Готовимся к зачету

1.

ГОТОВИМСЯ К ЗАЧЕТУ.
МОБУ « Новочеркасская СОШ
Булдакова Л.П

2. Готовимся к ЗАЧЕТУ( билет1)

1.Дайте определение отрезка, луча, угла.
Определение развернутого угла.
Обозначение лучей и углов.
2. В прямоугольном треугольнике DEF
катет DF=12 см., ∟E=300 . Найдите
гипотенузу DE.

3. 3. Докажите признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

4.

1.Докажите, что угол 1 равен углу 2.
Угол ВАС = углу 1 – вертикальные;
Угол ВСА = углу 2 – вертикальные;
Угол ВАС = углу ВСА так как
треугольник АВС равнобедренный,
значит угол 1= углу 2

5.

Билет №2
1.Дайте определение равных фигур.
Определение середины отрезка и
биссектрисы угла.
2.Докажите признак равенства треугольников
по стороне и двум прилежащим углам.
3.Угол при основании равнобедренного
треугольника равен 370 . Найдите угол при
вершине.
4.На прямой отмечены точки A, B, C и D ,
AB=8 см., BD=6 см., BC=3 см. Найдите AD.

6.

1.Дайте определение равных фигур. Определение
середины отрезка и биссектрисы угла.

7.

2.Докажите признак равенства треугольников по стороне и
двум прилежащим углам.

8.

3.Угол при основании равнобедренного
треугольника равен 370 . Найдите угол
при вершине.
В
Дано
АВС – равнобедренный
АВ = ВС
Угол А = 37
Найти угол В
РЕШЕНИЕ:
1) т.к. АВС – равнобедренный,
2)<А =<В
3) < В = 180 – ( 37+37 ) = 106
А
С

9.

4.На прямой отмечены точки A, B, C и D ,
AB=8 см., BD=6 см., BC=3 см. Найдите AD.
А
В
АД = 8+6 = 14
С
Д

10. Билет 3

1. Дайте определение смежных углов.
Сформулируйте свойство смежных углов.
.Смежные углы — это углы, у которых одна сторона —
общая, а другие стороны лежат на одной прямой.
Сумма смежных углов равна 180º
.

11. Вопрос 2 Докажите признак равенства треугольников по трем сторонам.

1.Вопрос 2 Докажите признак равенства
треугольников по трем сторонам.
• Если три стороны одного треугольника равны
соответственно трем сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.

12.

3)один из углов, образованных при пересечении двух
прямых, равен 700. Найти остальные три угла.
70; 110
4)В треугольнике ABC ∟A=800 , ∟B=400. Биссектриса угла A
пересекает сторону BC в точке F. Найдите угол ACF.
(Как мы помним, биссектриса делит угол пополам,
соответственно углы BAF и FАС будут равны 40 градусам.
Рассмотрим треугольник BAF:
Угол В равен 40 градусов и угол А равен 40 градусов, найдём угол F:
180 - (40 + 40) = 100 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник FАС:
Углы ВFА и АFС смежные, находим угол АFС:
180 - 100 = 80.
Теперь из треугольника FАС находим угол С:
180 - (80 + 40) = 60 градусов.
Этот же угол и АСF.

13. Билет 4

• 1)Дайте определение вертикальных углов.
Сформулируйте свойство вертикальных углов
• Вертикальные углы — это пары углов с
общей вершиной, которые образованы при
пересечении двух прямых так, что стороны
одного угла являются продолжением сторон
другого.
• Вертикальные углы равны. При пересечении
двух прямых образуются две пары
вертикальных углов

14. 2. Докажите теорему о сумме углов треугольника

15. 3) Доказать равенство треугольников ADM и AFE

16. 4) Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, в 3 раза больше

другого. Чему равны
эти углы?
Пусть меньший из углов равен х,
тогда другой равен 3х Значит
3х + х = 4х = 180°, следовательно, х =
45°. Ответ: 45° и 135°

17. Билет 5

• 1) Дайте определение острого, прямого и
тупого угла
• 2) Докажите свойство биссектрисы
равнобедренного треугольника

18.

• Докажите равенство треугольников COD и AOD.
градусные меры двух внешних углов треугольника равны 1390 и 870.
Найдите третий внешний угол треугольника

19.

