Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Пикара

1.

1
18.01.2018

2.

Постановка задачи
Дифференциальные
уравнения
устанавливают связь между независимыми
переменными, искомыми функциями и их
производными. Если искомая функция
зависит от одной переменной, то
дифференциальное уравнение называется
обыкновенным.

3.

Постановка задачи
Например, условие равновесия упругой среды
описывается обыкновенным дифференциальным
уравнением:
dTx
Fx 0
dx
Tx – компонента механических
напряжений, F - действующая на
сплошную среду сила в расчёте на
единицу массы
Здесь искомая функция (механическое
напряжени) T(x) зависит от одной переменной
x (координата).

4. Постановка задачи

В том случае, если искомая функция зависит от
нескольких переменных, дифференциальное уравнение
будет уравнением в частных производных.
Например, движение упругой среды можно описать
уравнением в частных производных:
2u x Tx
2
t
x
ux – смещение среды, ρ – плотность
среды, Tx – компонента напряжений
В этом уравнении функция u(t,x) зависит от времени
(t) и направления смещения среды (x).

5.

Постановка задачи
Обыкновенными дифференциальными уравнениями
(ОДУ) называются уравнения, которые содержат одну или
несколько производных от искомой функции y = y(x):
F ( x, y, y ,..., y ( n ) ) 0 ,
где x – независимая переменная.
Наивысший порядок n, входящей в уравнение
производной, называется порядком дифференциального
уравнения.
Например:
F ( x, y, y ' ) 0 уравнение первого порядка;
F ( x, y, y ' , y" ) 0 уравнение второго порядка

6.

Постановка задачи
Из общей записи дифференциального уравнения
можно выразить производную в явном виде:
y ' f ( x, y ),
y" f ( x, y, y ' )
Уравнение для производных имеет бесконечное
множество решений. Для получения единственного
решения необходимо указать дополнительные
условия, которым должны удовлетворять искомые
решения.

7.

Постановка задачи
В зависимости от вида таких условий
рассматривают три типа задач, для которых доказано
существование и единственность решений.
Первый тип – это задачи с начальными
условиями.
Для
таких
задач
кроме
исходного
дифференциального уравнения в некоторой точке x0
должны быть заданы начальные условия, т.е.
значения функции y (x) и её производных: y (x0) =
y0
y' (x0) = y'0 , . . . , y(n-1) (x0) = yn-10 .

8.

Постановка задачи
Второй тип задач – это, так называемые,
граничные, или краевые, в которых
дополнительные условия задаются в виде
функциональных
соотношений
между
искомыми решениями.
Третий тип задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений – это задачи на
собственные значения.

9.

Постановка задачи
Сформулируем задачу Коши.
Найти решение обыкновенного дифференциального
уравнение (ОДУ) первого порядка, разрешенное
относительно производной
y ' f ( x, y ),
удовлетворяющее начальному условию
y ( x0 ) y0

10.

Постановка задачи
Необходимо найти на отрезке [x0,xn] такую
непрерывную функцию
y = y(x), которая
удовлетворяет дифференциальному уравнению
y ' f ( x, y ), и начальному условию y ( x0 ) y0
т.е.
найти
решение
дифференциального
уравнения. Нахождение такого решения называют
решением задачи Коши. Численное решение этой
задачи состоит в построении таблицы приближенных
значений y1,y2,...,yn решения уравнения y(x) в точках
x1,x2,...,xn с некоторым шагом h.
xi x0 i h,
i=1,2,...,n.

11.

Обыкновенные
дифференциальные уравнений
Уравнения в частных
производных
z z
dy
0
2( y 3)
2
2
x
y
dx
2
d y
2
2
t
1
2
z
z
dt
3 2 2 4
x
y
3
xdy=y dx
2
y’=x
2
11
2
18.01.2018

12.

Уравнения первого порядка
dy
2( y 3)
dx
Уравнения второго порядка
2
d y
t
1
2
dt
z z
0
2
2
x
y
2
3
xdy=y dx
z z
3 2 2 4
x y
2
2
y′=x
12
2
2
18.01.2018

13.

