Метод ложных положений при решении уравнений

1. Метод ложных положений при решении уравнений.

ложных
положений
при решении
уравнений.
Выполнила ученица 7А класса Ефремова
Анастасия
Руководитель Фёдорова А.Н.

2.

История алгебры уходит своими
корнями в древние времена.
Задачи, связанные с
уравнениями, решались ещё в
Древнем Египте и Вавилоне.
Теория уравнений
интересовала и интересует
математиков всех времён и
народов.

3.

Древне фальшивое
правило для решения
линейного уравнения

4.

Вот
Так как это больше
В Древнем Египте и
нехватки
3, то на одну
Вавилоне
вторую
предположение
использовался
метод
умножить
Ахмес
ложногонельзя.
положения
видит,
что одна четвертая
(«фальшивое
задача № 24 сборника
Ахмеса:
правило»)
и одна
восьмая
Подобные
первоначального
«Куча. Ее седьмая
частьзадачи мы
теперь решаем
результата
дают точно те 3
(подразумевается:уравнениями
«даюткоторых
в первой
единицы,
не
степени.
хватало.
убедился,
сумме») равны
19. Ахмес
В папирусе
Ахмеса 15
что первоначальное
задач
решается этим
Найти кучу».
предположение
для кучи
методом. Решение
надо помножить
первой
из них на
2+1/4+1/8
позволяет
понять, как
рассуждал
автор.
В третьем столбце
выписаны: 1/7 часть
искомой кучи, удвоенное

5.

Способ решения, примененный Ахмесом,
называется методом одного ложного
положения. Этот метод применяли как
египтяне, так и вавилоняне.
У разных народов применялся метод двух
ложных положений. Арабами этот метод
был механизирован и получил ту форму,
в которой он перешел в учебники
европейских народов, в том числе в
«Арифметику» Магницкого. Магницкий
называет способ решения «фальшивым
правилом».

6.

Правило двух ложных
положений.

7.

Правило
двух ложных положений было
Из западноевропейских
изобретено индусами, однако, скорее всего,
арифметических положений
было позаимствовано у китайских ученых.
перешло
в русские
Отоно
индусов
оно перешло
к арабам, которые
доставили
ему очень распространенное
арифметические
рукописи
применение как в собственной
XVIII в., в «Арифметику»
математической литературе под именем
Леонтия
Филипповича
«правила
чашек
весов», так и в литературе
Европы.
Вот так звучало
правило: «Рисуй
Магницкого
и в учебники
XVIII
весы и пиши над точкой опоры результат,
и даже начала XIX вв. Как и
который получается после указанных в
арабы,
русские
ввели в числом.
задаче
действий
над неизвестным
Оба
ложных положения
пиши
над чашками
обращение
только
правило
весов, погрешности «больше» пиши под
двух ложных положений, о
весами, «меньше» - над весами. Ложные
величестве
и могуществе
положения
и погрешности
умножить
накрест.
Бери разности
если
которого
имели произведений,
очень большое
погрешности находятся по одну сторону от
представление.
весов, бери их суммы, если погрешности
В настоящее
время это
стоят
по разные стороны».
Пример
оформления
решения
правило
практически
недля
«правила чашек весов»
Правило
распространялось и
использовалось в мире
на протяжении
тридцати веков.
Многие ученые из
разных стран приняли
в этом участие:
древнекитайские,
египетские,
индийские, арабские,
европейские,
русские.
используется
и представляет
интерес только для историков

8.

Применение метода двух
ложных положений при
решении задач из
«Арифметики»
Л.Ф. Магницкого

9.

108 • 60 = 6480
144 • 20 = 2880
Разделим
разность
произведений
разность
ошибок:
Задача
1. Найти
такое
число,
что если кна
нему
добавить
В задачах
подобного
типа
возможны
три
варианта
6480 – 2880 = 3600
третью
часть
и
от
полученной
суммы отнять
её шестую
решения в соответствии с правилом
двух ложных
60 – 20 = 40
часть,
то будет 100.
3600 : 40 = 90
положений:
Значит, искомое число равно 90.
•результат
двух
вычислений
оказывается больше данного
II возможность (результат одного из вычислений больше, а другого – меньше
числа,
данного)
Предположим,
что это
число есть
•результат одного из
вычислений
больше,
а 72.
другого –
меньше данного,
Проделаем с ним описанные в задаче операции:
•результат двух
оказывается меньше
данного
1/3 вычислений
• 72 = 24
72 + 24 = 96
1/6 • 96 = 16
96 – 16 = 80
числа.
80 ≠ 100
Если оба результата
вычислений больше или меньше
Не угадали, результат вычислений меньше 100.
данного числа, нужно
делить разность
произведений
на
Предположим,
что это число
есть 99.
Проделаем с ним описанные в задаче операции:
разность ошибок.
1/3• 99 = 33
99 + 33 = 132
Если же один
из
результатов
окажется
меньше
1/6 • 132 = 22
132 – 22данного
= 110
числа, а другойНебольше,
то искомое
число можно
найти,
угадали, результат
вычислений
больше 100.
Вычисляем, насколько
мы ошиблись:
разделив сумму произведений
на сумму
разностей.
100 – 80 = 20
72 • 10 = 720
Перемножим числа:
110 – 100 = 10
99 • 20 = 1980

10.

Сравнительный
анализ старинного и
современного способов
решения некоторых
задач.

11.

Задача
4. Два
хотят купить
корову.
Говорит
первый
Задача
1.человека
Найти такое
число,
что если
к нему
второму: «Если ты дашь мне твоих денег, то я один смогу
добавить
третью
часть и от полученной
суммы
Проведем
анализ«Дай
решений
заплатить
цену». сравнительный
А второй отвечает первому:
мне твоих
отнять
её
часть,
тоЛ.будет
100.
денег,
тогда
и шестую
я«Арифметики»
заплачу за
нее цену».
Сколько
у каждого из них
задач
из
Ф. Магницкого
денег, если корова стоит 24 рубля?
Решение:
методом
ложных
положений
и потребовалось
Вывод:
для двух
решения
данной
задачи
Решение:
Пусть x – искомое число.
современным
умение
решать способом.
линейные
уравнения
дробными
Пусть
x – количество
денег
у первого
человека, а y –с количество
Вывод:
для
решения
даннойх/3.
задачи потребовались умения:
Тогда
его
треть равна
коэффициентами.
Это
уровень
пятого
и шестого
денег
у второго человека.
Составим
систему
уравнений:
составить
и
решить
систему
двухчастью
линейных
уравнений
с =4х/3
Сумма
числа
с
его
третей
равна
x
+х/3
x+2/3y=24
классов
современной
школы.коэффициентами. Это
двумя
неизвестными
с
дробными
3/4x+y=24
. После вычитания из полученной суммы
уровень
восьмого
и девятого
классов
современный
школы.
Выразим
х
из
первого
уравнения
и
подставим
во
второе,
шестой части получим
получим
4х/3-(1/6)*(4х/3)= 4х/3-2х/9=10х/9,
х=24-2/3у
что по условию задачи равно 100.
3/4(24-2/3у)+у=24
Решаем уравнение, получаем x = 90.
решаем
18 Значит,
– 1/2y +y искомое
= 24
число равно 90.
1/2y = 6
Ответ: искомое число равно 90
y = 12
Следовательно, у второго человека было 12 рублей, а у первого

12.

Современными методам решения
уравнений мы обязаны поискам
древних ученых. Теория уравнений
продолжает развиваться и в
настоящее время.
16 июля 2019 г.