كتاب رياضيات و كاربرد آن در مديريت

1. كتاب رياضيات و كاربرد آن در مديريت

‫كتاب‬
‫رياضيات و كاربرد آن در‬
‫مديريت‬
‫رشته هاي حسابداري و مديريت‬

2. مؤلف: ليدا فرخي

‫مؤلف‪ :‬ليدا فرخي‬
‫تهيه ي پاور پوينت‪ :‬اردوان ميرزايي‬
‫تعداد واحد ‪3 :‬‬

3. اهداف درس

‫اهداف درس‬
‫توانايي حل مسئله‬
‫تقويت تفكر رياضي‬
‫آشنايي با‪ :‬بردارها‬
‫ماتريس و دترمينان‬
‫دستگاه معادالت خطي و توابع خطي‬
‫توابع چند متغيره و معادالت ديفرانسيل‬
‫انتگرال‬

4. فهرست مطالب

‫فهرست مطالب‬
‫‪ ‬‬
‫فصل اول‪ :‬بردارها‬
‫‪ ‬‬
‫فصل دوم‪:‬ماتريس و دترمينان‬
‫‪ ‬‬
‫فصل سوم‪ :‬دستگاه معادالت خطي و توابع خطي‬
‫‪ ‬‬
‫فصل چهارم‪ :‬توابع چند متغيره‬
‫‪ ‬‬
‫فصل پنجم‪:‬معادالت ديفرانسيل‬
‫‪ ‬‬
‫فصل ششم‪ :‬انتگرال‬

5. فصل اول: بردارها

‫فصل اول‪ :‬بردارها‬
‫‪ ‬‬
‫بردارها در صفحه‬
‫‪ ‬‬
‫ضرب عددي دو بردار‬
‫‪ ‬‬
‫بردارها در فضاي سه بعدي‬
‫‪ ‬‬
‫ضرب برداري بردارها‬
‫‪ ‬‬
‫بردارها در فضاي‪ n‬بعد‬

6. فصل دوم:ماتريس و دترمينان

‫فصل دوم‪:‬ماتريس و دترمينان‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫ماتريس‬
‫دترمينان‬
‫وارون ماتريس‬

7. فصل سوم: دستگاه معادلات خطي و توابع خطي

‫فصل سوم‪ :‬دستگاه معادالت خطي و توابع خطي‬
‫‪ ‬‬
‫دستگاه معادالت‬
‫‪ ‬‬
‫استقالل و وابستگي خطي‬
‫‪ ‬‬
‫رتبه ي يك ماتريس‬
‫‪ ‬‬
‫توابع خطي‬

8. فصل چهارم: توابع چند متغيره

‫فصل چهارم‪ :‬توابع چند متغيره‬
‫‪ ‬‬
‫توابع چند متغيره‬
‫‪ ‬‬
‫حد و پيوستگي توابع چند متغيره‬
‫‪ ‬‬
‫مشتق هاي جزيي‬
‫‪ ‬‬
‫ديفرانسيل كل و مشتقگيري ضمني‬
‫‪ ‬‬
‫ماكسيمم و مينيمم توابع دو متغيره‬
‫‪ ‬‬
‫ماكسيمم و مينيمم توابع نسبت به شرايط داده شده‬

9. فصل پنجم:معادلات ديفرانسيل

‫فصل پنجم‪:‬معادالت ديفرانسيل‬
‫‪ ‬‬
‫آشنايي معادالت ديفرانسيل‬
‫‪ ‬‬
‫معادالت ديفرانسيل جدايي پذير‬

10. فصل ششم: انتگرال

‫فصل ششم‪ :‬انتگرال‬
‫‪ ‬‬
‫انتگرال‬

11. فصل اول: بردارها

‫فصل اول‪ :‬بردارها‬

12.

‫كميتهايي مانند سرعت يا شتاب يك متحرك و نيروي وارد بر‬
‫يك جسم هنگامي مشخص مي شوند كه عالوه بر اندازه سو‬
‫و جهتشان نيز معين باشد‪.‬اين نوع كميت ها را برداري مي‬
‫ناميم‪.‬‬

13.

‫برخي از كميت ها هنگامي كه اندازه ي آنها بر حسب واحد‬
‫مشخصي داده شود كامال معين مي شوند‬
‫‪.‬‬
‫مانند درجه ي حرارت‪ ،‬جرم‪ ،‬طول و حجم ‪ ،‬هزينه و درآمد‪.‬‬
‫اين گونه كميت ها را عددي يا اسكالر مي ناميم‬
‫‪.‬‬

14. 1.1بردارها در صفحه

‫‪1.1‬بردارها در صفحه‬

15. 1.1.1تعريف

‫‪1.1.1‬تعريف‬
‫پاره خط ‪AB‬كه ابتداي آن ‪ A‬و انتهاي آن ‪ B‬است‪ ،‬يك پاره خط‬
‫جهت دار ناميده مي شود‪ .‬به شكل زير توجه كنيد‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫پاره خط جهت دار‪ AB‬رايك بردار مي ناميم و با‪ AB‬نمايش ميدهيم‬
‫نقطه ي ‪ A‬را مبدا و نقطه ي ‪ B‬را انتهاي برداَرمي ناميم‪.‬‬

16. 1.1.2 تساوي دو بردار

‫‪ 1.1.2‬تساوي دو بردار‬
‫دو بردار‪ AB‬و ‪ CD‬را برابر يا همسنگ مي ناميم و مينويسيم‬
‫‪ ، AB=CD‬اگر اندازه و جهت آنها يكي باشد‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬

17. 1.1.3 جمع بردارها

‫‪ 1.1.3‬جمع بردارها‬
‫دو بردار ‪ AB‬و‪ CD‬را در نظر مي‬
‫گيريم‪.‬مجموع ‪AB+CD‬برداري است مانند ‪ V‬كه به يكي‬
‫از دو روش زير به دست مي آيد‪.‬‬
‫با توجه به تعريف تساوي دو بردار‪ ،‬مي توان دو برداررا كه‬
‫داراي يك مبدا نباشند نيز با يكديگر جمع كرد‪.‬‬

18.

‫روش اول‬
‫از نقطه ي ‪ B‬بردار‪ BE‬را برابر با بردار ‪ CD‬رسم مي كنيم‪.‬‬
‫بردار ‪ V=AE‬مجموع دو برذار‪ AB‬و ‪ CD‬است‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪V=AE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪V=AB+BE=AB+CD‬‬
‫‪A‬‬

19.

‫روش دوم‬
‫از نقطه ي دلخواه ‪ ،P‬دو برابر‪ PQ‬و‪ PR‬را كه به ترتيب برابر با‬
‫بردارهاي‪ AB‬و‪ CD‬هستند ‪ ،‬رسم مي كنيم‪ .‬بردار‪ PS‬قطرمتوازي‬
‫االضالع حاصل از اين دو بردار برابر با ‪V‬مجموع دو بردار‪AB‬‬
‫و‪ CD‬است‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P=V=PQ=AB+CD‬‬
‫‪R‬‬
‫‪V‬‬
‫‪P‬‬

20. 1.1.4 بردار صفر

‫‪ 1.1.4‬بردار صفر‬
‫اگر اندازه ي بردار‪ V‬برابر صفر باشد يعني ‪، V =0‬‬
‫بردار‪ V‬را بردار صفر مي ناميم و‪ 0‬با نشان مي دهيم‪ .‬بنا‬
‫بر اين اندازه ي ‪ 0‬برابر صفر است ‪ ،‬ولي جهت آن‬
‫مشخص نيست‪.‬‬

21. 1.1.5 ضرب عدد در بردا ر(ضرب اسكالر)

‫‪ 1.1.5‬ضرب عدد در بردا‬
‫ر(ضرب اسكالر)‬
‫فرض مي كنيم‪ V‬برداري دلخواه و‪ C‬عددي حقيقي باشد‪.‬منظور‬
‫از حاصلضرب عدد ‪ C‬در بردار‪ V‬برداري است با اندازه ي‬
‫‪ C V‬و همجهت با ‪ V‬اگر‪ C>0‬و در خالف جهت ‪V‬‬
‫اگر‪ .C<0‬حاصلضرب عدد ‪ C‬در بردار‪ V‬را با ‪ CV‬نشان مي‬
‫دهيم‪.‬در شكل ‪:‬اگر‪ C=0‬آنگاه ‪ CV‬برابر است با بردار صفر‪.‬‬
‫‪CV‬‬
‫‪V‬‬
‫‪CV‬‬
‫‪V‬‬

22. 1.1.7 تعريف

‫‪ 1.1.7‬تعريف‬
‫بردار‪ V‬را كه ابتداي آن مبدا مختصات و انتهاي آن نقطه ي‬
‫)‪(a1 , a2‬است در صفحه ي مختصات ‪ xoy‬است ‪ ،‬بردار‬
‫نظير زوج مرتب )‪ (a1 , a2‬مي ناميم‪ .‬اعداد ‪ a1‬و ‪ a2‬را‬
‫مؤلفه هاي بردار‪ V‬ميناميم و مي نويسيم‪:‬‬
‫)‪(a1 , a2‬‬
‫‪a1‬‬
‫)‪V= (a1 , a2‬‬
‫‪V‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪0‬‬

23. 1.11 قضيه

‫‪ 1.11‬قضيه‬
‫اگر )‪ V1=(a1,a2‬و )‪ V2=(b1,b2‬دو بردار باشند ‪ ،‬آنگاه‬
‫مجموع ‪ V1+V2‬برابر است با‪:‬‬
‫)‪V1+V2= (a1+b1 , a2+b2‬‬

24. 1.1.13 تعريف قرينه ي يك بردار

‫‪ 1.1.13‬تعريف قرينه ي يك بردار‬
‫اگر)‪ ،V=(a1,a2‬آنگاه بردار )‪ (-a1,-a2‬را قرينه ي بردار‪V‬‬
‫مي ناميم و با ‪ -V‬نشان مي دهيم‪ .‬پس‪:‬‬
‫)‪-V=(-a1, -a2‬‬

25. 1.1.14 تعريف تفاضل دو بردار

‫‪ 1.1.14‬تعريف تفاضل دو بردار‬
‫بردار )‪ V+(-U‬را كه مساوي با جمع ‪ V‬با قرينه ي ‪ U‬است‬
‫تفاضل ‪ U‬از‪ V‬مي ناميم و با ‪ V-U‬نشان مي دهيم‪ .‬يعني‪:‬‬
‫)‪V-U=V+(-U‬‬

26. 1.15 تعبير هندسي تفاضل دو بردار

‫‪ 1.15‬تعبير هندسي تفاضل دو بردار‬
‫نمايش هاي دو بردار‪ V‬و‪ U‬را از يك نقطه رسم مي كنيم‪.‬‬
‫در اين صورت‪ ،‬پاره خط جهت داري كه مبدا آن نقطه ي‬
‫انتهايي نمايش ‪ U‬و انتهاي آن‪ ،‬نقطه ي انتهايي نمايش ‪V‬‬
‫باشد ‪ ،‬يك نمايش بردار ‪ V-U‬است‪ .‬زيرا بنا بر تعريف‬
‫جمع بردارها داريم‪:‬‬
‫‪U+(V-U)=V‬‬

27. 1.1.16 اندازه ي يك بردار

‫‪ 1.1.16‬اندازه ي يك بردار‬
‫اندازه ي بردار )‪ V=(a1,a2‬برابر است با‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V = a1+a2‬‬

28. 1.1.18 قضيه

‫‪ 1.1.18‬قضيه‬
‫اگر‪ V‬و‪ U‬و‪ W‬بردارهايي در‪ Vx‬بوده و‪ c‬و‪ d‬اعدادي حقيقي‬
‫باشند‪ ،‬آنگاه جمع برداري و ضرب اسكالر داراي خواص‬
‫زيرند‪:‬‬
‫‪ ( U+V=V+U‬قانون جا به جايي جمع)‬
‫‪ ‬‬
‫‪( U+(V+W)=(U+V)+W ‬قانون شركت پذيري جمع)‬
‫‪ ‬برداري مانند ‪ 0‬در‪ V‬وجود دارد به طوري كه‪V+0=V‬‬
‫(وجود هماني نسبت به عمل جمع)‬
‫‪ ‬برداري مانند ‪ -V‬و‪ V‬در هست به طوري كه‬
‫‪(V+(-V)=0‬وجود قرينه ي هندسي نسبت به عمل جمع)‬

29. ادامه

‫ادامه‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫)‪ ( (cd) V=c (dV‬قانون شركت پذيري)‬
‫‪ ( C (U+V)=cU+cV‬قانون بخشپذيري)‬
‫‪ ( (c+d)U=cU+dU‬قانون بخشپذيري)‬
‫‪ ( +- U=U‬وجود هماني نسبت به ضرب اسكالر)‬

30. 1.1.20 تعريف فضاي برداري حقيقي

‫‪ 1.1.20‬تعريف فضاي برداري حقيقي‬
‫فضاي برداري حقيقي ‪ V‬مجموعه اي است از بردارها‪ ،‬همراه‬
‫با مجموعه اعداد حقيقي ( اسكالرها) ‪ ،‬با دو عمل جمع‬
‫برداري و ضرب اسكالر‪ ،‬به طوري كه هر جفت بردار‪U‬‬
‫و‪ V‬در‪ V‬و هر اسكالر‪ ، c‬بردارهاي ‪ U+V‬و‪ cU‬طوري‬
‫تعريف شده باشند كه در خواص قضيه ي قبل صدق كنند‪.‬‬

31. بردارهاي يكه

‫بردارهاي يكه‬
‫اندازه ي هر دو بردار (‪0‬و‪ )1‬و(‪1‬و‪ ، )0‬برابر با ‪ 1‬است‪،‬‬
‫آنها را بردارهاي يكه مي ناميم و با نمادهاي زير نشان‬
‫ميدهيم‪.‬‬
‫)‪j = (0,1‬‬
‫)‪i = (1,0‬‬

32.

