Свойства арифметического корня n-ой степени

1. Свойства арифметического корня n-ой степени

Алгебра 9 класс

2. Корень из произведения

Доказательство:
По определению
арифметического корня
Используя свойство
степени произведения
По определению
арифметического
корня n-й степени.
Следовательно:
корень
из
произведения
неотрицательных множителей равен произведению
корней из этих множителей.

3. Примеры:

1.
Найдем значение выражения
2.
Найдем значение выражения
3.
Найдем значение выражения

4. Корень из дроби

Если а ≥ 0 и b > 0, то
n
Доказательство
:
а≥о, b>0
a
n b
n
по определению
арифметического
корня
n
n
n
n
a 0
b 0
a
b
n
по свойству возведения в
степень дроби получаем
n
a
=
b
n
n
следовательно
n
n
n
a
.
b
=
a
0
b
a
b
Следовательно: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню
из числителя, деленному на корень из знаменателя.

5. Примеры:

1.
Упростим
выражение:
4
4
81
625
4
81
81 3
4
625
625 5
2. Упростим выражение:
3
3
10
2
27
10 3 64 3 64 4
1
2
3
1
27
27
3
27 3

6. Если n, k N и а ≥ 0, то

Извлечение корня из корня
n
Если n, k N и а ≥ 0, то
k
a nk a
Доказательство:
Так как а≥0, то выражения
смысл и неотрицательны.
(
n k
a ) ((
nk
n k
n k
a
и
nk
a
имеют
a ) ) ( a) a
n k
k
k
Следовательно: по определению арифметического
корня верно равенство
n k
a nk a

7. Примеры:

Упростим
выражение:
1.
3
3
6
6 2 3 6 6 6
2. Упростим выражение: 3
3
2
3 2
2
6
2
3. Упростим выражение: 4
4 3
3
4 3
3
12
2
3
3
3

8. Если n, k, m N и а ≥ 0, то

Основное свойство корня
Если n, k, m N и а ≥ 0, то
Доказательство
:
mk
mk
nk
a
n k
a
Используя свойство:
nk
a n
k
a
n k
a
m
k
Используя свойство о
возведении степени в
степень.
nk
n
a
mk
a
n
a
m
m
Используя
определение
корня n-й степени.
Следовательно: Показатель корня и показатель
степени подкоренного выражения можно разделить на
одно и то же натуральное число.

9. Примеры:

1.
3
Упростим
выражение:
2
2
3
2 2
2
2. Упростим выражение:
6
4
7
3 2
2 2
3
4
7
3
3
6
2
7
3
2
74
3 49
6
3
2
2