Пример 1. Для дифференциального уравнения
dy
2x
dx
y0 = 2 при х0 = 1
общее решение : у = х2 +
С
2 = 1 + С, то есть С = 1
М0 (1; 2)
13
18.01.2018

14.

Условие Липшица
R[ a ,b ] {| x x0 | a, | y y0 | b}
f ( x, y) f ( x, y) N y y
14
18.01.2018

15.

Методы приближенного решения дифференциальных
уравнений
Аналитические методы
Численные методы
Метод последовательных
приближений – метод
Пикара
Метод Эйлера и его
модификации
Метод интегрирования
дифференциальных
уравнений с помощью
степенных рядов
Метод Рунге-Кутта
Экстраполяционный метод
Адамса
15
18.01.2018

16.

18.01.2018

17.

Решить дифференциальное уравнение
у′=f(x, y) численным методом –
это значит для заданной
последовательности аргументов
х0, х1,…,хn и числа у0,
не определяя функцию у=F(x),
найти такие значения у1, y2, …, yn,
что yi=F(xi) и F(x0)=y0.
h=xk-xk-1
18.01.2018

18.

Пусть дано дифференциальное уравнение
первого порядка
y’= f (x, y)
с начальным условием
x=x0, y(x0)=y0
[a, b]
b a
h
n
шаг интегрирования
18.01.2018

19.

19
18.01.2018

20.

xk 1
xk 1
f ( x, y) y' dx y( x)
xk
xk 1
xk
y ( xk 1 ) y ( xk ) yk 1 yk
xk
то есть
yk 1 yk
xk 1
f ( x, y )dx
xk
18.01.2018

21.

xk 1
f ( x, y)dx f ( x , y ) x
k
k
xk 1
xk
f ( xk , yk )( xk 1 xk ) y ' h
xk
yk 1 yk y'k h
yk 1 yk y'k h
Обозначим
yk 1 yk yk
yk h y'k
yk 1 yk yk
18.01.2018

22.

y
h
0
x0
x1
x2
x
18.01.2018

23.

Погрешность метода
hM
n
y ( xn ) y n
(1 hN ) 1
2N
где
f ( x1 , у1 ) f ( x1 , y2 ) N y1 y2
df
f
f
f
M
dx
x
y
18.01.2018

24.

Пример 1. Решить у’=у-x с начальным
условием х0=0, у0=1.5 на отрезке [0;1.5], h=0.25
Решение
i
(1)
0
1
2
3
4
5
6
xi
(2)
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
yi
(3)
1.5000
1.875
2.2812
2.7265
3.226
3.7758
4.4072
yi’=yi-xi
(4)
1.5000
1.6250
1.7812
1.9765
2.2206
2.5258
yi hy
'
i
(5)
0.3750
0.4062
0.4453
0.4941
0.5552
0.6314
18.01.2018

25.

Метод Эйлера
Ввод x, y, h, b
Вывод x, y
y : y hf x, y
x : x h
+
x b
конец
18.01.2018

26.

Усовершенствованный метод Эйлера
yn+1 = yn + h·[f(tn, yn) + f(tn+1 , y n+1 )]/2
вернемся к разложению функции в ряд Тейлора
повышение точности расчета может быть достигнуто за счет сохранения
члена, содержащего h2. y (t0) можно аппроксимировать конечной разностью:
С учетом этого выражения разложение функции в ряд Тейлора принимает вид
ошибка при этом имеет порядок h3
18.01.2018

27.

18.01.2018

28.

Задача. Пусть дано дифференциальное
уравнение первого порядка
y’= f(x, y)
с начальным условием
x=x0, y(x0)=y0
Найти решение уравнения на отрезке [a, b]
yi 1 yi yi
18.01.2018

29.

k1 hf ( x, y)
h
k1
k 2 hf ( x , y )
2
2
h
k2
k3 hf ( x , y )
2
2
k4 hf ( x h, y k3 )
18.01.2018

30.

