Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Фракталы

1.

2. План урока

1. Фракталы. Защита презентаций
(домашнее задание)
2. Вычисление площадей фигур и длин
кривых
3. Решение задач (работа в группах)
4. Индивидуальный тренинг
5. Решение задач раздела С

3. Фракталы

Многие природные объекты и явления имеют не гладкий, а
изломанный характер. Среди них листья деревьев, береговая
линия, молния и др. Для описания этих объектов не подходят
обычные дифференцируемые функции, с которыми имеет дело
классический математический анализ.
В последние десятилетия возникло и развивается новое
направление в математике – фрактальная геометрия. Слово
"фрактал" ввел в 1975 г. Б. Мандельброт (от латинского слова
"fractus", означающего изломанный, дробный).
Особенностью фракталов является не только их изломанность, но
и самоподобность, означающая, что каждая часть фрактала
подобна целому. Свойство самоподобности также отражает
особенность природных объектов, когда отдельная клетка
растения или животного несет в себе полную информацию обо
всем организме.

4. Звезда Коха

Один из первых примеров фракталов был придуман еще в начале
20-го века немецким математиком Х. фон Кох (1870-1924) и
называется звезда Коха (снежинка Коха). Для ее построения
берется равносторонний треугольник и последовательно
добавляются к нему новые, подобные ему, треугольники. В
результате получаются все более сложные многоугольники,
приближающиеся к предельному положению – звезде Коха.

5. Площадь звезды Коха

Вычислим площадь звезды Коха. Пусть площадь исходного
равностороннего треугольника равна 1. На первом шаге мы
добавляем три равносторонних треугольника, со сторонами в три
раза меньшими исходных. Площадь каждого такого треугольника
равна 1/9. Следовательно, площадь правильного звездчатого
шестиугольника равна 1+3/9=4/3. На следующем шаге
добавляется двенадцать треугольников, суммарной площади 12/81.
Поскольку длины сторон треугольников на каждом шаге
уменьшаются в три раза, то их площадь уменьшается в девять раз.
Число добавляемых треугольников равно числу сторон
многоугольника и на каждом шаге увеличивается в четыре раза.
Поэтому площадь S звезды Коха представляет собой площадь
исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с
начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9. По формуле суммы
геометрической прогрессии находим S=1+3/5=8/5.

6. Длина кривой Коха

Вычислим длину кривой, ограничивающей звезду Коха. Пусть
сторона исходного равностороннего треугольника равна 1. Его
периметр равен 3. На первом шаге каждая сторона треугольника
заменяется на ломаную, состоящую из четырех отрезков длины
1/3. Таким образом, длина ломаной увеличивается в 4/3 раза и
равна 4. То же самое происходит на следующих шагах. Каждый
раз длина ломаной увеличивается в 4/3 раза. Так как
последовательность (4/3)n стремится к бесконечности, то и длина
кривой Коха равна бесконечности.

7. Салфетка

Еще один вариант звезды Коха можно построить из квадратов,
последовательным добавлением к исходному квадрату подобных
ему квадратов.

8. Упражнение 1

Найдите
площадь
салфетки,
полученной
последовательным добавлением к данному единичному
квадрату квадратов со сторонами 1/3, 1/9, и т.д.
Ответ: 2.

9. Упражнение 2

Найдите площадь фрактальной фигуры, полученной
последовательным добавлением к данному кругу
радиуса 1 кругов радиусов ½, ¼, и т.д.
Ответ: 5 .

10. Ковер Серпинского

Еще один пример самоподобной фигуры, придумал польский
математик В. Серпинский (1882-1969). Она называется ковром
Серпинского и получается из квадрата последовательным
вырезанием серединных квадратов. То, что остается после всех
вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.
Отметим, что поскольку вырезаемые квадраты располагаются
все более часто, то в результате на ковре Серпинского не будет
ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки.

11. Площадь ковра Серпинского

Вычислим площадь ковра Серпинского, считая исходный квадрат
единичным. Для этого достаточно вычислить площадь
вырезаемых квадратов. На первом шаге вырезается квадрат
площади 1/9. На втором шаге вырезается восемь квадратов,
каждый из которых имеет площадь 1/81. На каждом следующем
шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а
площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Таким
образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет
собой сумму геометрической прогрессии с начальном членом 1/9
и знаменателем 8/9. По формуле суммы геометрической
прогрессии находим, что это число равно единице. Следовательно,
площадь ковра Серпинского равна нулю.