• Т.к. градусные меры внешних углов Δ=
139°и 87°. то смежные с ними
внутренние углы Δ будут 180°-139°=41°
и 180°-87°=93°
сумма углов в любом Δ=180° ⇒ третий угол
в Δ=180°-41°-93°=46°
тогда смежный внешний угол будет 180°46°=134°

20. Билет №6

• 1. Дайте определение равнобедренного
треугольника. Сформулируйте свойства
равнобедренного треугольника.
• 2. Докажите свойства смежных и вертикальных
углов.
• 3. Один из острых углов прямоугольного
треугольника 370. Найти второй острый угол.
• 4. AC II DB, CO=OD. Доказать, что
треугольники СОА и DOB равны.

21. 1. Дайте определение равнобедренного треугольника. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника.

• Равнобедренный треугольник треугольник, у которого две стороны
равны. Эти равные стороны называются
боковыми, а третья - основание. В
равнобедренном треугольнике: Боковые
стороны равны; Углы при основании
равны Высота, опущенная к основанию,
является также и биссектрисой и
медианой этого

22.

23.

• 3. Один из острых углов прямоугольного
треугольника 370. Найти второй острый
угол.
• Два угла в прямоугольном треугольнике
90 градусов, значит второй угол 90-37
=53
• Ответ 53 градуса

24. 4. AC II DB, CO=OD. Доказать, что треугольники СОА и DOB равны.

• Треугольники СОА и ДОВ
• равны:1) ОД = ОС
2) <ОДВ = < АСД вн накрест леж;
3) < АОС = < ДОВ вертикальные
• ( второй признак)

25. БИЛЕТ№ 7

• 1. Дайте определение медианы, биссектрисы и
высоты треугольника.
• 2. Сформулируйте признаки параллельных
прямых. Доказать один по выбору.
• 3. Периметр равнобедренного треугольника 19
см, а основание – 7 см. Найти боковую сторону
треугольника.
• 4. В прямоугольном треугольнике острый угол
равен 600 , а биссектриса этого угла – 8 см.
Найдите длину катета, лежащего против этого
угла.

26. ВОПРОС 1

• 1. Дайте определение медианы, биссектрисы и
высоты треугольника
• Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединой противоположной
стороны.
• Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы
угла треугольника( Луч делящий угол треугольника
пополам).
• Высота треугольника – это перпендикуляр,
опущенный из вершины угла треугольника на
противоположную сторону треугольника.

27.

ВОПРОС 2
• 2. Сформулируйте признаки параллельных
прямых. Доказать один по выбору.
• ТЕОРЕМА1:
• ТЕОРЕМА 2

28.

Докажем признак №2
Текст слайда

29.

ТЕОРЕМА – третий признак параллельности прямых

30.

Вопрос 3
• . Периметр равнобедренного треугольника 19
см, а основание – 7 см. Найти боковую сторону
треугольника.
Треугольник равнобедренный, то две его
стороны равны
Значит, Боковая сторона = (19 - 7):2=
12:2=6.
Ответ: 6 см.

31.

Вопрос 4
• 4. В прямоугольном треугольнике острый угол
равен 600 , а биссектриса этого угла – 8 см.
Найдите длину катета, лежащего против этого
угла.
В
К
С
ДАНО:
< А = 60°, АК = 8см
Найти :
ВС
Решение:
Δ АСК прямоуг, КС против 30 градусов, равна
Половине АК; КС = 4см
Δ ВАК равнобедренный, ВК = АК = 8 см;
ВС = 12 см
А

32.

.
Билет 8
Вопрос 1
1. Дайте определение внешнего угла треугольника.
Сформулируйте свойство внешнего угла треугольника.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким – нибудь
углом треугольника
Внешний угол треугольника равен сумме острых углов не смежных с ним
.
ВОПРОС 2. Докажите,
что при пересечении двух параллельных
прямых секущей накрест лежащие углы равны.

33.

34.

3. Один из углов, образованных при пересечении двух
прямых, на 500 меньше другого. Найти эти углы.

35.

4 . Найти углы треугольника ABC.
М
ΔАМС
<МАС = < МСА = (180-140) : 2 = 20°
< ВМС = 180 – 140 = 40°
ВМ = АМ значит < МВА и
< МАВ = (180-40) :2 =70
< С = 20°, < В = 70°; < А = 90°

36.

БИЛЕТ 9
1. Дайте определение остроугольного, прямоугольного,
тупоугольного треугольника.
Треугольник у которого все углы острые –
остроугольный;
Если есть прямой угол – треугольник
прямоугольный;
Если есть тупой угол – треугольник
тупоугольный

37.

2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых
секущей а) соответственные углы равны, б) сумма
односторонних равна 180 0.