‫با توجه به نماد گذاري گذشته براي هر بردار )‪ V=(a1,a2‬به‬
‫دست مي آوريم‬
‫‪:‬‬
‫‪(a1,a2)=a1 (1,0)+a2 (0,1)=a1 i+ a2 j‬‬

33.

‫بنابر اين هر بردار ‪ V2‬در را مي توان به صورت يك تركيب‬
‫خطي از دو بردار ‪ i‬و ‪( j‬عبارتي به صورت ‪a1 i + a2 j‬را يك‬
‫تركيب خطي از ‪ i‬و ‪ j‬مي نامند‪ ).‬نوشت‪ .‬از اين رو بردارهاي ‪ i‬و ‪j‬‬
‫يك پايه براي فضاي برداري ‪ V2‬تشكيل مي دهند ‪ .‬تعداد عناصر‬
‫يك پايه يك فضاي برداري ‪ ،‬بعد فضاي برداري نام دارد‪.‬‬
‫بنابر اين ‪ V2‬يك فضاي برداري دو بعدي است‪.‬‬

34. 1.1.25 تعريف توازي بردارها

‫‪ 1.1.25‬تعريف توازي بردارها‬
‫دو بردار نا صفر‪ U‬و‪ V‬را موازي مي ناميم ‪ ،‬در صورتي كه‬
‫اسكالر (عدد حقيقي ) ‪ c‬وجود داشته باشد‪ ،‬به طوري‬
‫كه ‪. V=cU‬‬

35. 1.1.25 قضيه

‫‪ 1.1.25‬قضيه‬
‫اگر‪ V‬بردار نا صفري باشد ‪ ،‬آنگاه‬
‫‪V‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v‬‬
‫=‪U‬‬
‫بردار يكه ( واحد) هم جهت با ‪ V‬است‬
‫‪.‬‬

36. 1.2 ضرب عددي دو بردار

‫‪ 1.2‬ضرب عددي دو بردار‬

37. 1.2.1 تعريف ضرب عددي دو بردار

‫‪ 1.2.1‬تعريف ضرب عددي دو بردار‬
‫اگر )‪ U=(a1,a2‬و)‪ V=(b1,b2‬دو بردار در‪ V2‬باشند ‪،‬‬
‫آنگاه حاصلضرب عددي دو بردار‪ U‬و‪ V‬را با ‪ U.V‬نشان‬
‫مي دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم‪:‬‬
‫‪U.V=(a1,a2).(b1,b2)=a1 b1+a2 b2‬‬

38.

‫توجه مي كنيم كه حاصلضرب عددي دو بردار ‪ ،‬عددي‬
‫حقيقي است و بردار نيست‪ .‬اين حاصلضرب داخلي يا‬
‫حاصلضرب نقطه اي دو بردار نيز ناميده مي شود‪.‬‬

39. 1.2.4 قضيه

‫‪ 1.2.4‬قضيه‬
‫اگر‪ U‬و‪ V‬و‪ W‬بردارهايي در‪ V2‬بوده و ‪ c‬يك اسكالر باشد‪.‬‬
‫آنگاه‪:‬‬
‫‪U.V=V.U‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪U.(V+W)=U.V+U.W‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪(U+V).W=U.W+V.W‬‬
‫‪.3‬‬
‫)‪c(U.V)=(cU).V=U.(cV‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪0.U=0‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪V.V= V‬‬
‫‪.6‬‬

40. 1.2.5 تعريف زاويه ي بين دو بردار

‫‪ 1.2.5‬تعريف زاويه ي بين دو بردار‬
‫فرض مي كنيم ‪ U‬و‪ V‬دو بردار نا صفر باشند به‬
‫طوري ‪ U‬كه مضرب اسكالري از‪ V‬نباشد‪.‬اگر‪ OP‬و‪OQ‬‬
‫به ترتيب بردارهاي نمايشگر‪ U‬و‪ V‬باشند‪.‬آنگاه زاويه ي‬
‫بين ‪ U‬و‪ V‬را كوچكترين زاويه ي بين دو پاره خط ‪OP‬‬
‫و‪ OQ‬تعريف مي كنيم‪.‬‬

41.

‫شكل زيرزاويه ي بين دو بردار را ذر حالتي كه مضرب‬
‫اسكالري از نباشد‪ ،‬نشان مي دهد‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪u‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v‬‬
‫‪θ‬‬

42. 1.2.6 قضيه

‫‪ 1.2.6‬قضيه‬
‫اگر ‪ θ‬زاويه ي بين دو بردار‪ U‬و‪ V‬باشد‪،‬آنگاه‪:‬‬
‫‪U.V= U V cos θ‬‬

43. 1.2.8 نتيجه

‫‪ 1.2.8‬نتيجه‬
‫از قضيه ي قبل نتيجه مي شود كه دو بردار‪ U‬و‪ V‬بر هم‬
‫عمودند ( متعامدند) اگر و تنها اگر‪:‬‬
‫‪U.V=0‬‬

44. 1.2.10 تصوير يك بردار بر روي بردار ديگر

‫‪ 1.2.10‬تصوير يك بردار بر روي بردار ديگر‬
‫فرض مي كنيم ‪ OP‬و‪ OQ‬به ترتيب نمايشگرهاي بردارهاي‬
‫‪U‬و‪ V‬باشند‪.‬تصوير‪ OQ‬در جهت ‪،OP‬بردار‪ OR‬است‪،‬كه‬
‫در آن ‪ R‬پاي عمود از نقطه ‪ Q‬ي بر خطي است كه از دو‬
‫نقطه ي كه از دو نقطه ‪ D‬و‪ P‬مي گذرد‪.‬‬

45.

‫شكل‪ :‬تصوير بردار‪ V‬بر روي بردار‪P‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫‪x‬‬
‫‪R‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪o‬‬

46. 1.2.11 تعريف

‫‪ 1.2.11‬تعريف‬
‫اگر‪ U‬بردار ناصفري باشد‪ ،‬تصوير برداري ‪ V‬روي بردار‪U‬‬
‫به صورت زير تعريف مي كنيم‪:‬‬
‫‪u‬‬
‫‪U.V‬‬
‫‪2‬‬
‫‪U‬‬
‫‪v‬‬
‫= ‪Proj u‬‬

47.

‫تصوير اسكالر‪ V‬روي ‪ U‬برابر با ‪ V cosθ‬است ‪ .‬با توجه‬
‫به قضيه داريم‪:‬‬
‫)‬
‫‪U‬‬
‫‪U‬‬
‫(‪=V.‬‬
‫‪V.U‬‬
‫‪U‬‬
‫= ‪V cosθ‬‬

48. 1.3 بردارها در فضاي سه بعدي

‫‪ 1.3‬بردارها در فضاي سه بعدي‬

49. 1.3.1 تعريف

‫‪ 1.3.1‬تعريف‬
‫مجمو عه ي تمام سه تايي هاي مرتب از اعداد حقيقي را‬
‫فضاي عددي سه بعدي مي ناميم و با ‪ R‬نشان مي دهيم‪.‬‬
‫هر سه تايي مرتب (‪ z‬و‪ y‬و‪ )x‬را يك نقطه در فضاي عددي‬
‫سه بعدي مي ناميم‪.‬‬

50. 1.3.2 قضيه

‫‪ 1.3.2‬قضيه‬
‫فاصله ي بين دو نقطه (‪ z‬و‪ y‬و‪ p)x‬و (‪ z‬و‪ y‬و‪ p)x‬برابر‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪2 2 2‬‬
‫است با‪:‬‬
‫) ‪pp = (x –x )+(y –y )+(z –z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 2‬‬

51. 1.3.4 تعريف

‫‪ 1.3.4‬تعريف‬
‫يك بردار در فضاي سه بعدي‪ ،‬يك سه تايي مرتب از اعداد‬
‫حقيقي به صورت (‪2 a 3‬و‪ a‬و‪ ) a 1‬است‪ .‬اعداد‪ a 2، a 1‬و‪ a 3‬را‬
‫مولفه هاي بردار ( ‪ a‬و‪ a‬و ‪ )a‬مي ناميم‪ .‬مجموعه تمام‬
‫‪1‬‬
‫‪2 3‬‬
‫بردارهايي به صورت ( ‪ a‬و ‪ a‬و‪) a‬را با ‪ V3‬نشان مي‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫دهيم‪.‬‬

52.

‫اگر بردارهاي يكه ‪ i‬و‪ j‬و‪ k‬عبارت باشند از‪:‬‬
‫)‪k=(0,0,1‬‬
‫)‪j=(0,1,0‬‬
‫)‪i=(1,0,0‬‬
‫آنگاه هر بردار (‪ V=(a1,a2,a3‬در‪ V3‬را مي توان به صورت‬
‫زير نوشت‪:‬‬
‫‪V=(a1,a2,a3)=a1 i+ a2 j+ a3 k‬‬

53. 1.3.5 تعريف

‫‪ 1.3.5‬تعريف‬
‫سه زاويه ي ‪ α‬و‪ β‬و‪ δ‬زوايايي كه بردار‪ V‬نا صفر به ترتيب‬
‫با جهت مثبت محورهاي ‪ x‬و‪ y‬و‪ z‬مي سازد را زواياي‬
‫هادي ‪ V‬مي ناميم‪.‬توجه كنيد كه هر زاويه ي هادي بزرگتر‬
‫يا مساوي ‪ 0‬و كوچكتر يا مساوي ‪ п‬است‪.‬‬

54.

‫زواياي هادي بردار (‪ V=(a1,a2,a3‬در شكل نشان داده شده‬
‫‪z‬‬
‫است‪.‬‬
‫‪a3‬‬
‫) ‪p =(a1,a2,a3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪β‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪V‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪o‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬

55.

‫در شكل مؤلفه هاي ‪ V‬اعدادي مثبت و زواياي هادي آن مثبت‬
‫و كوچكتر‪ п/2‬از هستند‪.‬به طوري كه در شكل ديده مي‬
‫شود‪ ،‬مثلث قايم الزاويه‪ OPR‬است و داريم ‪:‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪V‬‬
‫=‬
‫‪OR‬‬
‫‪OP‬‬
‫=‪COSα‬‬

56.

‫مي توان نشاشن داد كه دستور اخير به ازاي ‪п/2 ≤α≤ п‬‬
‫نيز بر قرار است‪.‬دستور هاي مشابهي براي ‪ COSβ‬و‬
‫‪ COS α‬به دست مي آيند‪.‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪V‬‬
‫= ‪COS α‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪V‬‬
‫= ‪COSβ‬‬

57.

‫اعداد ‪ COS α‬و ‪ COSβ‬و‪ COS δ‬راكسينوسهاي هادي‬
‫بردار‪ V‬مي نامند‪.‬‬
‫توجه كنيد كه بردار صفر ‪ ،‬زواياي هادي و در نتيجه كسينوس‬
‫هاي هادي ندارد‪.‬‬

58. 1.3.7 نكته

‫‪ 1.3.7‬نكته‬
‫اگر اندازه ي يك بردار و كسينوسهاي هادي آن معلوم‬
‫باشند‪،‬آنگاه بردار به طور منحصر به فردي معي است‪،‬‬
‫زيرا‪:‬‬
‫‪a1= COS α V‬‬
‫‪a2= COSβ V‬‬
‫‪a3= COS δ V‬‬

59. 1.3.8 قضيه

‫‪ 1.3.8‬قضيه‬
‫اگر ‪ COS α‬و ‪ COSβ‬و ‪ COS δ‬كسينوسهاي هادي بردار‬
‫‪V‬باشند‪،‬آنگاه‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪COSβ + COS δ = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪COS α +‬‬

60. 1.3.15 نتيجه

‫‪ 1.3.15‬نتيجه‬
‫از قضيه و تعريف كسينوسهاي هادي نتيجه مي شمد كه مؤلفه‬
‫هاي يك بردار يكه كسينوسهاي هادي آن هستند‪.‬‬

61.