1
y (k1 2k 2 2k3 k 4 )
6
yi 1 yi yi
18.01.2018

31.

18.01.2018

32.

Погрешность метода Rn(h5)
18.01.2018

33.

Пример 1. Решить дифференциальное
уравнение у′= у-x с начальным
условием х0=0, у(х0)=у0=1.5 методом
Рунге-Кутта. Вычислить с точностью до 0,01.
Решение
k1(0)=(y0-x0)h=1.5000*0.25=0.3750
k 2( 0)
k1( 0)
h
x0 h (1.5000 0.1875) 0.125 0.25 0.3906
y0
2
2
18.01.2018

34.

k3( 0)
k 2( 0)
h
x0 h (1.5000 0.1953) 0.125 0.25 0.3926
y0
2
2
k4(0)=[(y0+k3(0))-(x0+h)]h=[(1.5000+0.3926)0.125]*0.25=0.4106
1
y0 (0.3750 2 * 0.3906 2 * 0.3926 0.4106)
6
=0,3920
y1=1.50000+0.3920=1.8920
18.01.2018

35.

18.01.2018

36.

18.01.2018

37.

Метод Рунге-Кутта при решении систем
дифференциальных уравнений
,
y ' f ( x, y , z )
z
'
g
(
x
,
y
,
z
)
18.01.2018

38.

1 (i )
(i )
(i )
(i )
yi (k1 2k 2 2k3 k 4 )
6
1 (i )
(i )
(i )
(i )
zi (l1 2l2 2l3 l4 )
6
, где
18.01.2018

39.

(i )
1
k
(i )
1
l
hf ( xi , yi , zi )
hq( xi , yi , zi )
18.01.2018

40.

k
l
(i )
2
(i )
2
(i )
1
(i )
1
h
k
l
hf ( xi , yi
, zi )
2
2
2
(i )
1
(i )
1
h
k
l
hq( xi , yi
, zi )
2
2
2
18.01.2018

41.

k
(i )
3
(i )
3
l
(i )
2
(i )
2
(i )
2
(i )
2
h
k
l
hf ( xi , yi
, zi )
2
2
2
h
k
l
hq( xi , yi
, zi )
2
2
2
18.01.2018

42.

k
l
,
(i )
4
(i )
4
(i )
3
k
h
(i )
hf ( xi , yi
, zi l3 )
2
2
(i )
3
k
h
(i )
hq( xi , yi
, z i l3 )
2
2
yi 1 yi yi
zi 1 zi zi
18.01.2018

43.

Метод последовательных приближений
43
18.01.2018

44.

Первое приближение:
Второе приближение:
Третье приближение:
…
n-е приближение:
44
18.01.2018

45.

Теорема. Пусть в окрестности точки (х0; у0)
функция f(х, у) непрерывна и имеет
ограниченную частную производную f’y (х, у).
Тогда в некотором интервале, содержащем
точку х0, последовательность { yi(x)}
сходится к функции у(х), служащей
решением дифференциального
уравнения у’ = f(х, у) и
удовлетворяющей условию у (х0) = у0
45
18.01.2018

46.

Оценка погрешности метода Пикара
n 1
h
| y yn | N M
(n 1)!
n
где М = mах |f(х, у)|
N = mах |f ’y(х, у)|
b
h min a,
M
46
18.01.2018

47. Метод Пикара последовательных приближений

Дифференциальное уравнение n-ого порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого
порядка
y’ = f(x, y)
(1)
с начальными условиями
y(x0) = y0
(2).
Предполагается, что в некоторой окрестности точки
M0(x0, y0) уравнение (1) удовлетворяет условиям теоремы
существования и единственности решения.

48.

Будем строить искомое решение y = y(x) для значений
x x0 .
Случай x x0 аналогичен.
Интегрируя правую и левую части уравнения (1) в
пределах от x0 до x, получим
x
y ( x) y ( x0 ) f ( x, y )dx
x0
или в силу начального условия (2), будем иметь
x
y ( x) y0 f ( x, y )dx
x0
(3)

49.