38.

3. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 210. Найдите
угол между биссектрисой и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Угол А = 21 °,
угол В = 90 -21 = 69 °
<АСД = < ВСД = 45°
< НСВ = 90-69 = 21°
< ДСН = 45 -21 = 24 °

39.

4. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы,
проведенные к боковым сторонам, равны.

40.

БИЛЕТ 10
1) Дайте определение параллельных прямых и параллельных отрезков
)Две прямые называются параллельными , если они не пересекаются.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных
прямых.
2)Докажите теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника
( прямую или обратную).

41.

42.

3. Найти углы треугольника АВС
Угол АВС = 136 – вертикальные;
Угол С = 180 -136 -23 = 21°

43.

4. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы,
проведенные к боковым сторонам, равны.

44. Билет 11

Билет 11
1)Дайте определение окружности, центра, радиуса, хорды, диаметра и
дуги окружности
Окружность - это замкнутая кривая линия, все точки которой
находятся на равном расстоянии от данной точки плоскости,
называемой центром окружности.
°
Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью. Расстояние
от любой точки круга до центра круга не превышает расстояния от
центра круга до любой точки на окружности.
Радиус - отрезок прямой линии, соединяющий центр с любой точкой
окружности.
Диаметр – отрезок прямой линии, соединяющии две точки окружности
и проходящий через центр. Можно так - это наибольшая из хорд
окружности.
Дуга - часть окружности или другой кривой линии, заключенная между
двумя точками.
Хорда - прямая, соединяющая две точки кривой линии.

45. 2) . Докажите свойство углов при основании равнобедренного треугольника

°

46.

.∟ABC=∟DCB=900, АС=BD.
Доказать, что AB=CD.
°

47.

4)Высоты остроугольного треугольника NPT, проведенные
из вершин N и P, пересекаются в точке K, ∟T = 560.
Найдите угол NKP.
Пусть высота из N будет NM,
высота из Р – РН
Высоты треугольника
пересекаются в одной точке.
В прямоугольных ∆ РНТ и
∆ РКМ угол НРТ - общий.
Сумма острых углов треугольника
90°.
Поэтому ∠РКМ=∠РТN=56°
Искомый угол NKPсмежный углу
РКМ. В сумме они составляют
развёрнутый угол=180°.
Угол NKP=180°-56°=124°

48. Билет 12 1) Дайте определение параллельных прямых и параллельных отрезков. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

• Параллельные прямые — это две
непересекающиеся прямые, лежащие в одной
плоскости. Параллельные прямые записываются
через знак параллельности «||».
• Аксиома параллельных прямых. Через данную
точку, не лежащую на данной прямой, проходит
только одна прямая, параллельная данной.
• Если при пересечении двух прямых секущей:
• накрест лежащие углы равны, или соответственные
углы равны, или сумма односторонних углов равна
180°, то прямые параллельны
• Если две параллельные прямые пересечены
секущей, то:
• накрест лежащие углы равны; соответственные
углы равны; сумма односторонних углов равна 180°.

49. 2) Докажите теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника ( прямую или обратную). Следствия из теоремы

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС.
АD АВ, т.к. по построению АD = АС, а по условию АС
АВ, значит, точка D лежит между точками А и В.
Следовательно, 1 является частью С, т.е. С 1.
Угол 2 внешний угол DBC, поэтому 2 В. АDС равнобедренный с основанием DC, т.к. по
построению АD = АС, следовательно, 1 = 2 (углы при
основании).
Итак, С 1, 1 = 2, значит, С 2, при этом 2 В,
следовательно, С В.

50.

• Предположим, что это не так. Тогда возможны два варианта:
1. либо АВ = АС, тогда АВС - равнобедренный с
основанием ВС, значит, С = В (как углы при основании), что
противоречит условию: С В.
2. либо АВ АС, тогда С В, т.к. против большей
стороны лежит больший угол (смотри 1 часть
доказательства), что противоречит условию: С В.
• Значит, наше предположение неверно, следовательно, АВ
АС. Что и требовалось доказать.

51. Следствие

1)В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Если два угла треугольника равны, то
треугольник равнобедренный (признак равнобедренного
треугольника).

52.

• .3) Внешний угол равнобедренного треугольника
равен 640. Найдите углы треугольника.
• если внешний угол при вершине равен 64
градуса.
1)180-64=116(один угол)
2)180-116=64(сумма двух углов)
3)64:2=32
Ответ: Два угла равны 32 градусов и один
равен 116градуса.