‫به عبارت ديگر اگر (‪ V=(a1,a2,a3‬بردار يكه هم جهت با ‪V‬‬
‫باشد آنگاه‪:‬‬

62.

‫در مورد بردارهاي فضايي اعمال جمع ‪ ،‬تفريق‪،‬ضرب اسكالر‬
‫و ضرب عددي دو بردار در‪، V3‬مشابه آنچه ‪ V2‬در‬
‫تعريف مي شوند‪.‬‬
‫فرض مي كنيم )‪ U=(a1,a2,a3‬و )‪ V=(b1,b2,b3‬يك اسكالر‬
‫باشد‪.‬داريم‪:‬‬

63.

‫الف‬
‫ب‬

64.

‫پ‬
‫ت‬

65. 1.3.14نكته

‫‪1.3.14‬نكته‬
‫به آساني مي توان نشان داد كه‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

66. 1.3.15قضيه

‫‪1.3.15‬قضيه‬
‫اگر‪ θ‬زاويه ي بين دو بردار نا صفر‪ U‬و‪ V‬در‪ V3‬باشد آنگاه‪:‬‬

67. 1.3.16تعريف

‫‪1.3.16‬تعريف‬
‫دو بردار در‪ V3‬را موازي مي ناميم اگر و تنها اگر يكي از‬
‫بردارها مضرب اسكالري از ديگري باشد‪.‬‬

68. 1.3.17قضيه

‫‪1.3.17‬قضيه‬
‫دو بردار نا صفر در‪ V3‬موازي اند اگر و تنها اگر زاويه ي‬
‫بين آنها ‪ 0‬يا‪ п‬باشد‪.‬‬

69. 1.3.18قضيه

‫‪1.3.18‬قضيه‬
‫دو بردار نا صفر‪ U‬و‪ V‬در‪ V3‬متعامدند اگر و تنها اگر‬
‫‪U.V=0‬‬

70.

‫‪1.4‬ضرب برداري بردارها‬

71. 1.4.1تعريف

‫‪1.4.1‬تعريف‬
‫اگر )‪ U=(a1,a2,a3‬و )‪ V=(b1,b2,b3‬آنگاه حاصل ضرب‬
‫برداري‪ U‬در‪ V‬با نشان‪ U*V‬مي دهيم‪.‬برداري است كه به‬
‫صورت زير تعريف مي شود‪:‬‬
‫)‪U*V=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1‬‬

72.

‫براي سهولت در يادگيري و به ذهن سپردن دستور ‪ ، U*V‬از‬
‫نماددترمينين استفاده مي كنيم‪.‬يك دترمينان مرتبه ي دوم را‬
‫به صورت زير تعريف مي كنيم‪:‬‬

73.

‫با استفاده از نماد دترمينان دستور محاسبه ي ‪ U*V‬به‬
‫صورت زير در مي آيد‪:‬‬

74.

‫سمت راست عبارت اخير را مي توان با نماد زير نشان داد‪:‬‬

75. 1.4.3قضيه

‫‪1.4.3‬قضيه‬
‫اگر‪ U‬و‪ V‬بردارهايي در‪ V3‬باشند‪ ،‬آنگاه‪:‬‬
‫)‪U*V= - (V*U‬‬

76. 1.4.4قضيه

‫‪1.4.4‬قضيه‬
‫اگر‪ i‬و‪ j‬و‪ k‬بردارهاي يكه ي ‪ V3‬باشند‪ ،‬آنگاه‪:‬‬

77. 1.4.5قضيه

‫‪1.4.5‬قضيه‬
‫اگر‪ U‬و‪ V‬و‪ W‬بردارهايي در‪ V3‬و‪ c‬يك اسكالر باشد آنگاه‪:‬‬

78. 1.4.7قضيه

‫‪1.4.7‬قضيه‬
‫اگر‪ U‬و‪ V‬دو بردار‪ V3‬و‪ θ‬زاويه ي بين‪ U‬و‪ V‬باشد‪،‬آنگاه‪:‬‬
‫‪U*V = U V sinθ‬‬

79. 1.4.9نتيجه

‫‪1.4.9‬نتيجه‬
‫اگر‪ U‬و‪ V‬دو بردار نا صفر در‪ V3‬باشند آنگاه و موازي اند‬
‫اگر و تنها اگر ‪U*V=0‬‬

80. 1.4.11قضيه

‫‪1.4.11‬قضيه‬
‫اگر‪ U‬و‪ V‬و‪ W‬سه بردار در‪ V3‬باشند‪ ،‬آنگاه‪:‬‬

81. 1.4.12تعريف

‫‪1.4.12‬تعريف‬
‫فرض مي كنيم )‪ U=(a1,a2,a3‬و )‪V=(b1,b2,b3‬و‬
‫)‪ . W =(c1,c2,c3‬حاصلضرب )‪ U.(V*W‬را‬
‫حاصلضرب عددي سه گانه بردارهاي ‪U‬و‪ V‬و‪ W‬مي‬
‫ناميم‪.‬‬

82.

‫حاصلضرب عددي سه گانه برابر است با‪:‬‬

83.

‫حاصلضرب عددي سه گانه يك اسكالر است‪.‬‬

84. 1.4.13قضيه

‫‪1.4.13‬قضيه‬
‫اگر‪ U‬و‪ V‬دو بردار نا صفر در باشند آنگاه‪:‬‬

85.

‫‪1.5‬بردارهاي فضاي ‪ n‬بعدي‬

86. 1.5.1تعريف

‫‪1.5.1‬تعريف‬
‫فرض كنيد ‪ n‬عدد صحيح مثبتي باشد‪ n ،‬تايي مرتب‬
‫)‪(x1,x2…,xn‬مجموعه اي از‪ n‬عدد است كه به ترتيب‬
‫معيني نوشته شده اند‪.‬‬

87.

‫اعداد حقيقي ‪ xn,……,x2,x1‬را به ترتيب مؤلفه هاي اول تا‬
‫‪n‬ام اين‪ n‬تايي مرتب مي خوانيم‪.‬مجموغه ي تمام ‪n‬تايي‬
‫‪n‬‬
‫هاي مرتب را با ‪ R‬نشان مي دهيم‪.‬‬

88.

‫دو تايي مرتب)‪ Y=(y1,y2,…yn‬و)‪ X=(x1,x2,…xn‬را‬
‫برابر مب ناميم اگر و تنها اگر براي هر‪ i=1,2,…n‬داشته‬
‫باشيم‪:‬‬
‫‪xi=yi‬‬

89. 1.5.3تعريف

‫‪1.5.3‬تعريف‬
‫فرض مي كنيم)‪ U=(a1,a2,…an‬و)‪ V=(b1,b2,…bn‬دو‬
‫بردار در‪ Vn‬و‪ c‬عدد حقيقي (اسكالر) باشد‪.‬‬

90.

‫مجموع دو بردار و ضرب اسكالر عدد در بردار به صورت‬
‫زير تعزيف مي شود‪:‬‬
‫)‪U+V=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn‬‬
‫)‪cU=(ca1,ca2,…,can‬‬

91. 1.5.4قضيه

‫‪1.5.4‬قضيه‬
‫فرض مي كنيم ‪ U‬و‪ V‬و ‪ W‬سه بردار در‪ Vn‬و‪ c‬و‪ k‬دو‬
‫اسكالر (عدد حقيقي) باشند‪ .‬در اين صورت‬
‫الف)جمع بردارها جا به جايي پذير است‪ ،‬يعني‬
‫‪U+V=V+U‬‬

92.

‫ب) جمع بردارها شركت پذير است‪ ،‬يعني‬
‫)‪(U+V)+W=U+(V+W‬‬
‫پ)عمل جمع داراي عضو خنثي است يعني‬
‫بردار)‪ 0=(0,0,…,0‬بردار صفر‪ n‬مؤلفه اي وجود دارد به‬
‫طوري كه‬
‫‪U+0=U‬‬

93.

‫ت) براي هر ‪ U‬بردار قرينه ‪ –U‬وجود دارا به طوري كه‬
‫‪U+(-U)=0‬‬
‫‪c (U+V)=c U +c V‬‬
‫ث)‬
‫)‪(c k) U=c (k U‬‬
‫ج)‬
‫‪(c+ k) U=c U +k U‬‬
‫ح)‬
‫خ)وجود هماني نسبت به ضرب اسكالر‪،‬يعني‬
‫‪1U=U‬‬

94. 1.5.5تعريف

‫‪1.5.5‬تعريف‬
‫طول بردار )‪ U=(a1,a2,…an‬برابر است با‬

95. فصل دوم:ماتريس و دترمينان

‫فصل دوم‪:‬ماتريس و دترمينان‬

96.

‫در اين فصل با معرفي ماتريس مفهوم بردار را تعميم مي‬
‫دهيم‪.‬همچنين انواع ماتريس‪،‬ماتريسهاي خاص و اعمال‬
‫جبري روي ماتريس ها ‪،‬دترمينين و وارون ماتريس را‬
‫مورد مطالعه قرار مي دهيم‪.‬‬

97. 2.1ماتريس

‫‪2.1‬ماتريس‬

98. 2.1.1تعريف

‫‪2.1.1‬تعريف‬
‫هر جدولي از اعداد را كه شامل ‪ m‬سطر و‪ n‬ستون باشد‪،‬يك‬
‫ماتريس ‪m‬در‪ n‬مي ناميم و به شكل زير نشان مي دهيم‪.‬‬
‫يا‬

99.

‫هر يك از اعداد ‪ aij‬را يك عنصر يا درايه ماتريس مي‬
‫ناميم‪.‬در اينجا ‪ i‬انديس سطر و‪ j‬انديس ستون است‪،‬به بيان‬
‫ديگر ‪،‬عنصر‪ aij‬در محل تالقي سطر‪ i‬ام و ستون ‪ j‬ام‬
‫ماتريس قرار دارد‪.‬‬

100. 2.1.2تعريف

‫‪2.1.2‬تعريف‬
‫الف)هر گاه ماتريس ‪ A=(aij)mn‬تنها داراي يك سطر‬
‫باشد‪،‬يعني ‪، m=1‬اين ماتريس را يك ماتريس سطري‬
‫(بردار سطري)مي ناميم‪.‬‬
‫ماتزيس [‪1‬و‪4‬و‪ ]-3‬يك ماتريس سطري است‪.‬‬

101.

‫اگر ماتريس ‪ A=(aij)mn‬تنها داراي يك ستون باشد‪.‬يعني‬
‫‪،n=1‬اين ماتريس را يك ماتريس ستوني (بردار ستوني)مي‬
‫ناميم‪.‬‬
‫يك ماتريس ستوني است‪.‬‬
‫ماتريس‬

102.

‫پ) اگر تمام عناصر ماتريس ‪ A=(aij)mn‬صفر باشند آن را‬
‫ماتريس صفر مي ناميم و به صورت ‪ A=0mn‬يا‬
‫‪A=0‬نشان مي دهيم‪.‬مانند‪:‬‬
‫‪F‬يك ماتريس صفر‪ 3*2‬است‪.‬‬

103. 2.1.3تعريف

‫‪2.1.3‬تعريف‬
‫ماتريسي را كه تعداد سطرها و تعداد ستونهايش برابر باشد‪،‬‬
‫يك ماتريس مربع مي ناميم‪.‬به بيان ديگر ‪ A=(aij)mn‬يك‬
‫ماتريس مربع است اگر و تنها اگر‪m=n‬‬

104.

‫در ماتريس مربع ‪، A=(aij)mn‬قطري را كه شامل عناصر‬
‫‪ a11,a22,…,ann‬قطر اصلي و اين عناصر را عناصر‬
‫قطر اصلي مي ناميم‪.‬‬

105.

106. 2.1.4تعريف

‫‪2.1.4‬تعريف‬
‫ماتريس مربع ‪ A=(aij)mn‬را يك ماتريس هماني يا واحد‪n*n‬‬
‫مي ناميم اگر هر يك از عناصر قطر اصلي برابر ‪ 1‬و همه‬
‫ي عناصر ديگر آن صفر باشند‪.‬‬

107.

‫ماتريس واحد ‪ n*n‬را با ‪I‬نشان مي دهيم ‪.‬مانند‪:‬‬

108. 2.1.5تعريف تساوي دو ماتريس

‫‪2.1.5‬تعريف تساوي دو ماتريس‬
‫دو ماتريس ‪ A=(aij)mn‬و ‪ B=(bij)pq‬را برابر مي گوييم‬
‫اگر‪ m=p‬و‪ n=q‬و براي هر‪ i‬و‪j‬‬
‫كه‪i=1,2,…m‬و‪ j=1,2,…n‬داشته باشيم ‪aij=bij‬‬

109.

‫براي مثال‪:‬‬

110. 2.1.7تعريف

‫‪2.1.7‬تعريف‬
‫فرض مي كنيم ‪ A=(aij)mn‬و ‪ B=(bij)mn‬دو ماتريس‬
‫‪m*n‬و‪ k‬عددي حقيقي باشد‪.‬‬

111.

