R) называется обратной к
матрице А М (R) , если выполняются равенства
п
A B B A E
Обратная матрица к матрице А обозначается
A
1
1
Т.9.2 Для квадратной матрицы А обратная матрица A
существует тогда и только тогда, когда ранг матрицы А
равен ее порядку.
online.mirea.ru

49. Алгоритм нахождения обратной матрицы:

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
• Расширить матрицу А справа единичной матрицей того
же порядка (A|E).
• Элементарными преобразованиями строк матрицу (A|E)
преобразовать к виду ( Базисного|S).
вида
• Переменой строк матрицу ( Базисного |E) преобразовать к виду
вида
(Е|В).
• Матрица В равна матрице A 1.
online.mirea.ru

50. Определители, их свойства и вычисление.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема 4
Определители, их свойства и
вычисление.
online.mirea.ru

51. Определители, их свойства и вычисление

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Определители, их свойства и
вычисление
1.
2.
3.
4.
Определители 2-го и 3-го порядков.
Понятие минора и алгебраического дополнения.
Понятие определителя n-го порядка, его свойства и
вычисление.
Нахождение обратной матрицы с помощью
алгебраических дополнений.
online.mirea.ru

52. Определения.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Определения.
• О.11.1 Определителем
матрицы 2-го порядка
называется число вычисляемое по правилу
det A
a11
a12
a21
a22
a11 a22 a21 a12
• О.11.2 Определителем матрицы 3 -го порядка
называется число определяемое по правилу
a11
a12
a13
det A a21
a22
a23
a31
a32
a33
(a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 )
(a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33 ).
online.mirea.ru

53.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
• О.11.3 Минором M ij , дополнительным к элементу
aij
называется определитель матрицы (n-1)-го порядка,
полученной из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го
столбца.
a
... a
a
... a
11
...
M ij
...
1 j 1
1 j 1
...
...
1n
...
...
ai 11
... ai 1 j 1
a i 1 j 1
... ai 1n
ai 11
... ai 1 j 1
ai 1 j 1
... ai 1n i
... ...
...
...
...
...
an1
...
anj 1
anj 1
...
ann
j
• О.11.4 Алгебраическим дополнением
Aij к элементу i aj ij
называется дополнительный минор, взятый со знаком ( 1)
:
Аij ( 1) i j M ij
online.mirea.ru

54.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
• О.11.5 Определителем матрицы порядка n
называется число, определенное по правилу:
det A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 .... ain Ain
a1 j A1 j a2 j A2 j .... anj Anj
а11 ... a1 j
.... a1n
...
...
...
...
det A ai1 ... aij
... ... ...
...
...
...
...
an1 ... anj
...
ann
...
online.mirea.ru

55. Свойства определителей

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Свойства определителей
С.1 Определитель транспонированной матрицы равен
определителю исходной.
С.2 Если матрица содержит нулевую строку, то определитель
равен 0.
С.3 При перестановке двух соседних строк определитель
меняет знак на противоположный.
С.4 Если матрица содержит две одинаковые строки, то ее
определитель равен 0.
С.5 Если все элементы строки матрицы умножить на число k, то
и определитель умножится на k.
С.6 Если в матрице все элементы некоторой строки
представляют собой суммы двух чисел, то определитель
матрицы может быть представлен как сумма двух
определителей, соответствующая строка которых содержит 1 и
2 слагаемые, остальные строки, как в исходном определителе.
С.7 Если к строке матрицы прибавить другую строку матрицы
умноженную на число, то определитель не изменится.online.mirea.ru

56. Алгоритм вычисления определителя n-го порядка с помощью преобразований Жордана – Гаусса.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Алгоритм вычисления определителя n-го
порядка с помощью преобразований Жордана –
Гаусса.
1. Вынесем из i-ой строки множительaij за знак
определителя.
2. Сделаем преобразование Ж-Г с разрешающим
элементом 1, полученным в i-ой строке, j-ом столбце.
3. Исходный определитель равен произведению aij на
алгебраическое дополнение A/ преобразованного
ij
определителя.
4. Повторим п.1-3 для преобразованного определителя,
пока его порядок не станет равен 2 или не появится
нулевая строка.
online.mirea.ru