12. Салфетка Серпинского

Начиная не с квадрата, а с правильного треугольника, и вырезая
центральные треугольники, получим самоподобную фигуру,
аналогичную ковру Серпинского и называемую салфеткой
Серпинского.

13. Упражнение

Найдите площадь салфетки
полученной из правильного
площади 1.
Ответ: 0.
Серпинского,
треугольника

14. Кривая Пеано

Пример кривой, имеющий фрактальный характер, был получен
Д.Пеано (1858-1932) и называется кривой Пеано. Для ее
построения разобьем данный квадрат на четыре равных квадрата и
соединим их центры тремя отрезками, как показано на рисунке а).
Повторяя описанную процедуру, будем получать все более
сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано.
Отметим, что ломаные, участвующие в построении кривой Пеано,
на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты
уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Поэтому
кривая Пеано будет проходить через все точки исходного квадрата.
Конечно, она будет иметь бесконечную длину.

15. Кривая дракона

Интересным примером самоподобной кривой является «кривая
дракона», придуманная Э.Хейуэем. Для ее построения возьмем
отрезок. Повернем его на 90о вокруг одной из вершин и добавим
полученный отрезок к исходному. Повернем полученный угол на
90о вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной.
Повторяя описанную процедуру, будем получать все более сложные
ломаные, напоминающие дракона.

16. Дерево Пифагора

17. Фрактал 1

18. Фрактал 2

19. Фрактал 3

20. Фрактал 4

21. Фрактал 5

22. Фрактал 6

23. Фрактал 7

24. Фрактал 8

25.

х2 – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ …

26.

х2 – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ …
Решение: S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4.

27.

х2 – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ …
Решение: S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4.
2
Уравнение приобретает вид: х – 6 | х | -7 = 0.

28.

х2 – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ …
Решение: S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4.
2
Уравнение приобретает вид: х – 6 | х | -7 = 0.
2
1) Если х ≥ 0, то имеем х – 6 х -7 = 0.
Корни : 7 и -1; причём х = - 1 не удовлетворяет условию х ≥ 0.

29.

х2 – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ …
Решение: S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4.
2
Уравнение приобретает вид: х – 6 | х | -7 = 0.
2
1) Если х ≥ 0, то имеем х – 6 х -7 = 0.
Корни : 7 и -1; причём х = - 1 не удовлетворяет условию х ≥ 0.
2
2) Ели х < 0, то имеем х + 6 х -7 = 0.
Корни: - 7 и 1, причём х = 1 не удовлетворяет условию х < 0.

30.

х2 – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + 1/2+ …
Решение: S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4.
2
Уравнение приобретает вид: х – 6 | х | -7 = 0.
2
1) Если х ≥ 0, то имеем х – 6 х -7 = 0.
Корни : 7 и -1; причём х = - 1 не удовлетворяет условию х ≥ 0.
2
2) Ели х < 0, то имеем х + 6 х -7 = 0.
Корни: - 7 и 1, причём х = 1 не удовлетворяет условию х < 0.
Ответ: -7; 7

31.

у=

32.

у=
Решение: Область определения функции: х ≠ 0.
2
4
1 + sin 30 + sin 30 + sin 30 + … = = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…
- сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, у которой q = 1/2.
Тогда S = 1 : (1 – 1/2 ) = 2.

33.

у=
Решение: Область определения функции: х ≠ 0.
2
4
1 + sin 30 + sin 30 + sin 30 + … = = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…
- сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, у которой q = 1/2.
Тогда S = 1 : (1 – 1/2 ) = 2.
Функция приобретает вид; 1) у = х + 2, если х > 0;
2) у = х – 2, если х < 0.

34.

y
4
2
-2
0 2
-2
-4
x

35.

Спасибо!
Моим ученикам,
за работу на уроке.
Всем присутствующим,
за внимание.
Желаю всем здоровья и успехов!
И не забудьте выполнить домашнее задание!