‫الف) حاصل جمع اين دو ماتريس را با ‪ A+B‬نشان داده و به‬
‫صورت زير تعريف مي كنيم‪:‬‬

112.

‫ب)حاصل ضرب عدد حقيقي ‪ k‬در‪ A‬ماتريس را با ‪ kA‬نشان‬
‫داده و به صورت زير تعريف مي كنيم‪:‬‬

113.

‫توجه كنيد كه ‪ A+B‬و ‪ kA‬ماتريسهاي ‪ m*n‬هستند‪.‬توجه‬
‫داشته باشيد كه جمع دو ماتريس كه داراي تعداد سطرهاي‬
‫متفاوت يا تعداد ستونهاي متفاوت باشند تعريف نشده است‪.‬‬

114. 2.1.9تعريف

‫‪2.1.9‬تعريف‬
‫اگر ‪ A=(aij)m0‬ماتريس ‪ )-1( A‬را قرينه ي ماتريس ‪ A‬مي‬
‫ناميم و با ‪ – A=(-aij)m0‬نشان مي دهيم‪.‬‬
‫اگر ‪ A=(aij)mn‬و ‪ B=(bij)mn‬بنابر تعريف داريم‪:‬‬
‫)‪A-B=A+(-B‬‬

115. 2.1.11قضيه

‫‪2.1.11‬قضيه‬
‫اگر‪ A‬و‪ B‬و‪ C‬سه ماتريس ‪ m*n‬و‪ k‬و‪ h‬دو عدد حقيقي باشند‬
‫آنگاه‪:‬‬

116. 2.1.13تعريف

‫‪2.1.13‬تعريف‬
‫ماتريسهاي ‪ A=(aij)mp‬و ‪ B=(bij)pn‬را در نظر مي‬
‫كيريم‪.‬منظور از حاصل ضرب‪ A‬در‪ B‬ماتريس ‪ m*n‬اي‬
‫چون ‪ c‬به طوري كه‬
‫حاصل ضرب‪ A‬در‪ B‬يعني‪ c‬را با ‪ AB‬نشان مي دهيم‪.‬‬

117. 2.1.15قضيه

‫‪2.1.15‬قضيه‬
‫اگر ‪ A=(aij)mn‬يك ماتريس مربعي ‪ n*n‬باشد آنگاه‪:‬‬

118. 2.1.16قضيه

‫قضيه‬2.1.16
‫ آنگاه‬C=(cij)qn ‫ و‬B=(bij)pq ‫و‬A=(aij)mp ‫اگر‬
A(BC)=(AB)C

119. 2.1.19قضيه

‫قضيه‬2.1.19
C=(cij)mp ‫ و‬B=(bij)pn ‫و‬A=(aij)pn ‫اگر‬
C(A+B)=CA+CB

120. 2.1.20تعريف

‫‪2.1.20‬تعريف‬
‫اگر در ماتريس ‪ A=(aij)mn‬جاي سطرها و ستونها را با‬
‫يكديگر عوض كنيم‪ ،‬ماتريس حاصل را‬
‫‪T‬‬
‫ترانهاده)‪ (Transpose‬ماتريس ‪ A‬مي ناميم و آن را با ‪A‬‬
‫‪T‬‬
‫نشان مي دهيم‪ .‬به بيان ديگر‪ A=(bij)nm‬كه در آن براي‪i‬‬
‫و‪ j‬داريم‪:‬‬
‫‪bij=aij‬‬

121. 2.1.21قضيه

‫‪2.1.21‬قضيه‬
‫اگر‪ A‬و‪ B‬دو ماتريس‪m*n‬و‪ k‬عددي حقيقي باشد آنكاه‪:‬‬
‫‪TT‬‬
‫الف) ‪ (A)=A‬يعني ترانهاده ‪ ،‬ترانهاده ماتريس با ماتريس‬
‫برابر است‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫ب))‪ (kA)=k(A‬يعني ترانهاده مضربي از يك ماتريس با‬
‫همان مضرب ترانهاده ماتريس بربار است‪.‬‬

122.

‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫پ) ‪،(A+B) = A+ B‬يعني ترانهاده مجموع دوماتريس با‬
‫مجموع ترانهاده هاي دو ماتريس برابر است‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T T‬‬
‫ت) اگر‪ A‬و‪ B‬دو ماتريس مربع باشند‪،‬آنگاه ‪(AB)=B A‬‬
‫‪،‬يعني ترانهاده ي حاصلضرب دو ماتريس با حاصلضرب‬
‫ترانهاده ماتريس دومي در ترانهاده ماتريس اولي برابر‬
‫است‪.‬‬

123. 2.1.23تعريف

‫‪2.1.23‬تعريف‬
‫‪T‬‬
‫الف) ماتريس مربع ‪ A‬را متقارن مي ناميم اگر ‪. A =A‬‬
‫براي مثال ماتريس زير متقارن است ‪.‬توجه كنيد كه در‬
‫ماتزيس متقارن عناصر ماتريس نسبت به قطر اصلي‬
‫متقارن هستند‪.‬‬

124.

‫ب) ماتريس ‪ A‬مربع را شبه متقارن مي ناميم اگر‪. A=AT‬‬
‫اگر يك ماتريس شبه متقارن باشد بايد براي هر‪ i‬و‪ j‬داشته‬
‫باشيم ‪ aij=-aij‬اما از‪ aii=-aii‬نتيجه مي شود ‪. aii=0‬پس‬
‫عناصر قطر اصلي در ماتريس شبه متقارن همگي برابر‬
‫صفرند‪.‬‬

125.

‫پ) ماتريس ‪ A‬مربع را قطري مي ناميم اگر همه ي عناصر‬
‫غير واقع بر قطر اصلي آن صفر باشند‪.‬مانند‪:‬‬

126.

‫ت) ماتريس قطري ‪ S‬را يك ماتريس اسكالر مي ناميم‪ ،‬اگر‬
‫عناصر قطر اصلي آن برابر عدد ثابت ‪ K‬باشد‪ ،‬يعني‬

127.

‫ث) ماتريس ‪ n*n‬و‪ c‬را متعامد مي گوييم اگر ‪:‬‬

128.

‫براي مثال‪:‬‬
‫آنگاه‬
‫پس ‪ c‬ماتريسي متعامد است‪.‬‬

129.

‫ج)ماتريس مربع‪ U‬را ماتريس مثلثي باال مي ناميم‪ ،‬اگر تمام‬
‫عناصر زير قطر اصلي آن صفر باشد‪.‬مانند‪:‬‬

130.

‫چ)ماتريس مربع ‪ L‬را ماتريس مثلثي پايين مي ناميم‪ ،‬اگر تمام‬
‫عناصر باالي قطر اصلي آن صفر باشد‪.‬مانند‪:‬‬

131. 2.1.25تعريف

‫‪2.1.25‬تعريف‬
‫در ماتريس مربع ‪ A=(aij)nn‬مجموع تمام قطر اصلي را اثر‬
‫‪ A‬مي ناميم و با )‪ tr(A‬نشان مي دهيم‪.‬پس‪:‬‬

132.

‫‪ 2.2‬دترمينان‬

133.

‫دترمينان ماتريس ‪ A‬را با‪ det A‬يا ‪ A‬نشان مي دهيم‪.‬‬

134. 2.2.1تعريف

‫‪2.2.1‬تعريف‬
‫‪ )1‬ماتريس ‪ 1*1‬تنها داراي يك عنصر‪ a11‬است‪ ،‬دترمينان‬
‫اين ماتريس را برابر با عدد ‪ a11‬تعريف مي كنيم‪.‬‬

135.

‫‪ )2‬دترمينان ماتريس ‪2*2‬‬
‫به صورت زير تعريف مي شود‬
‫‪a11 a12‬‬
‫‪= a11a22-a12a21‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪a21‬‬
‫= ‪Det A= A‬‬

136. 2.2.2تعريف

‫‪2.2.2‬تعريف‬
‫ماتريس ‪ A=(aij)nn‬را در نظر مي گيريم‪ .‬فرض كنيد ‪Mij‬‬
‫ماتريسي )‪ (n-1)*(n-1‬باشد كه از حذف سطر‪ i‬ام و ستون ‪ j‬ام‬
‫ماتريس ‪ A‬به دست آمده است‪ .‬دترمينان ماتريس ‪،Mij‬يعني‬
‫‪ Mij‬را مينور عنصر در ماتريس مي ناميم‪.‬‬

137. 2.2.3تعريف

‫‪2.2.3‬تعريف‬
‫همسازه عنصر ‪ aij‬در ماتريس ‪ A=(aij)nn‬را با ‪ Aij‬نشان‬
‫مي دهيم وبرابر با عدد زير است‪:‬‬

138. 2.2.4تعريف

‫‪2.2.4‬تعريف‬
‫دترمينان ماتريس ‪ A=(aij)nn‬را به صورت‬
‫تعريف مي كنيم‪.‬مي گوييم دترمينيان ‪ A‬بر حسب سطر‪ i‬ام‬
‫بسط داده شده است‪.‬‬

139.

‫بنابر اين تعريف براي محاسبه ي دترمينان يك ماتريس‪ ،‬يك‬
‫سطر يا يك ستون را انتخاب مي كنيم ‪ .‬اين سطر يا ستون‬
‫را در همسازه اش ضرب ‪ ،‬سپس مقادير حاصل را با هم‬
‫جمع مي كنيم‪.‬‬

140.

‫اگر دترمينان را بر حسب سطر يا ستوني كه بيشترين تعداد‬
‫صفر را دارد محاسبه مي كنيم‪ ،‬محاسبات كوتاهتر مي‬
‫شود‪ ،‬زيرا نيازي به محاسبه ي همسازه هاي صفر‬
‫نيست‪.‬چون حاصلضرب صفر در هر همسازه اي صفر‬
‫است‪.‬‬

141. 2.2.7قضيه(خواص دترمينان)

‫‪2.2.7‬قضيه(خواص دترمينان)‬
‫‪ )1‬دترمينان ماتريس مربع ‪ A‬و ترانهاده ‪ A‬برابر است‬
‫‪.‬يعني‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪A =A‬‬
‫‪ )2‬اگر تمام عناصر يك سطر يا يك ستون ماتريس ‪ A‬صفر‬
‫باشند‪ ،‬آنگاه‬
‫‪A =0‬‬

142.

‫‪ )3‬اگر تمام عناصر يك سطر يا يك ستون ماتريس ‪ A‬در‬
‫عدد ‪ r‬ضرب مي كنيم آنگاه دترمينان ماتريس حاصل برابر‬
‫با ‪r A‬است‪.‬‬
‫‪ )4‬دترمينان ماتريس حاصل از تعويض دو سطر يا دو ستون‬
‫ماتريس ‪ A‬مساوي است با منهاي دترمينان ‪.A‬‬

143.

‫‪ )5‬اگر دو سطر يا دو ستون ماتريسي برابر باشند‪ ،‬آنگاه‬
‫مقدار دترمينان آن برابر با صفر است‪.‬‬
‫‪)6‬دترمينان حاصل از جمع مضرب اسكالري از يك سطر (يا‬
‫ستون) با سطري ( يا ستوني) ديگر از ماتريس ‪ A‬مساوي‬
‫است با دترمينان ‪.A‬‬

144.

‫‪ )7‬دترمينان حاصلضرب دو ماتريس برابر با حاصلضرب‬
‫دترمينانهاي آنها است يعني‬
‫‪AB = A B‬‬
‫‪ )8‬دترمينان يك ماتريس قطري برابر است با حاصلضرب‬
‫عناصر روي قطر اصلي آن‪.‬‬
‫‪ )9‬دترمينان ماتريس واحد برابر يك است‪ ،‬يعني‬
‫‪In = 1‬‬

145. 2.2.15تعريف

‫‪2.2.15‬تعريف‬
‫اگر دترمينان ماتريس ‪ A=(aij)nn‬برابر صفر باشد ‪ ،‬ماتريس‬
‫‪ A‬را منفرد مي ناميم‪ .‬در غير اين صورت ماتريس را غير‬
‫منفرد مي ناميم‪.‬‬
‫ماتريس زير منفرد است‪.‬‬

146. 2.3وارون ماتريس

‫‪2.3‬وارون ماتريس‬

147. 2.3.1تعريف

‫‪2.3.1‬تعريف‬
‫ماتريس ‪ A=(aij)nn‬را وارون پذير مي ناميم ‪ ،‬اگر ماتريسي‬
‫مانند ‪ B=(bij)nn‬وجود داشته باشد به طوري كه‬
‫‪AB=BA=In‬‬
‫اگر‪ A‬ماتريسي وارون پذير باشد‪ ،‬آنگاه وارون آن منحصر به‬
‫‪-1‬‬
‫فرد است و آن را با ‪ A‬نشان مي دهيم‪.‬‬

148. 2.3.5اعمال سطري مقدماتي

‫‪2.3.5‬اعمال سطري مقدماتي‬
‫ماتريس ‪ A=(aij)nn‬را در نظر مي كيريم‪ .‬هر يك از اعمال‬
‫زير را كه بر روي سطر هاي ماتريس ‪ A‬انجام مي پذيرد‪،‬‬
‫يك عمل سطري مقدماتي مي ناميم‪.‬‬
‫‪ )1‬تعويض دو سطر ماتريس ‪.A‬‬
‫‪ )2‬ضرب يك سطر ماتريس ‪ A‬در يك عدد نا صفر‪.‬‬
‫‪ )3‬افزودن مضربي از يك سطر ماتريس ‪ A‬به سطري ديگر‪.‬‬

149.