57.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
• Л.12.1 Сумма произведений всех элементов строки
(столбца) квадратной матрицы на алгебраические
дополнения к соответствующим элементам другой строки
(другого столбца) равна нулю.
det A, если j i
аi1 Aj1 аi 2 Aj 2 ... аin Ajn
0, если j i
или
det A, если j i
а1i A1 j а2i A2 j ... аni Anj
0, если j i
online.mirea.ru

58. Алгоритм вычисления с помощью алгебраических дополнений.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Алгоритм вычисления A 1с помощью алгебраических
дополнений.
Вычислим определитель
исходной матрицы A aij :
1
если det A 0 , то A для А не
существует;
если det A 0 , то
Построим матрицу A/ , заменив
каждый элемент матрицы А его
алгебраическим дополнением.
Транспонируя матрицу A/ ,
получим матрицу A/ T
Умножим матрицуA/ T на число
1
, тем самым получим
det A
матрицу, обратную к А.
det A
a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2 n
...
...
...
an1
an 2 ... ann
А11 ...
А12 ...
/Т
А
:
:
А1п ...
A 1
1
А/ Т
det A
...
А11 ... А1n
А ... А2 n
А/ 21
:
:
:
Ап1
Аn1 ... Аnп
Ап 2
:
Аnп
А11 ... Ап1
1 А12 ... Ап 2
:
:
det A :
online.mirea.ru
А1п ... Аnп

59. Правило Крамера и матричный способ решения системы линейных уравнений.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема 5
Правило Крамера и матричный
способ решения системы
линейных уравнений.
online.mirea.ru

60. Различные способы решения квадратных СЛУ

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Различные способы решения
квадратных СЛУ
1.
2.
Правило Крамера решения квадратных систем линейных
уравнений.
Матричная форма записи системы линейных уравнений
и матричный способ решения системы линейных
уравнений.
online.mirea.ru

61.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Правило Крамера решения квадратных СЛУ
а11 х1 а12 х2 .... а1n xn в1
а х а х .... а x в
21 1 22 2
2n n
2
......................................
аn1 х1 аn 2 х2 .... аnn xn вn
Найдем определитель матрицы системы:
A
a11
a12
... a1n
a21
a22 ... a2 n
...
an1
an 2 ... ann
online.mirea.ru

62.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Пусть ΔJ – определитель матрицы, полученной из матрицы
А заменой j–го столбца столбцом свободных членов:
1
b1
a12
... a1n
a11
b1
... a1n
b2
a22
... a2 n
a21 b2
... a2 n
...
bn
an 2 ... ann
2
...
an1 bn
...
... ann
Тогда, если 0, то СЛУ имеет единственное решение,
которое определяется по формулам:
xj
j
( j 1,2...n)
online.mirea.ru

63. Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ решения.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Матричная форма записи СЛУ.
Матричный способ решения.
а11 х1 а12 х2 .... а1n xn в1
а х а х .... а x в
21 1 22 2
2n n
2
......................................
аn1 х1 аn 2 х2 .... аnn xn вn
11 12 .... 1п
21 22 .... 2 п
A
... ... .... ....
n n
n1 n 2 .... nn
х1
x2
Х ,
...n 1
хn
A X B
b1
b1
В
...n 1
bn
online.mirea.ru

64.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тогда решением матричного
матрица-столбец Х:
уравнения
будет
1
X A B
Проверка:
1
A A B E B B
online.mirea.ru

65. Темы раздела аналитическая геометрия

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Темы раздела аналитическая
геометрия
Тема 6. Элементы векторной алгебры.
Тема 7. Простейшие задачи
аналитической
геометрии.
Тема 8. Уравнения прямой на плоскости и в
пространстве.
Тема 9. Уравнения плоскости в пространстве.
Тема 10. Взаимное расположение прямых и
плоскостей.
online.mirea.ru