53. ОА=ОС, угол 1 равен углу 2. Доказать, что АВ=ВС.  

ОА=ОС, угол 1 равен углу 2. Доказать, что
АВ=ВС.

54. Билет №13

• 1. Дайте определение расстояния от точки до
прямой. Наклонная. Определение расстояния между
параллельными прямыми.
• Расстояние от точки до прямой — это длина
перпендикуляра, опущенного из данной точки
на данную прямую.
Расстоянием между параллельными прямыми
называется расстояние от какой-нибудь
точки одной прямой до другой прямой.
Поэтому, чтобы найти расстояние между
параллельными прямыми, надо:
1) выбрать на одной из параллельных прямых
точку;
2) опустить из выбранной точки к другой
прямой перпендикуляр;
3) найти длину этого перпендикуляра.

55.

• 2. Докажите, что каждая сторона треугольника
меньше суммы двух других. Что такое неравенство
треугольника.
• сумма углов треугольника равно 180
градусов. а если бы каждая сторона
треугольника была бы больше суммы
двух других сторон, то сумма углов
была бы больше 180, что невозможно.
следовательно - каждая сторона
треугольника меньше суммы двух
других сторон

56.

• 3. Углы FDB и CBD равны, углы FBD и CDB равны.
Доказать, что равны углы F и C.
решение:
I. Рассмотрим треугольник CBD и
треугольник FDB.
BD – общая
Угол FDB = углу CBD(по условию)
Угол FBD = углу CDB(по условию),
следовательно треугольник CBD =
треугольнику FDB(II признак равенства),
следовательно угол F = углу
C(соответственные элементы), ЧТД.

57.

• 4. Доказать, что в равнобедренном треугольнике
медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

58. Билет №14

• 1) Сформулируйте признаки равенства
прямоугольных треугольников

59. 2)Докажите свойство внешнего угла треугольника.

60.

• Доказать, что прямые a и b параллельны

61.

• 4) . В прямоугольном треугольнике KPE ∟P=900, ∟K=600. На
катете PE отметили точку M такую, что ∟KMP=600.
Найдите PM , если EM = 16 см.
• Рассмотрим треугольник КМР:
• ∟ РКМ=90- ∟ КМР=90-60=30
• 2. ∟ РКЕ= ∟ РКМ+ ∟ МКЕ ∟ МКЕ= ∟ РКЕ- ∟ МКЕ=9030=60= ∟ РКМ,значит КМ-биссектриса угла РКЕ
• 3. ∟ КЕР=90- ∟ РКЕ=90-60=30
• ∟ МКЕ= ∟ КЕМ, значит треугольник КЕМравнобедренный, отсюда КМ=МЕ=16
4.Рассмотрим треугольник КМР. т.к. в прямоугольном
треугольнике катет, лежащий против угла в 30
градусов равен половине гипотенузы, то РМ=1/2КМ
РМ=1/2*16=8
• Ответ:8см

62. Билет 15

• 1). Дайте определение секущей? Назовите
пары углов, которые образуются при
пересечении двух прямых секущей.
• Секущая - прямая по отношению к двум
прямым, которая пересекает их в двух точках.
При пересечении двух прямых секущей
образуются накрест лежащие, односторонние
и соответственные углы. Каждых видов
углов по 4 пары.

63.

• 2)Докажите свойство катета прямоугольного
треугольника, лежащего против угла в 300.
Сформулировать обратное утверждение

64.

• Луч BD проходит между сторонами угла ABC . Найдите
угол DBC, если ∟ABC = 630, ∟ABD = 510.
• дано:
угол ABC,
луч BD проходит между сторон ABC,
угол ABC = 63 градус,
угол ABD = 51 градус.
Найти градусную меру угла DBC — ?
Решение:
Рассмотрим угол АВС.
Угол АВС состоит из углов АВD и DВС, то есть угол АВС = угол
АВD + угол DВС.
Тогда угол DВС = угол АВС - угол АВD;
угол DВС = 63 градусов - 51 градус;
угол DВС = 12 градусов.
Ответ: угол DВС = 12 градусов.

65.

• 4.В треугольнике АВС (АВ=ВС) на сторонах АВ
и ВС отложены равные отрезки АМ и СN
соответственно. Докажите, что AN=СМ.
• Угол М равен углу N и угол А равен углу С
точка пересечения будет О пусть
угол AOM равен углу CON
Следует что AN=CM