‫براي اختصار در نوشتن اعمال سطري مقدماتي ‪ ،‬از حرف‪R‬‬
‫‪ ،‬اول كلمه ي ‪ Row‬به معناي سطر به صورت زير استفاده‬
‫مي كنيم‪.‬‬
‫الف) ‪ Ri Rj‬به معناي تعويض سطر‪ i‬ام و سطر‪ j‬ام‬
‫ب) ‪ kR1‬به معناي ضرب سطر‪ i‬ام ماتريس در عدد ناصفر‪k‬‬
‫پ) ‪ Rj+kRi‬به معناي افزودن برابر سطر ام به سطر ام‬

150. 2.3.8قضيه

‫‪2.3.8‬قضيه‬
‫اگر ماتريس وارون پذير ‪ A‬به وسيله ي يك سلسله اعمال‬
‫مقدماتي تبديل به ماتريس واحد شود‪ ،‬آنگاه با انجام همين‬
‫سلسله اعمال سطري مقدماتي بر روي ماتريس واحد ‪،‬‬
‫وارون ماتريس ‪ A‬به دست مي آيد‪.‬‬

151.

‫براي به دست آوردن وارون ماتريس ‪ A‬معموال اعمال سطري‬
‫مقدماتي را به طور هم زمان بر روي ماتريس ‪ A‬و‬
‫ماتريس واحد انجام مي دهند‪.‬لذا ماتريس مركب]‪ [A I‬را‬
‫در نظر گرفته و با انجام يك سلسله اعمال مقدماتي سطري‬
‫آن را تبديل به ]‪ [I B‬ميكنيم‪.‬بنا بر قضيه ي باال‪ ،‬برابر‬
‫وارون ماتريس است‪.‬‬

152. 2.3.11تعريف

‫‪2.3.11‬تعريف‬
‫ترانهاده ماتريس همسازه هاي ماتريس مربع ‪ A‬را ماتريس‬
‫الحاقي ‪ A‬مي ناميم و با نشان مي دهيم ‪ ،‬پس‪:‬‬

153. 2.3.13قضيه

‫‪2.3.13‬قضيه‬
‫اگر ‪ A‬يك ماتريس ‪ n*n‬باشد آنگاه ‪:‬‬

154. 2.3.13قضيه

‫‪2.3.13‬قضيه‬
‫اگر‪، detA=0‬آنگاه وارون وجود دارد و برابر است با‬
‫عكس اين نتيجه نيز درست است‪.‬يعني اگر ‪ A‬وارون پذير باشد‬
‫‪ ،‬آنگاه‬

155. 2.3.17قضيه

‫‪2.3.17‬قضيه‬
‫اگر‪ A‬و‪ B‬دو ماتريس مربع ‪ n*n‬و وارون پذير باشند آنگاه‬
‫الف) ماتريس حاصلضرب وارون پذير است و‬
‫ب) ماتريس ترانهاده ‪ A‬وارون پذير است و‬

156.

‫پ) وارون ماتريس وارون ‪ A‬برابر‪ A‬است ‪ ،‬يعني‬
‫ت) دترمينان وارون ماتريس ‪ A‬برابر با معكوس دترمينان ‪A‬‬
‫است يعني‬

157. فصل سوم: دستگاه معادلات خطي و توابع خطي

‫فصل سوم‪ :‬دستگاه معادالت خطي و توابع خطي‬

158.

‫در اين فصل با استفاده از مفهوم ماتريس و دترمينان روشي‬
‫براي حل و بحث در وجود جوابهاي دستگاه معادالت خطي‬
‫ارائه دهيم‪ .‬سپس استقالال و وابستگي خطي يك مجموعه از‬
‫بردارها را مورد بررسي قرار دهيم‪ .‬در خاتمه ي فصل با‬
‫توابع خطي آشنا مي شويم‪.‬‬

159. 3.1دستگاه معادلات خطي

‫‪3.1‬دستگاه معادالت خطي‬

160.

‫معادله اي به صورت ‪ a1x1+a2x2+…+anxn=0‬با‬
‫مجهول ‪ xn,…,x2,x1‬را يك معادله ي ‪ n‬مجهولي خطي‬
‫مي ناميم‪ n .‬تايي )‪ (x1,x2,…,xn‬از اعداد حقيقي را كه در‬
‫اين معادله صدق كنند يك جواب آن مي ناميم‪.‬‬

161. 3.1.1تعريف

‫‪3.1.1‬تعريف‬
‫مجموعه اي از معادالت خطي‬
‫را يك دستگاه ‪ m‬معادله ي خطي ‪ n‬مجهولي مي ناميم‪.‬‬

162.

‫تايي از اعداد حقيقي را در تمام معادله هاي دستگاه صدق كند‬
‫يك جواب اين دستگاه مي ناميم‪.‬‬

163.

‫اين دستگاه را ميتوان به صورت معادله ي ماتريسي زير‬
‫نوشت‪:‬‬

164.

‫با فرض‬
‫معادله ي ماتريسي اخير به صورت خالصه ي زير در مي‬
‫‪AX=B‬‬
‫آيد‪.‬‬
‫‪A‬را ماتريس ضرايب ‪ X‬را ماتريس مجهولها و‪ B‬را ماتريس‬
‫طرف دوم دستگاه معادالت خطي مي ناميم‪.‬‬

165.

‫توجه كنيد يك دستگاه معادالت خطي ممكن است داراي يك‬
‫جواب منحصر به فرد يا بينهايت جواب باشد ويا اصال‬
‫جوابي نداشته باشد‪.‬‬

166.

‫اينك به معرفي روشهايي براي حل يك دستگاه معادالت خطي‬
‫مي پردازيم‪.‬‬
‫‪ -1‬روش حذف گوسي‬
‫‪ -2‬دستور كرامر‬

167. 3.1.2روش حذف گوسي

‫‪3.1.2‬روش حذف گوسي‬
‫ميتوان نشان داد دو دستگاه معادالت خطي كه يكي از آنها به‬
‫وسيله ي انجام اعمال زير روي معادالت دستگاه ديگري به‬
‫دست آمده باشد داراي جواب يا جوابهاي يكسان هستند‪:‬‬

168.

‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫ضرب يك معادله ي دستگاه در عددي غير صفر‪.‬‬
‫تعويض محل دو معادله ي دستگاه و‬
‫افزودن مضربي از يك معادله به معادله ي ديكر دستگاه‪.‬‬

169.

‫پس براي حل دستكاه ‪ AX=B‬بايد تا جايي كه ممكن است به‬
‫وسيله ي اعمال سطري مقدماتي ماتريس ]‪ [A B‬را به‬
‫ماتريس ساده تري تبديل كنيم تا جوابها به آساني به دست‬
‫آيند‪.‬‬

170. 3.1.6قضيه

‫‪3.1.6‬قضيه‬
‫اگر تعداد مجهولها با تعداد معادله ها ي يك دستگاه معادالت‬
‫خطي برابر باشد (دستگاه ‪ n‬معادالت ‪ n‬مجهولي) و‬
‫ماتريس ضرايب دستگاه وارون پذير باشد آنگاه دستگاه‬
‫همواره داراي يك جواب منحصر به فرد است‪.‬‬

171. 3.1.8دستور كرامر

‫‪3.1.8‬دستور كرامر‬
‫اگر ضرايب يك دستگاه ‪ n‬معادالت ‪ n‬مجهولي وارون پذير‬
‫باشد آنگاه جواب دستگاه برابر است با‬
‫كه درآن ‪ Ai‬ماتريس حاصل از جايگزين كردن‬
‫در ستون ‪i‬ام ماتريس ‪ A‬است‪.‬‬
‫ماتريس ستوني‬
‫فرمول * را دستور كرامر مي ناميم‪.‬‬

172. 3.1.10تعريف

‫‪3.1.10‬تعريف‬
‫اكر در دستگاه ‪ m‬معادله ي ‪ n‬خطي مجهولي طرف دوم تمام‬
‫معادالت صفر باشند دستگاه را همگن مي ناميم‪ .‬در غير‬
‫اين صورت دستگاه را غير همگن مي ناميم‪.‬‬

173.

‫روشن است كه در دستگاه همگن‬
‫همواره ‪ x1=x2=…=xn=0‬يك جواب دستگاه هست‪ .‬اين‬
‫جواب به جواب بديهي دستگاه موسوم است‪.‬‬

174. 3.1.11قضيه

‫‪3.1.11‬قضيه‬
‫دستكاه ‪ n‬معادله ي خطي ‪ n‬مجهولي همگن داراي يك جواب‬
‫غير بديهي ( غير صفر) است‪ .‬اگر و تنها اگر دترمينان‬
‫ضرايب دستگاه صفر باشد‪.‬‬

175. 3.1.13نتيجه

‫‪3.1.13‬نتيجه‬
‫يك دستگاه ‪ m‬معادله ي ‪ n‬خطي مجهولي همگن همواره‬
‫داراي يك جواب غير بديهي ( غير صفر) است اگر‬
‫‪m<n‬‬

176. 3.1.15قضيه

‫‪3.1.15‬قضيه‬
‫اگر‪ X1‬و‪ X2‬دو جواب دستگاه غير همگن ‪ AX=B‬باشند‬
‫آنگاه ‪ X2-X1‬جوابي براي دستگاه همگن ‪ AX=0‬است‪.‬‬

177. 3.1.13نتيجه

‫‪3.1.13‬نتيجه‬
‫دستگاه غير همگن ‪ AX=B‬داراي يك جواب منحصر به فرد‬
‫است اگر و تنها اگر جواب ‪ AX=0‬منحصر به فرد باشد‪.‬‬

178. 3.2استقلال و وابستگي خطي

‫‪3.2‬استقالل و وابستگي خطي‬

179. 3.2.1تعريف

‫‪3.2.1‬تعريف‬
‫مجموعه ي ‪ m‬بردار}‪ {V1,V2,…,Vn‬از عناصر فضاي‬
‫برداري ‪ R‬را مستقل خطي مي ناميم اگر هيچ مجمو عه اي‬
‫از اعداد حقيقي ‪ c1,c2,…,cn‬به‬
‫جز ‪ c1=c2=…=cm=0‬وجود نداشته باشد به طوري كه‬

180.

‫به بيان ديگر مجموعه ي ‪ m‬بردار}‪ {V1,V2,…,Vn‬مستقل‬
‫خطي است تنها جواب معادله ي‬
‫برابر با ‪ c1=c2=…=cm=0‬باشد‪ .‬در غير اين صورت‬
‫اين مجموعه را وابسته ي خطي مي ناميم‪.‬‬

181. 3.3رتبه ي يك ماتريس

‫‪3.3‬رتبه ي يك ماتريس‬

182.

‫در اين بخش به هر ماتريس عدد صحيح و مثبتي به نام رتبه‬
‫ي ماتريس را نسبت مي دهيم‪ .‬با استفاده از اين عدد در‬
‫مورد جوابهاي دستگاههاي معادالت خطي را بررسي مس‬
‫كنيم‪.‬‬

183. 3.3.1تعريف

‫‪3.3.1‬تعريف‬
‫فرض كنيم ‪ A‬ماتريسي ‪ m*n‬باشد‪ .‬حداكثر تعداد سطرهاي‬
‫مستقل خطي ماتريس ‪ A‬را رتبه ي ماتريس ‪ A‬مي ناميم و‬
‫با نشان )‪ r(A‬مي دهيم‪.‬‬

184.

‫به عبارت ديگر اگر‪ R1,R2,…,Rm‬سطرهاي ماتريس ‪A‬‬
‫باشند رتبه ي ‪ a‬برابر با حداكثر تعداد بردارهاي مستقل‬
‫خطي در مجموعه ي}‪ {R1,R2,…,Rm‬است‪.‬‬

185.

‫يك روش تعيين رتبه ي ماتريس ‪ A‬اين است كه بزرگترين‬
‫زير ماتريس مربع ‪ A‬را كه دترمينانش مخالف صفر باشد‬
‫به دست آوريم ‪ ،‬تعداد سطرهاي اين ماتريس برابر رتبه ي‬
‫ماتريس ‪ A‬است‪.‬‬

186. 3.3.6خواص رتبه ي ماتريس

‫‪3.3.6‬خواص رتبه ي ماتريس‬
‫الف) رتبه ي ماتريس واحد ‪ In‬برابر با ‪ n‬است‪ ،‬يعني‪:‬‬
‫ب) رتبه ي ماتريس ‪ A‬با رتبه ي ترانهاده ي ‪ A‬برابر است ‪،‬‬
‫يعني‪:‬‬

187.