66. Элементы векторной алгебры.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема 6
Элементы векторной
алгебры.
online.mirea.ru

67. Элементы векторной алгебры.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Элементы векторной алгебры.
Линейные операции над геометрическими
векторами.
2. Система координат на плоскости и в
пространстве. Координаты точки и
вектора. Условие коллинеарности двух векторов,
компланарности трех векторов.
3. Декартова система координат. Скалярное
произведение и его свойства. Скалярное
произведение в координатах. Угол между
векторами. Длина отрезка.
1.
online.mirea.ru

68. Простейшие задачи аналитической геометрии.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема 7
Простейшие задачи
аналитической геометрии.
online.mirea.ru

69. Простейшие задачи аналитической геометрии в декартовой системе координат

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Простейшие задачи аналитической
геометрии в декартовой системе координат
1. Координаты вектора через координаты его концов.
2. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении.
3. Скалярное произведение в координатах. Угол
между векторами.
4. Длина отрезка.
5. Условия коллинеарности и перпендикулярности 2
векторов, компланарности 3 векторов.
online.mirea.ru

70. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема 8
Уравнения прямой на
плоскости и в
пространстве.
online.mirea.ru

71. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Уравнения прямой на плоскости и в
пространстве.
1.
2.
3.
4.
5.
Уравнение прямой по точке и направляющему
вектору (на плоскости и в пространстве).
Уравнение прямой по двум точкам.
Уравнение прямой на плоскости по точке и
нормальному вектору.
Общее уравнение прямой на плоскости. Задание
полуплоскости.
Взаимное расположение прямых на плоскости.
online.mirea.ru

72.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Уравнение прямой по точке и направляющему
вектору
Пусть прямая проходит через точку
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
параллельно вектору
s (m, n, p)
Этот вектор называется направляющим вектором
прямой.
online.mirea.ru

73.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
M ( x, y, z )
M1M ( x x1 , y y1 , z z1 )
Выберем на прямой произвольную точку
и рассмотрим вектор
Уравнения прямой могут быть получены из условия
коллинеарности этого вектора и направляющего вектора
прямой:
M1M || s
x x1 y y1 z z1
m
n
p
online.mirea.ru

74.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Уравнения прямой по двум точкам
Пусть прямая проходит через две точки
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y2 , z2 )
Выберем на прямой произвольную точку
M ( x, y, z )
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1
online.mirea.ru

75. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Уравнение прямой на плоскости по точке и
нормальному вектору.
Выберем на плоскости произвольную точку M ( x, y )
Тогда MM ( x x , y y ) и
MM 0 n
0
0
0
Тогда скалярное произведение этих векторов должно быть
равно нулю:
(MM0 , n) 0
Распишем его в координатах:
(MM 0 , n) A( x x0 ) B( y y0 ) 0
online.mirea.ru

76.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
A( x x0 ) B( y y0 ) 0
online.mirea.ru

77. Уравнения плоскости в пространстве.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема 9
Уравнения плоскости в
пространстве.
online.mirea.ru

78. Уравнения плоскости в пространстве.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Уравнения плоскости в пространстве.
Уравнение плоскости по точке и двум
направляющим векторам.
2. Уравнение плоскости по 3-м точкам.
3. Уравнение плоскости по точке и нормальному
вектору.
4. Общее уравнение плоскости. Линейное
неравенство с тремя переменными.
1.
online.mirea.ru

79.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Уравнение плоскости по точке и двум
направляющим векторам
Пусть плоскость
проходит через точку
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
параллельно векторам p ( p1 , p2 , p3 ) и s ( s , s , s )
1 2
3
Возьмем точку
и рассмотрим вектор
M ( x, yна
, zплоскости
)
M1M ( x x1 , y y1 , z z1 )
Уравнение плоскости может быть получено из условия
компланарности этого вектора и двух направляющих векторов
плоскости:
M1 M , p ,
s
online.mirea.ru