Так как искомая функция y = y(x) находится под
знаком интеграла, то уравнение (3) является
интегральным.
Очевидно, решение интегрального уравнения (3)
удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и
начальному условию (2).
Для нахождения этого решения применим метод
последовательных приближений.
Заменяя в равенстве (3) неизвестную функцию y
данным значением y0, получим первое приближение
x
y1 y0 f ( x, y0 )dx
x0

50.

Далее подставив в равенстве (3) вместо неизвестной
функции y найденную функцию y1, будем иметь второе
приближение
x
y2 y0 f ( x, y1 )dx
и т.д.
x0
Все дальнейшие приближения строятся по формуле
x
yn y0 f ( x, yn 1 )dx
(n = 1, 2, …)
x0
Геометрически
последовательные
приближения
представляют собой кривые yn = yn(x) (n = 1, 2, …),
проходящие через общую точку M0(x0, y0).

51.

y
0
x0
x x+h
x
Замечание.
При
методе
последовательных
приближений в качестве начального приближения y0,
можно выбирать любую функцию, достаточно близкую к
точному решению y.
Например, иногда выгодно в качестве y0 брать
конечный отрезок ряда Тейлора искомого решения.

52.

Заметим,
что
при
пользовании
методом
последовательных приближений аналитичность правой
части дифференциального уравнения необязательна,
поэтому этот метод можно применять и в тех случаях,
когда
разложение
решения
дифференциального
уравнения в степенной ряд невозможно.
Пример 1. Методом последовательных приближений
найти приближенное решение дифференциального
уравнения
y’ = x – y,
Удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1.

53.

Решение. В качестве
возьмем y0(x) = 1. Так как
начального
приближения
x
y 1 ( x y)dx
0
то будем иметь
x
x2
y1 1 ( x 1)dx 1 x
2
0
Аналогично
3
x2
x
dx 1 x x 2
y2 1 x 1 x
2
6
0
x

54.

Подобным же образом получим
3
4
x
x
y3 1 x x 2
3 24
3
4
5
x
x
x
y4 1 x x 2
3 12 120
и т.д.

55. Система дифференциальных уравнений (метод Пикара)

Дана система дифференциальных уравнений
dy
f ( x, y )
dx
(4)
y( x0 ) y0
(5)
где
Записывая векторное уравнение (4) в интегральной
форме, будем иметь

56.

x
y y0 f ( x, y )dx
(6)
x0
где под интегралом от вектор-функции
понимается вектор
x
x0
x
f1 dx
x0
f dx
x
f n dx
x0
f1
f
f n

57.

Последовательные приближения
определяются по формуле
x
y
( p)
y 0 f ( x, y
( p 1)
y ( p ) (p = 1, 2, …)
)dx
x0
Причем обычно полагают
y (0) y
Этот метод годится также для дифференциального
уравнения n-го порядка, если его записать в виде
системы.

58.

Пример 2. Построить несколько последовательных
приближений для решения системы
dy1
dx x y1 y2
dy2 x 2 y 2
1
dx
удовлетворяющего начальным условиям
y1(0) = 1; y2(0) = 0

59.

Решение. Имеем:
x
y1 1 ( x y1 y2 )dx
0
x
y2 ( x2 y12 )dx
0
Отсюда, полагая
y1(0) = 1;
y2(0) = 0
получаем
x
2
x
(1)
y1 1 ( x 0)dx 1
2
0
x
3
x
(1)
y2 ( x 2 1)dx x
3
0

60.

x 2
x 3
x 4 x6
1 x 1 x dx 1
2
3
24 36
0
x
(2)
1
y
4
5
2
x
x
x 1 x 2 dx x
4
20
0
x
y2
(2)
и т.д.

61.

Окончание вычислений
n 1
h
| y yn | N M
(n 1)!
n
61
18.01.2018