‫پ) اگر ‪ A‬ماتريس ‪ n*n‬باشد آنگاه ‪ r(A)=n‬اگر و تنها‬
‫اگر‪ det A=0‬به بيان ديگر‪ r(A)<n‬اگر و تنها اگر‬
‫‪. det A=0‬‬
‫ت) رتبه ي حاصلضرب دو ماتريس همواره نابيشتر از‬
‫كوچكترين رتبه دو ماتريس است ‪ ،‬يعني‪:‬‬

188. 3.3.7نتيجه

‫‪3.3.7‬نتيجه‬
‫اينك با استفاده از مفهوم رتبه ي ماتريس به طور خالصه به‬
‫بررسي جوابهاي دستگاه معادالت خطي ‪ AX=B‬در‬
‫حالتهاي مختلف مي پردازيم‪.‬‬
‫فرض مي كنيم ماتريس ضرايب ‪ ، A‬باشد‪ m.‬برابر با تعداد‬
‫معادالت و‪ n‬مساوي با تعداد مجهولهاي دستگاه است‪ .‬رتبه‬
‫ي ماتريس مركب ]‪ [A B‬را با )‪ r(A B‬نشان مي دهيم‪.‬‬

189.

‫الف) اگر)‪ r(A B)=r(A‬آنگاه دستگاه داراي حداقل يك جواب‬
‫است‪.‬‬
‫ب) اگر ‪ r(A B)=r(A)=n‬آنگاه دستگاه داراي يك جواب‬
‫منحصر به فرد است‪.‬‬
‫پ) اگر‪ r(A B)=r(A) <n‬آنگاه دستگاه داراي بي نهايت‬
‫جواب و مجمو عه سطر هاي ماتريس ‪ A‬وابسته ي خطي‬
‫است‪.‬‬
‫ت) اگر )‪ r(A B)=r(A‬آنگاه دستگاه جواب ندارد‪.‬‬

190. 3.4توابع خطي

‫‪3.4‬توابع خطي‬

191.

‫در اين بخش به مطالعه ي توابع خطي كه توابعي از يك‬
‫فضاي برداري به فضاي برداري ديگري هستند مي‬
‫پردازيم‪.‬‬

192. 3.4.1تعريف

‫‪3.4.1‬تعريف‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫تابع ‪ n‬متغيره ي ‪ f‬از فضاي برداري ‪ R‬به فضاي برداري‬
‫‪R‬را كه به ازاي هر عدد حقيقي ‪ r‬و هر دو‪ n‬تايي‬
‫‪n‬‬
‫از ‪ R‬در دو شرط زير صدق مي كند‪ ،‬يك تابع خطي مي‬
‫ناميم‪.‬‬

193. 3.4.3قضيه

‫‪3.4.3‬قضيه‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫تابع ‪ f: R R‬خطي است‪.‬اگر و تنها اگر هر مؤلفه مقدا رتابع‬
‫‪f‬در‬
‫به صورت يك تركيب خطي از اعداد‬
‫‪ x1,x2,…,xn‬باشد‪.‬‬

194.

‫‪m‬‬
‫از اين قضيه نتيجه مي شود كه اگر ‪R‬‬
‫شد آنگاه اعداد حقيقي‬
‫وجود دارند به طوري كه‬
‫‪n‬‬
‫‪ f : R‬تابع خطي با‬

195.

‫بنا بر اين ‪ A=(aij)m*n‬قرار دادن مقدار تابع خطي ‪f‬‬
‫‪n‬‬
‫را ميتوان به ازاي هر‪ x R‬به صورت ماتريسي‬
‫‪F(x)=Ax‬‬
‫نوشت‪.‬ماتريس‪ A‬را يك ماتريس نمايشگر تابع خطي ‪F‬ميناميم‪.‬‬

196. 3.4.6تعريف

‫‪3.4.6‬تعريف‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫تابع ‪ F : R R‬را كه براي هر به صورت زير تعريف مي‬
‫شود‪ ،‬تابع صفر مي ناميم‪.‬‬
‫تعريف ميشود ‪.‬تابع هماني مي ناميم‪.‬‬

197. 3.4.7تعريف

‫‪3.4.7‬تعريف‬
‫‪n‬‬
‫تابع ‪R‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ I: R‬را كه براي هر ‪X Є R‬به صورت‬

198. 3.4.8تعريف

‫‪3.4.8‬تعريف‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫توابع خطي ‪ f : R R‬و ‪ g : R R‬را در نظر مي گيريم‪:‬‬
‫‪ (1‬مجموع ‪ f‬و‪ g‬را با ‪ f+g‬نشان ميدهيم و به صورت زير‬
‫تعريف مي كنيم‪:‬‬
‫)‪(f+g)(x)=f(x)+g(x‬‬
‫‪ )2‬فرض ميكنيم ‪ k‬عددي حقيقي باشد‪.‬حاصلضرب عدد‬
‫حقيقي ‪ k‬در‪ f‬را با نشان ‪kf‬ميدهيم و به صورت زير مي‬
‫نويسيم‪.‬‬
‫)‪(kf)(x)=k f(x‬‬

199. فصل چهارم:توابع چند متغيره

‫فصل چهارم‪:‬توابع چند متغيره‬

200.

‫در فصل هاي قبل با توابعي سر و كار داشتيم كه تنها وابستهبه‬
‫يك متغير بودند‪ .‬اين نوع توابع را يك متغيره مي ناميم‪ .‬ولي‬
‫اكثر توابع در اقتصاد و مديريت به بيش از يك متغير‬
‫وابسته اند‪.‬‬

201.

‫فرض كنيد هزينه ي ماهانه ي خانواده اي بستگي به مقدار‬
‫مصرف آنها از مواد غذايي‪،‬پوشاك‪،‬خدمات مسكوني و‬
‫خدمات بهداشتي و درماني دارد‪.‬پس مس توان گفت تابع‬
‫هزينه ي اين خانواده يك تابع ‪ 4‬متغيره است‪.‬‬

202. 4.1توابع چند متغيره

‫‪4.1‬توابع چند متغيره‬

203.

‫‪n‬‬
‫تابع ‪ f‬كه قلمرو آن زير مجموعه اي از‪ R‬و برد آن زير‬
‫مجموعه اي از اعداد حقيقي باشد‪.‬يك تابع ‪ n‬متغيره مي‬
‫ناميم‪.‬‬

204.

‫اگر‪ f‬يك تابع ‪ n‬متغيره باشد هر عنصر قلمرو آن ‪ n ،‬تايي‬
‫)‪(x1.x2,…,xn‬است ‪ ،‬مقدار تابع به ازاي اين عنصر‬
‫قلمرو را با )‪ f(x1.x2,…,xn‬نشان مي دهيم‪.‬‬

205. 4.1.3تعريف

‫‪4.1.3‬تعريف‬
‫‪n‬‬
‫اگر ‪ f,g‬دو تابع ‪ n‬متغيره باشند آنگاه براي هر‪ x‬از‪ R‬و هر‬
‫عدد حقيقي ‪ ،k‬اعمال جبري زير تعريف مي شود‪.‬‬

206. 4.2حد و پيوستگي توابع چند متغيره

‫‪4.2‬حد و پيوستگي توابع چند‬
‫متغيره‬

207. 4.2.1تعريف

‫‪4.2.1‬تعريف‬
‫فرض مي كنيم ‪ f‬يك تابع دو متغيره باشد مي گوييم حد تابع‬
‫‪f‬در نقطه ي )‪ (a,b‬برابر با ‪L‬است ‪ .‬هنگامي كه نقطه‬
‫)‪ (x,y‬به نقطه ي )‪ (a,b‬نزديك و نزديكتر مي شود‬
‫مقدار)‪ f(x,y‬به عدد حقيقي ‪ L‬نزديك و نزديكتر شود ‪.‬‬

208.

‫مي توان نشان داد كه عدد حقيقي ‪ L‬در صورت وجود‬
‫منحصر به فرد است و لذا ‪ L‬را با نماد زير نشان مي دهيم‪.‬‬

209.

‫حد توابع سه متغيره و به طور كلي ‪ n‬متغيره نيز به همين‬
‫صورت تعريف مي شود‪.‬تمام مطالبي كه در اين بخش‬
‫براي توابع دو متغيره عنوان مي شود براي توابع ‪ n‬متغيره‬
‫نيز درست است‪.‬‬

210. 4.2.2قضيه

‫‪4.2.2‬قضيه‬
‫اگر‪ f(x,y)=x , g(x,y)=y‬آنگاه‬
‫الف)‬

211.

‫ب)اگر‪ k(x,y)=k‬تابعي ثابت باشد آنگاه‬
‫‪Lim k(x,y)=k‬‬
‫)‪(x,y) (a,b‬‬
‫كه در آن ‪ k‬عددي ثابت است‪.‬‬

212. 4.2.3قضيه

‫‪4.2.3‬قضيه‬
‫اگر حد تابع دو متغيره ي ‪ f‬در نقطه ي)‪ (a,b‬برابر‪ L‬باشد‬
‫آنگاه‬

213.

‫‪ lim‬آنگاه حد تابع ‪f‬‬
‫‪f(x.y)=L‬‬
‫اگر‬
‫كه‬
‫كند‬
‫مي‬
‫بيان‬
‫قضيه‬
‫اين‬
‫)‪(x,y) (a,b‬‬
‫وقتي كه نقطه ي )‪ (x,y‬در مسيرهاي ‪ y=b‬يا ‪ x=a‬به تقطه‬
‫ي ميل كند برابر با ‪ L‬است‪.‬‬

214. 4.2.5قضيه

‫‪4.2.5‬قضيه‬
‫اگر حد تابع ‪ f‬هنگامي )‪ (x,y‬كه بر روي دو منحني متمايز به‬
‫نقطه ي)‪ (a,b‬نزديك مي شود متفاوت باشد آنگاه حد تابع ‪f‬‬
‫در اين نقطه وجود ندارد‪.‬‬

215. 4.2.6نتيجه

‫‪4.2.6‬نتيجه‬
‫اگر‬
‫آنگاه تابع ‪ f‬در نقطه ي )‪ (a,b‬حد ندارد‪.‬‬

216.

‫ابتدا ‪ x‬را ثابت‬
‫توجه كنيد در‬
‫را در صورت وجود‬
‫فرض كرده‬
‫محاسبه مي كنيم‪.‬سپس حد عبارت به دست آمده را كه تابعي‬
‫از‪ x‬است وقتي كه ‪ x a‬پيدا مي كنيم‪.‬‬

217. 4.2.8قضيه

‫‪4.2.8‬قضيه‬
‫اگر حد توابع دو متغيره ي‪ f‬و‪ g‬در نقطه ي )‪(a,b‬اگر حد‬
‫توابع دو متغيره ي‪ f‬و‪ g‬در نقطه ي )‪(a,b‬وجود داشته باشد‬
‫آنگاه‬
‫‪)1‬حد مجموع دو تابع برابر با مجموع حدهاي آنها است‪،‬‬
‫يعني‪:‬‬

218.

‫‪)2‬براي هر عدد ثابت ‪k‬‬

219.

‫‪)3‬حد تفاضل دو تابع برابر با حدهاي آنهاست يععني‪:‬‬

220.

‫‪)4‬حد حاصلضرب دو تنبع برابر با حاصلضرب حدهاي‬
‫آنهاست‪.‬يعني‪:‬‬

221.

‫‪ )5‬حد خارج قسمت دو تابع برابر با خارج قسمت حدهاي‬
‫آنهاست مشروط بر اينكه حد تابع مخرج مخالف صفر باشد‪،‬‬
‫يعني‪:‬‬

222. 4.2.10قضيه

‫‪4.2.10‬قضيه‬
‫اگر‬
‫باشد آنگاه‪:‬‬
‫و تابع يك متغيره ‪ g‬در‪ L‬پيوسته‬

223. 4.2.12تعريف

‫‪4.2.12‬تعريف‬
‫تابع دو متغيره ي ‪f‬را در نقطه ي )‪ (a,b‬پيوسته مي ناميم اگر‬
‫شرايط زير بر قرار باشد‪.‬‬
‫‪)1‬تابع ‪ f‬در نقطه ي )‪ (a,b‬تعريف شده باشد يعني )‪(a,b‬‬
‫‪f‬معين باشد‪.‬‬
‫‪)2‬‬
‫وجود داشته باشد‪.‬‬

224.

