Решение тригонометрических уравнений и неравенств

1.

«Без уравнения нет математики как
средства познания природы»
академик П. С.Александров
Решение тригонометрических
уравнений

2. Установите соответствие(математическое лото):

1
sin x = 0
2
cos x = -1
3
sin x = 1
4
5
6
7
cos x = 1
tg x = 1
sin x = - 1
cos x = 0
2
2 k , k Z
k , k Z
2 k , k Z
2
2
k , k Z
2 k , k Z
2 k , k Z
4
k , k Z

3. Установите соответствие:

1
sin x = 0
2
cos x = -1
3
sin x = 1
4
5
6
7
cos x = 1
tg x = 1
sin x = - 1
cos x = 0
2
2 k , k Z
k , k Z
2 k , k Z
2
2
k , k Z
2 k , k Z
2 k , k Z
4
k , k Z

4. Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений

• Введение новой переменной.
• Разложение на множители.
• Деление обеих частей уравнения на
cos(mx)
для однородных уравнений
первой степени.
• Деление обеих частей уравнения на
cos2(mx)
для однородных уравнений
второй степени.
• Метод предварительного преобразования
с помощью формул

5. Кто быстрее? Математическая эстафета.

а) sin2x + 4cos x = 2,75;
решение
б) tg x + 3ctg x = 4;
решение
в) 2 sin х · cos х - cos2x = 0;
решение
г) 5 sin2x + sin х · cos х – 2 cos2x = 2.
Д) cos x – sin x=1(решение показать на доске,
желательно несколькими способами)
решение

6.

а) sin2x + 4cos x = 2,75;
1 – cos2x + 4cos x = 2,75;
Пусть cos x = t, │t│≤ 1, тогда
t2 – 4t + 1,75 = 0;
D = 16 - 4·1,75 = 16 – 7 = 9;
( 4) 3
t
2
1
t 2 ,
t 3,5;
1
t
2
Вернёмся к исходной переменной:
1
cos x
2
x
3
2 k , k Z
Ответ : {
3
2 k / k Z }

7.

б) tg x + 3ctg x = 4;
3
tgx
4;
tgx
Пусть tg x = t, тогда
t2 – 4t + 3 = 0;
По свойству коэффициентов квадратного уравнения (a+b+c = 0):
t 1,
t 3;
Вернёмся к исходной переменной:
tgx 1,
tgx 3;
x 4 k , k Z ,
x arctg 3 n, n Z ;
Ответ : { k ,
4
arctg 3 n / k , n Z }

8.

в) 2 sin х · cos х - cos2x = 0;
cos х(2sinx – cosx) = 0;
cos x 0,
2 sin x cos x 0;
x 2 k , k Z ,
2tgx 1 0;
x 2 k , k Z ,
tgx 1 ;
2
/ : cos x 0
x 2 k , k Z ,
x arctg 1 n, n Z .
2
1
Ответ : { k , arctg n / k , n Z }
2
2

9.

г) 5 sin2x + sin х · cos х – 2 cos2x = 2;
5 sin2x + sin х · cos х – 2 cos2x = 2 cos2x + 2 sin2x;
3 sin2x + sin х · cos х – 4 cos2x = 0; / : cos 2 x 0
3tg2x + tg х – 4 = 0;
Пусть tg x = t, тогда
3t2 + t – 4 = 0;
По свойству коэффициентов
квадратного уравнения (a+b+c = 0):
t 1,
t 4 ;
3
Вернёмся к исходной переменной:
tgx 1,
tgx 4 ;
3
x 4 k , k Z ,
x arctg 4 n, n Z .
3
Ответ : { k ,
4
4
arctg n / k , n Z }
3

10.

2 k x
4
4
2
k
;
/
2 k x
4
4
2 k ;
5
2 k x
2 k ;
4
4
5
Ответ : [ 2 k ;
2 ],
4
4

11. Можно или нельзя? А каким образом? Систематизация знаний.

• 1) sin x + cos x = 0
• 2) sin2 x - 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0
3) 4 sin x cos x - cos2 x= 0

12. А «кто» тут лишний?

Метод решения.
1) sin4 x + sin2 x = 0
2) arcsin(x + 1) =
6
3) 8 cos 6x +4 cos x = 0

13.

До За:
Решение уравнений
( индивидуальные карточки
с заданиями), №175(б, в) и
№176 (б)-дополнительно
определенной группе учащихся.