80.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
x x0
y y0
z z0
p1
p2
p3
s1
s2
s3
0
online.mirea.ru

81.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Уравнение плоскости по трем точкам
Пусть задана плоскость, проходящая через три точки:
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) M 2 ( x2 , y2 , z2 ) M 3 ( x3 , y3 , z3 )
Тогда уравнение этой плоскости можно записать в виде
равенства нулю определителя:
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0
x3 x1 y3 y1 z3 z1
online.mirea.ru

82.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Уравнение плоскости по точке и
вектору.
нормальному
n
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
P
online.mirea.ru

83.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Пусть плоскость Р, проходит через заданную точку
и перпендикулярна вектору
n ( A, B, C )
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
Этот вектор называется нормальным вектором плоскости
Р.
M ( x, y, z )
Выберем на плоскости произвольную точку
Тогда
MM ( x x , y y , z z )
0
и
0
MM 0 n
0
0
Тогда скалярное произведение этих векторов
должно быть равно нулю:
(MM0 , n) 0
Распишем его в координатах:
(MM0 , n) A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
online.mirea.ru

84.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
online.mirea.ru

85.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Общее уравнение плоскости
Раскроем скобки в предыдущем уравнении:
Ax Ax0 By By0 Cz Cz 0 0
Обозначим: Ax By Cz D
0
0
0
Ax By Cz D 0
online.mirea.ru

86. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Тема 10
Взаимное расположение
прямых и плоскостей.
online.mirea.ru

87. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Взаимное расположение прямых и
плоскостей.
1. Взаимное расположение прямых в пространстве.
2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
3. Взаимное расположение плоскостей
пространства.
4. Различные уравнения прямой и плоскости.
online.mirea.ru

88.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Пусть заданы две прямые
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
Острый угол между этими прямыми находится из скалярного
произведения векторов
s1 (m1 , n1 , p1 ) и
cos
s2 (m2 , n2 , p2 )
m1m2 n1n2 p1 p2
m n p
2
1
2
1
2
1
m n p
2
2
2
2
2
2 online.mirea.ru

89.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
m1 n1 p1
m2 n2 p2
m1m2 n1n2 p1 p2
online.mirea.ru

90.

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Взаимное расположение прямой и плоскости
x x1 y y1 z z1
Пусть прямая l задана уравнением:
m
n
p
И пусть плоскость
:
Ax By Cz D 0
Тогда направляющий вектор прямой
s (m, n, p)
нормальный вектор плоскости
n ( A, B, C )
точка принадлежащая прямой
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
online.mirea.ru

91. Возможные случаи ориентации прямой и плоскости:

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Возможные случаи ориентации прямой и
плоскости:
Если прямая параллельна плоскости, то
(n, s ) Am Bn Cp 0
s n
Если прямая лежит в плоскости, то
s n
(n, s ) Am Bn Cp 0
Ax0 By0 Cz 0 D 0
и M
0
Прямая пересекает плоскость в одной точке, тогда
(n, s ) Am Bn Cp 0
Если прямая перпендикулярна плоскости, то
A B C
m n p
s || n
online.mirea.ru

92. Календарный план

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Календарный план
• Учебный семестр длится до 7 июля, затем
сессия – экзамен
• Для допуска к сессии необходимо выполнить 4
задания и набрать не менее 40 баллов
№
п/п
Тема дисциплины
Тип
Мин.
балл
Макс.
Период
балл проведения (даты)
1
Тема 1-2
Тест 1
7
10
20.03.16-30.04.16
2
Тема 3-5
Тест 2
7
10
20. 03.16-30.04.16
3
4
Тема 6-7
Тема 8-10
7
7
10
10
20.04.16-30.05.16
20.04.16-30.05.16
5
Тема 1-10
Тест 3
Тест 4
Задание
(итоговое)
12
25
До 25. 06 2016
6
Активность
Сумма баллов
0
40
5
70
online.mirea.ru

93. Желаю удачи!

Московский государственный университет информационных
технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Желаю удачи!
online.mirea.ru