‫‪)3‬‬
‫در صورتي كه يكي از اين شرايط بر قرار نباشد تابع ‪ f‬را‬
‫در نقطه ي )‪ (a,b‬نا پيوسته مي ناميم‪.‬‬

225. 4.2.14قضيه

‫‪4.2.14‬قضيه‬
‫اگر توابع دو متغيره ي ‪ f‬و‪ g‬در نقطه ي )‪ (a,b‬پيوسته باشند‬
‫(‪k‬عددي حقيقي)‬
‫آنگاه تواب‬
‫(با شرايط ‪ )g(a,b)=0‬نيز در نقطه ي )‪ (a,b‬پيوسته اند‪.‬‬

226. 4.2.16قضيه

‫‪4.2.16‬قضيه‬
‫اگر تابع دو متغيره ي ‪ f‬در نقطه ي )‪ (a,b‬و تابع يك متغيره‬
‫ي ‪ g‬در )‪ f (a,b‬پيوسته باشند آنگاه تابع مركب ‪ gof‬در‬
‫نقطه ي )‪ (a,b‬پيوسته است‪.‬‬

227. 4.3مشتقهاي جزئي

‫‪4.3‬مشتقهاي جزئي‬

228.

‫در اين بخش مفهومي نزديك به مفهوم مشتق توابع يك متغيره‬
‫را در مورد توابع چند متغيره ارائه مي دهيم‪ .‬از اين مفهوم‬
‫براي شناخت بهتر توابع چند متغيره استفاده مي كنيم‪.‬‬

229. 4.3.1تعريف

‫‪4.3.1‬تعريف‬
‫فرض مي كنيم ‪ f‬تابعي از دو متغير‪ x‬و‪ y‬باشد‪ .‬اگر‬
‫وجود داشته باشد مقدار اين حد را مشتق جزيي ‪ f‬نسبت به‬
‫متغير‪ x‬در نقطه ي )‪ (x,y‬ميناميم‪.‬و آن را با نمادهاي ‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫(بخوانيد روند )‪ f (x,y‬به‬
‫)‪ (x,y‬يا‬
‫روند‪x‬‬
‫)نشان مي دهيم‪.‬‬

230.

‫به همين ترتيب مشتق جزيي تابع ‪f‬‬
‫نقطه ي)‪ (x,y‬به صورت‬
‫نسبت به متغير‪ y‬در‬
‫تعريف مي شود‪.‬مشروط بر اينكه اين حد وجود داشته باشد‪.‬‬

231.

‫اگر )‪ f x(x,y‬وجود داشته باشد‪ f x‬تابعي از دو متغير‪ x‬و‪ y‬است‬
‫نشان ميدهيم‪.‬‬
‫اين تابع را به صورت خالصه‬
‫نيز به همين ترتيب تعريف مي شود‪.‬‬
‫تابع‬
‫توابع ‪ f x‬و‪ f y‬را مشتقهاي جزيي مرتبه ي اول ‪ f‬مي ناميم‪.‬‬

232.

‫در اينجا نماد ∂ را به جاي ‪ d‬برتي تمايز مشتقهاي جزيي از‬
‫مشتق معمولي به كار مي بريم‪.‬‬
‫براي محاسبه ي )‪ f x(x,y‬در تابع )‪ f (x,y‬متغير‪ y‬را ثابت تلقي‬
‫مي كنيم‪ .‬و از‪ f‬نسبت به متغير‪ x‬مانند يك تابع يك متغيره‬
‫مشتق مي گيريم‪.‬‬

233.

‫به همين ترتيب در محاسبه ي )‪ f x(x,y‬متغير را در تابع)‪f(x,y‬‬
‫ثابت در نظر گرفته و از‪ f‬نسبت به متغير ‪ y‬مانند يك تابع‬
‫يك متغيره مشتق مي گيريم‪.‬‬

234. 4.3.4مشتقهاي جزيي مرتبه هاي بالاتر

‫‪4.3.4‬مشتقهاي جزيي مرتبه هاي باالتر‬
‫نظير مفهوم مشتقهاي مرتبه هاي باالتر براي توابع يك متغيره‬
‫مي توان مشتقهاي جزيي مرتبه هاي باالتررا براي توابع‬
‫‪n‬متغيره تعريف كرد‪ .‬اگر‪ f‬تابعي از دو متغير‪ x‬و‪ y‬باشد‬
‫آنگاه‪ f x‬و‪ f y‬نيز توابعي از متغيرهاي ‪ x‬و‪ y‬هستند‪.‬پس مي‬
‫توان مشتقهاي جزيي توابع ‪ fx‬و‪ f‬را تعريف كرد‪.‬‬
‫‪y‬‬

235.

‫اين مشتقها را مشتقهاي جزيي مرتبه دوم تابع ‪ f‬مي ناميم‪.‬‬
‫مشتقهاي جزيي مرتبه دوم تابع ‪ f‬عبارتند از‪:‬‬

236.

‫الزم به تذكر است كه ترتيب نوشتن متغيرهاي ‪ x‬و‪ y‬در‪ f x y‬بر‬
‫‪2‬‬
‫خالف ترتيب آنها در نماد‬
‫‪∂ f‬‬
‫‪∂y ∂x‬‬
‫است‪.‬‬

237. 4.3.6قضيه

‫‪4.3.6‬قضيه‬
‫فرض مي كنيم ‪ f‬تابعي با متغير هاي ‪ x‬و‪ y‬باشد‪ .‬اگر توابع‬
‫‪ f xy‬و ‪ f yx‬در نقطه ي )‪ (a,b‬پيوسته باشد آنگاه‪:‬‬

238. 4.4ديفرانسل كل و مشتقگيري ضمني

‫‪4.4‬ديفرانسل كل و مشتقگيري ضمني‬

239. 4.4.1تعريف

‫‪4.4.1‬تعريف‬
‫فرض مي كنيم ‪ f‬تابعي با متغير هاي ‪ x‬و‪ y‬باشد‪ .‬اگر‬
‫مشتقهاي جزيي مرتبه اول ‪ f‬وجود داشته باشد ديفرانسيل‬
‫كل تابع ‪ f‬را با نشان ‪ df‬ميدهيم و به صورت زير تعريف‬
‫مي كنيم كه در آن ‪ dx‬و ‪ dy‬به ترتيب ديفرانسيل متغير هاي‬
‫‪ x‬و‪ y‬است‪.‬‬

240.

‫ديفرانسيل كل تابع بيش از دو متغيره نيز به همين ترتيب‬
‫تعريف مي شود‪ ،‬اگر‪ u‬تابعي از چهار متغير‪ z، y ،x‬و‪t‬‬
‫باشد آنگاه ديفرانسيل كل تابع برابر است با‪:‬‬

241. 4.4.3نكته

‫‪4.4.3‬نكته‬
‫فرض مي كنيم ‪ f‬تابعي با متغير هاي ‪ x‬و‪ y‬باشد‪ .‬اگر متغير‬
‫هاي ‪ x‬و‪ y‬نيز توابع يك متغيره ي مشتقپذيري از متغير‬
‫ديگري مانند ‪ t‬باشند آنگاه داريم‪:‬‬

242. 4.4.6تعريف

‫‪4.4.6‬تعريف‬
‫فرض مي كنيم ‪ f‬تابعي با متغير هاي ‪ x‬و‪ y‬باشد‪ .‬اگر‬
‫مشتقهاي جزيي مرتبه ي اول ‪ f‬بر روي ناحيه اي پيوسته‬
‫باشد و متغير هاي ‪ x‬و‪ y‬توابعي ازمتغير ديگري مانند ‪t‬‬
‫باشند آنگاه مشتق تابع ‪ f‬نسبت به ‪ t‬را با ‪ df/dt‬نشان مي‬
‫دهيم و بنابراين تعريف برابر است با‬
‫توجه كنيد كه در واقع ‪f‬تنها تابعي از متغير ‪ t‬است‪.‬‬

243. 4.4.8قاعده زنجيري براي توابع چند متغيره

‫‪4.4.8‬قاعده زنجيري براي توابع چند متغيره‬
‫فرض مي كنيم ‪ f‬تابعي با متغير هاي ‪ x‬و‪ y‬باشد‪ .‬اگر متغير‬
‫هاي ‪ x‬و‪ y‬توابعي از دو متغير‪u‬و‪ v‬باشند آنگاه مشتقهاي‬
‫جزيي مرتبه ي اول ‪ f‬نسبت به متغير هاي ‪ u‬و‪ v‬برابرند‬
‫با‪:‬‬

244.

‫قاعده زنجيري براي توابع بيش از دو متغير كامال مشابه‬
‫است‪.‬‬

245. 4.4.10مشتقگيري ضمني

‫‪4.4.10‬مشتقگيري ضمني‬
‫به كمك مفهوم مشتقهاي جزيي مي توان دستور ساده اي براي‬
‫مشتقگيري از توابع ضمني ( غير صريح) دو متغيره به‬
‫دست آورد‪.‬‬

246.

‫فرض مي كنيم معادله ي ‪، f(x,y)=0‬متغير‪ y‬را به صورت‬
‫تابعي از‪ x‬به طور ضمني تعريف كند‪∂f/ ∂x , ∂f/ ∂y ،‬‬
‫وجود داشته باشند و ‪ ∂f/ ∂y =0‬آنگاه به دست مي آوريم‪:‬‬

247. 4.4.12مشتقهاي جزيي توابع ضمني

‫‪4.4.12‬مشتقهاي جزيي توابع ضمني‬
‫فرض مي كنيم تابع دو متغيره ي )‪ z=f(x,y‬در معادله ي‬
‫)‪F(x,y,z‬صدق كند‪.‬پس اگر‪ ∂F/∂x=0‬آنگاه‪:‬‬
‫)‪Fx(x,y,z‬‬
‫)‪Fz(x,y,z‬‬
‫‪=-‬‬
‫‪∂f/ ∂x‬‬
‫‪∂f/ ∂z‬‬
‫‪∂z/ ∂x=-‬‬

248.

‫به همين ترتيب به دست مي آوريم‬
‫مشروط بر اينكه ‪∂F/∂x=0‬‬

249. 4.5ماكسيمم و مينيمم توابع دو متغيره

‫‪4.5‬ماكسيمم و مينيمم توابع دو متغيره‬

250.

‫همهنطور كه از مشتقهاي اول و دوم يك تابع يك متغيره براي‬
‫تعيين ماكسيمم و مينيمم آن استفاده مي كرديم از مشتقهاي‬
‫جزيي مرتبه ي اول و دوم مي توان براي يافتن ماكسيمم و‬
‫مينيمم توابع چند متغيره استفاده كنيم‪.‬‬

251. 4.5.1تعريف

‫‪4.5.1‬تعريف‬
‫فرض مي كنيم ‪ f‬تابعي با متغير هاي ‪ x‬و‪ y‬باشد‪ .‬در اين‬
‫صورت‪:‬‬
‫الف) )‪ f(a,b‬مقدار ماكسيمم (مطلق) ‪f‬مي ناميم‪ .‬اگر براي‬
‫هر)‪ (x,y‬از قلمرو‪ f‬داشته باشيم‪:‬‬
‫)‪F(x,y)<=f(a,b‬‬

252.

‫ب) )‪ f(a,b‬مقدارمينيمم (مطلق) ‪f‬مي ناميم‪ .‬اگر براي هر)‪(x,y‬‬
‫از قلمرو‪ f‬داشته باشيم‪:‬‬
‫)‪F(x,y)>=f(a,b‬‬

253. 4.5.2تعريف

‫‪4.5.2‬تعريف‬
‫فرض مي كنيم ‪ f‬تابعي با متغير هاي ‪ x‬و‪ y‬باشد‪ .‬در اين‬
‫صورت‪:‬‬
‫الف) مي گوييم ‪ f‬تابع در)‪ (a,b‬داراي يك ماكسيمم نسبي است‪.‬‬
‫اگر دايره به مركز )‪ (a,b‬در قلمرو‪ f‬وجود داشته باشد به‬
‫طوري كه به ازاي هر)‪ (x,y‬در درون اين دايره داشته‬
‫باشيم‪:‬‬
‫)‪f(x,y)<=f(a,b‬‬

254.

‫ب) مي گوييم ‪ f‬تابع در)‪ (a,b‬داراي يك مينيمم نسبي است‪.‬‬
‫اگر دايره به مركز )‪ (a,b‬در قلمرو‪ f‬وجود داشته باشد به‬
‫طوري كه به ازاي هر)‪ (x,y‬در درون اين دايره داشته‬
‫باشيم‪:‬‬
‫)‪f(x,y)>=f(a,b‬‬

255. 4.5.4قضيه

‫‪4.5.4‬قضيه‬
‫فرض مي كنيم تابع دو متغيره ‪ f‬در)‪ (a,b‬يك ماكسيمم يا مينيمم‬
‫نسبي دارد‪.‬اگر مشتقهاي جزيي مرتبه ي اول ‪ f‬در )‪(a,b‬‬
‫موجود باشند آنگاه‪:‬‬
‫‪Fx(a,b)=0‬‬
‫‪Fy(a,b)=0‬‬

256.

