Производная. Устные упражнения

1.

2.

Найдите производные функций:
4 x 2 x 3
3
2
25x 8
2
Правильный
12 x 4 x
ответ
Правильный
50 xответ
1
Правильный
ответ
4
х
cos
x
Правильный
4 sin x
ответ
1
Правильный
2 хответ
2
2
15 x
2 1
х
х
2 x
х

3.

Найдите производные функций:
7
5
x
Правильный
5
ответ
2
Правильный
4 xответ
1
2
Правильный
2
cosответ
2x
sin
x
cos
x
Правильный
cos x sin x
ответ
4x 1
tg 2 x
ctg
3
x
3
Правильный
2
sin 3 x
ответ

4.

Найдите производные функций:
x 1
2Правильный
x 1
2
x
8
2 Правильный
1
Правильный
2 x ответ
4 cos x
Правильный
4sin x
х
sin
x
2
2x
ответ
ответ
ответ
Правильный
sin
x x cos x
ответ

5.

Определите по графику функции
у = f (x):
1. Чему равен угловой
коэффициент касательной
в точке М?
1
0 -1
2. Чему равна производная
в точке М ?
1
0 -1
подсказка
у
М
М
y=f(x)
М
1
0
135
1
о
х

6.

Определите по графику функции
у = f (x):
1. Чему равен угловой
коэффициент касательной
в точке М?
1
0 -1
2. Чему равна производная
в точке М ?
1
0 -1
подсказк
а
у
М
М
y=f(x)
М
1
0
135
1
о
х

7.

Определите по графику функции
у = f (x):
у
1. Чему равен угловой
коэффициент касательной
в точке М?
y=f(x)
4/3 0
2. Чему равна производная
в точке М ?
4/3
0
подсказк
а
120
М
М
М
о
1
0
1
М
х

8.

ЗАДАЧА №2
Пусть количество вещества, вступившего в
химическую реакцию задается зависимостью
р( t ) = t 2/2 + 3t –3 (моль)
Найти скорость химической реакции через 3
секунды.
РЕШЕНИЕ.
1) v( t ) = p`( t ) = t + 3,
v(t ) Р (t )
2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6(моль/сек)
подсказк
а
Ответ: 6 моль / сек

9.

ЗАДАЧА №3
Тело, подброшенное вверх движется по закону
s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Найдите:
1) Скорость тела в начальный момент времени;
2) Наибольшую высоту подъёма тела.
РЕШЕНИЕ.
v(t ) S (t )
1) v (t) = s` (t) = 8 – 10t - скорость
тела;
2) t= 0, v(0) = s`(0) = 8 м/с – скорость
тела в начальный момент времени
подсказк
а
3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64 =7,2 м –
максимальная высота броска
тела.
Ответ: 8 м/с ; 7,2 м .

10. Функция y = f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график её производной.

1. Укажите промежутки
убывания функции.
у
3;3
y f (x)
2. Укажите промежутки
возрастания функции.
1
a; 3 , 3; b
3. Определите длину
промежутка, на котором
касательная к графику
функции имеет
отрицательный угловой
коэффициент?
а
6
0
1
b
х

11. Функция y = f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной.

1. Укажите промежутки
убывания функции.
у
а; 3 , 0;3
y f (x)
2. Укажите промежутки
возрастания функции.
3;0 , 3; b
3. Определите длину
наибольшего промежутка,
на котором касательная к
графику функции имеет
положительный угловой
коэффициент?
3
1
а
0
1
b
х

12. Функция y = f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной.

1. Укажите промежутки
убывания функции.
у
y f (x)
3;1 , 2;3
2. Укажите промежутки
возрастания функции.
а; 3 , 1;2 , 3; b
3. Определите длину
наименьшего промежутка
убывания функции.
1
1
а
0
1
b
х

13. Функция y=f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной.

у
1. Назовите точки
максимумов функции.
y=f ‘(x)
х=0
2. Назовите точки
минимумов функции.
х = -3, х = 3
1
а
0
1
b
х

14. Функция y=f(x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной.

у
1. Назовите точки
максимумов функции.
y=f ‘(x)
х=0
2. Назовите точки
минимумов функции.
х = -2; х = 2
1
а
0
1
b
х

15. Функция y=f(x) задана на полуинтервале (a;b], на рисунке изображен график ее производной.

у
1. Назовите точки
максимумов функции.
y=f ‘(x)
х = -3, х = 2
1
2. Назовите точки
минимумов функции.
х = 1, х = 3
а
0
1
b
х

16.

Функция y=f(x) задана на полуинтервале (a;b],
на рисунке изображен график ее производной.
1. Верно ли, что отмеченные
точки являются точками
максимумов функции?
у
Нет.
y=f ‘(x)
2. Назовите точки
максимумов функции.
х=0
3. Верно ли, что отмеченные
точки являются точками
минимумов функции?
1
а
0
1
bх
Нет.
4. Назовите точки
минимумов функции.
х = -4, х = 4
5. Как называются оставшиеся
точки?
точки перегиба
х = -2, х = 2

17. Какую информацию можно получить о функции y = f (x), если задан график её производной?

Функция убывает на
промежутках: (а;-4),
(-3;0),(1;2),(3;b]
Функция возрастает
на промежутках:
(-4;-3),(0;1),(2;3)
Точки экстремума:
х = -4; х = -3; х = 0;
х = 1; х = 2; х = 3
Точки максимума:
х = -3; х = 1; х = 3
Точки минимума:
х = -4; х = 0; х = 2
у
f ( x ) 0
а
y=f ‘(x)
1
0
b
1
f ( x ) 0
х

18. Функция y = f (x) задана на интервале (a;b), на рисунке изображен график ее производной.

1. В скольких точках
производная функции
равна нулю ?
5
2. Сколько промежутков
возрастания у функции?
3
у
f ( x ) 0
3. Назовите точки
максимума.
а
х = -3 ; 3
4. Назовите точки
f x 0
минимума.
х = 1; 4
5. Как называется
точка х = -1? Точка перегиба.
y=f ‘(x)
1
b
0
1
х

19.

Найдите функцию по графику её производной
у
у
1
0
1
у
1
х
1
0
2
х
1
у
1
0
х
1
1
0
3
х
1
4