‫از اين قضيه نتيجه مي شود كه اگر تابع ‪f‬در)‪ (a,b‬يك ماكسيمم‬
‫يا مينيمم نسبي داشته باشد آنگاه )‪ (a,b‬يك جواب دستگاه دو‬
‫مجهولي زير است‪:‬‬

257.

‫هر جواب اين دستگاه را (نظير توابع يك متغيره ) يك نقطه‬
‫ي بحراني تابع ‪ f‬ميناميم‪.‬توجه كنيد كه نقطه ي )‪ (c,d‬ممكن‬
‫است يك نقطه ي بحراني ‪ f‬باشد ولي تابع ‪ f‬در اين نقطه‬
‫ماكسيمم و مينيمم نسبي داشته باشد‪.‬‬

258.

‫اگر )‪ Fx(a,b)= Fy(a,b‬ولي تابع ‪ F‬در(‪ (a,b‬ماكسيمم يا‬
‫مينيمم نسبي نداشته باشد مي گوييم تابع ‪ F‬در (‪ (a,b‬داراي‬
‫يك نقطه ي زين اسبي است‪.‬‬

259.

‫معموال با استفاده از تعريف تشخيص اينكه يك نقطه ي بحراني‬
‫تابع دو دو متغيره ي ‪ F‬ماكسيمم است يا مينيمم مشكل است‬
‫‪.‬اما به كمك مشتقهاي جزيي مرتبه ي دوم توابع يك يك‬
‫متغيره قادر به اين امر هستيم‪.‬‬

260. 4.5.8آزمون مشتق دوم

‫‪4.5.8‬آزمون مشتق دوم‬
‫فرض مي كنيم ‪ f‬تابعي با متغير هاي ‪ x‬و‪ y‬باشد‪.‬و‬
‫‪ Fx(a,b)= Fy(a,b)=0‬همچنين فرض مي كنيم مشتقهاي‬
‫جزيي ‪ F‬درون دايره اي به مركز(‪ (a,b‬پبوسته باشند و‬

261.

‫در اين صورت‬
‫الف) اگر‪ ∆ (a,b)>0‬و‪ Fxx(a,b)<0‬آنگاه ‪ F‬در)‪(a,b‬ماكسيمم‬
‫نسبي دارد‪.‬‬
‫ب) اگر‪ ∆ (a,b)>0‬و‪ Fxx(a,b)>0‬آنگاه ‪ F‬در)‪(a,b‬مينيمم‬
‫نسبي دارد‪.‬‬

262.

‫پ) اگر‪ ∆ (a,b)>0‬آنگاه ‪ F‬در)‪(a,b‬يك نقطه ي زين اسبي‬
‫دارد ‪ .‬به عبارت ديگر ماكسيمم و مينيمم ندارد‪.‬‬
‫ت) اگر‪ ∆ (a,b)=0‬از اين آزمون نتيجه اي به دست نمي آيد‪.‬‬

263.

‫دقت كنيد كه اگر‪ ∆ (a,b)>0‬آنگاه حاصلضرب‬
‫)‪ fxx(a,b)fyy(a,b‬مثبت است‪.‬پس )‪fxx(a,b‬و)‪ fyy(a,b‬هم‬
‫عالمت مي باشند ‪.‬در نتيجه در بندهاي الف و ب آ زمون‬
‫مشتق دوم ميتوان )‪ fyy(a,b‬را جايگزين )‪ fxx(a,b‬نمود‪.‬‬

264. 4.6ماكسيمم و مينيمم توابع نسبت به شرايط داده شده

‫‪4.6‬ماكسيمم و مينيمم توابع نسبت به‬
‫شرايط داده شده‬

265.

‫در اكثر مسايل مديريت و اقتصاد تعيين ماكسيمم و مينيمم يك‬
‫تابع چند متغيره با توجه به يك يا چند شرط صورت مي‬
‫گيرد‪.‬‬

266.

‫براي مثال فرض كنيد هدف يك مصرف كننده به حداكثر‬
‫رسانيدن مطلوب در مصرف دو كاالي ‪1‬و‪ 2‬است‪ .‬فرض‬
‫كنيد قيمت اين دو كاال به ترتيب برابر با‪ p1‬و‪ p2‬ميزان‬
‫مصرف او از اين دو كاال به ترتيب برابر با ‪x1‬و‪x2‬‬
‫باشد‪.‬اما اين مصرف كننده محدوديتهايي نيز دارد‪.‬‬

267.

‫يكي از محدوديتها ميزان درآمد او است‪ .‬پس مطلوب است اين‬
‫مصرف كننده تابغي از ميزان استفاده او از اين دو كاال‬
‫بوده و ميزان مخارج مصرفي او از اين دو كاال بايد با‬
‫ميزان درآمد او نيز برابر باشد‪.‬به بيان ديگر ميتوان گفت‬
‫كه اين مصرف كننده ميخواهد مطلوبيت خود را با ت‪.‬جه‬
‫به محدوديت درآمد به حد اكثر برساند‪.‬‬

268.

‫پس بايد ماكسيمم تابع‬
‫)‪U=f(x1,x2‬‬
‫را نسبت به شرط (محدوديت)‬
‫‪P1x1+p2x2=y‬‬
‫پيدا كنيم كه در آن )‪ U=f(x1,x2‬تابع مطلوب است‪.‬‬

269.

‫به دو روش مي توان اين كار را انجام داد‪ .‬يكي به روش‬
‫جايگزيني و ديگري به روش الگرانژ ‪.‬اين دو روش را در‬
‫زير معرفي مي كنيم‪.‬‬

270. 4.6.1روش جايگزيني

‫‪4.6.1‬روش جايگزيني‬
‫يكي از روشهاي به دست آوردت ماكسيمم و مينيمم توابع‬
‫نسبت به شرايط داده شده از طريق جايگزين كردن تلبع‬
‫محدوديت ( شرايط داده شده) در تابع هدف است‪ .‬بدين‬
‫ترتيب مسئله تبديل به مسئله ي ماكسيمم يا مينيمم كردن يك‬
‫تابع بدون محدوديت ميشود‪.‬‬

271. 4.6.3روش لاگرانژ

‫‪4.6.3‬روش الگرانژ‬
‫ميخواهيم ماكسيمم يا مينيمم تابع دو متغيره ي )‪ f(x,y‬را با‬
‫محدوديت ‪ g(x,y)=0‬بيابيم‪.‬متغير جديد‪ λ‬موسوم به ضريب‬
‫الگرانژ را در نظر مي گيريم با استفاده از متغير ‪ λ‬تابع‬
‫جديدي به نام تابع الگرانژ را به صورت زير تعريف‬
‫ميكنيم‪.‬‬
‫)‪F(x,y, λ)=f(x,y)- λg(x,y‬‬

272.

‫پس اگر‪ f‬در)‪ (a,b‬ماكسيمم يا مينيمم داشته باشيم آنگاه ‪λ =λ0‬‬
‫وجود دارد به طوري كه )‪ (a,b, λ‬يك جواب دستگاه سه‬
‫معادله سه مجهولي زير است‪.‬‬

273. 4.6.5شرط كافي براي وجود ماكسيمم و مينيمم توابع نسبت به شرايط داده شده

‫‪4.6.5‬شرط كافي براي وجود ماكسيمم و مينيمم‬
‫توابع نسبت به شرايط داده شده‬
‫فرض مي كنيم تابع دو متغيره ي )‪ f(x,y‬تحت‬
‫محدوديت ‪ g(x,y)=0‬داده شده باشد و) ‪ F(x,y, λ‬تابع‬
‫الگرانژ متناظر باشد ‪ .‬ثابت ميشود كه شرط كافي براي‬
‫وجود‬

274.

‫الف) ماكسيمم اين است كه‬

275.

‫ب) مينيمم اين است كه‬

276. 4.6.6نكته

‫‪4.6.6‬نكته‬
‫روش الگرانژ را ميتوان براي تابع ‪ n‬متغيره )‪f(x1,x2,…,xn‬‬
‫با تابع محدوديت )‪ i=1,2,…,n gi(x1,x2,…,xn‬كه در آن‬
‫تعميم داد‪.‬‬

277.

‫در اين صورت تابع الگرانژ عبارتند از‬
‫از مساوي صفر قرار دادن مشتقهاي جزيي تابع الگرانژ‬
‫دستگاهي شامل ‪ n+k‬معادله ي ‪ n+k‬مجهولي به دست مي‬
‫آيد‪.‬‬

278. فصل پنجم:معادلات ديفرانسيل

‫فصل پنجم‪:‬معادالت ديفرانسيل‬

279.

‫حل برخي از مسايل در مديريت ئ اقتصاد منجر به بررسي‬
‫معادله اي بين يك تابع مجهول و مشتقهاي آن مي شود‪.‬چنين‬
‫معادله اي را يك معادله ي ديفرانسيل مي ناميم‪.‬در اين فصل‬
‫با معرفي چند نوع معادله ي ديفرانسيل ساده روش حل آنها‬
‫را مطالعه مي كنيم‪.‬‬

280. 5.1آشنايي با معادلات ديفرانسيل

‫‪5.1‬آشنايي با معادالت ديفرانسيل‬

281. 5.1.1تعريف

‫‪5.1.1‬تعريف‬
‫فرض كنيد ‪ y‬تابعي از‪ x‬باشد هر معادله اي به‬
‫)‪(n‬‬
‫صورت ) ‪ F(x,y,y,…,y‬را كه ‪ F‬در آن تابعي از‪n+2‬‬
‫متغير‪ y ، x‬و ‪ n‬مشتق اول ‪ y‬نسبت به‪ x‬باشد يك معادله ي‬
‫ديفرانسيل معمولي مرتبه ي ‪ n‬ام مي ناميم‪.‬‬

282.

‫توجه كنيد منظور)‪ y (n‬از مشتق ‪ n‬ام ‪y‬نسبت به ‪ x‬است و مرتبه‬
‫ي يك معادله ي ديفرانسيل برابر با مرتبه ي باالترين مشتق‬
‫موجود در معادله است‪.‬‬

283. 5.1.2تعريف

‫‪5.1.2‬تعريف‬
‫تابع )‪ y=f(x‬را يك جواب معادله ي ديفرانسيل‬
‫)‪(n‬‬
‫‪F(x,y,y,…,y )=0‬‬
‫در فاصله ي‪ I‬مي ناميم‪.‬در صورتي كه به ازاي هر‪ x‬متعلق‬
‫به‪ I‬تابع )‪y=f(x‬و مشتق هاي آن در معادله صدق كنند‪.‬‬

284.

‫مجموعه ي تمام جوابهاي معادله را جواب عمومي معادله مي‬
‫ناميم‪.‬‬
‫منظور از حل يك معادله ي ديفرانسيل به دست آوردن جواب‬
‫عمومي آن است‪.‬‬

285. 5.1.4تعريف

‫‪5.1.4‬تعريف‬
‫معادله ي ديفرانسيل مرتبه ي ام‬
‫با شرايط اوليه‬
‫را كه در آن ها اعداد معيني هستند يك مسئله با مقادير اوليه مي ناميم‪.‬‬

286.

‫توجه كنيد كه براي معادله ي ديفرانسيل مرتبه ي ‪ n‬ام ‪ n‬شرط‬
‫اوليه وجود دارد ‪.‬اين شرايط مقادير تابع مجهول و )‪(n-1‬‬
‫مشتق اول آن را در نقطه ي ‪ x0‬معين مي كنند‪.‬مي توان‬
‫نشان داد كه با وضع محدوديتهايي بر‪ F‬يك مسئله با مقادير‬
‫اوليه داراي يك مجواب منحصر به فرد است‪ .‬اين جواب را‬
‫جواب خصوصي مسئاله مي ناميم‪.‬‬

287. 5.1.7تعريف

‫‪5.1.7‬تعريف‬
‫يك معادله ي ديفرانسيل با مشتقات جزيي معادله ايست كه‬
‫شانل يك تابع مجهول چند متغيره (بيش از يك متغير) همرام‬
‫با مشتقات جزيي آن باشد‪.‬‬

288. 5.2معادلات ديفرانسيل جدايي پذير

‫‪5.2‬معادالت ديفرانسيل جدايي پذير‬

289.

‫در اين بخش روش حل معادالت ديفرانسيلي را بررسي مي‬
‫كنيم كه مي توان متغيرهاي آنها را از يكديگر جدا كرد‪.‬‬

290. 5.2.1تعريف

‫‪5.2.1‬تعريف‬
‫معادله ي ديفرانسيل مرتبه ي اول ‪ p(x)dx+q(y)dy=0‬را‬
‫كه در آن ‪ p‬و‪ q‬دو تابع حقيقي به ترتيب در فاصله هاي ‪I1‬‬
‫و‪ I2‬پيوسته اند يك معادله ي ديفرانسيل جدايي پذير مي‬
‫ناميم‪.‬‬

291.

‫با انتگرالگيري مستقيم از اين معادله جواب عمومي آن به‬
‫صورت زير به دست مي آيد‪.‬‬
‫‪∫p(x)dx+ ∫q(y)dy=c‬‬