Взаимное положение прямой и плоскости

1.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

2.

Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
Дано:
АB, P
___________
АB P = K ?

3.

Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
Алгоритм:
1). АB S

4.

Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
Алгоритм:
1). АB S
2). S P = MN
3). AB MN = K
План: Чтобы построить точку пересечения
прямой с плоскостью общего положения
необходимо:
1).Через заданную прямую (AB) провести
вспомогательную плоскость (S)(желательно
проецирующую);
2). Построить линию пересечения (MN)
заданной плоскости (P) со вспомогательной
(S);
3). Отметить точку пересечения (K) -линии
пересечения (MN) с данной прямой (AB).

5.

Пример: Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника

6.

Пример: Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника
Алгоритм:
1). АB Р
2). Р = 12

7.

Пример: Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника
Алгоритм:
1). АB Р
2). Р = 12
3). AB 12 = K

8.

Пример: Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника
Алгоритм:
1). АB Р
2). Р = 12
3). AB 12 = K
Видимость – методом конкурирующих
точек:
Видимость на пл.V

9.

Пример: Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника
Алгоритм:
1). АB Р
2). Р = 12
3). AB 12 = K
Видимость – методом конкурирующих
точек:
Видимость на пл. Н

10.

Пересечение прямой линии с проецирующей плоскостью
Точка пересечения прямой с плоскостью - точка общая для прямой и для плоскости.
Проецирующая плоскость проецируется на ПП в виде прямой линии. На этой прямой
должна находиться соответствующая проекция точки, в которой прямая пересекается
с проецирующей плоскостью.
Пример:
Построить проекции
точки пересечения
прямой АВ с
плоскостью
треугольника АВС,
соблюдая условия
видимости.

11.

Пересечение прямой линии с проецирующей плоскостью
Точка пересечения прямой с плоскостью - точка общая для прямой и для плоскости.
Проецирующая плоскость проецируется на ПП в виде прямой линии. На этой прямой
должна находиться соответствующая проекция точки, в которой прямая пересекается
с проецирующей плоскостью.
Пример:
Построить проекции
точки пересечения
прямой АВ с
плоскостью
треугольника АВС,
соблюдая условия
видимости.

12.

Параллельность прямой и плоскости
Признак: Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой
данной плоскости
Признак:
MN P MN AB и AB P
Теорема:
KN ABC kn ab; k'n' a‘b'

13.

Параллельность двух плоскостей
Признак: Две плоскости взаимно-параллельны, если две пересекающиеся
прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой
плоскости.
P Q AB EF и CD GH
P(AB CD); Q(EF GH)

14.

Пример: Через т. К провести плоскость параллельную плоскости ABC
P( ABC); K Q P - ?
Q (KM KN) km ab и k'm' a'b'
P(AB CD); Q(EF GH)

15.

Пример: Через т. К провести плоскость параллельную плоскости ABC
P( ABC); K Q P - ?
Q (KM KN) km ab и k'm' a'b'
P(AB CD); Q(EF GH)

16.

Пример: Через т. К провести плоскость параллельную плоскости ABC
P( ABC); K Q P - ?
Q (KM KN) km ab и k'm' a'b'
P(AB CD); Q(EF GH)
kn bc и k'n' b'c'

17.

Перпендикулярность прямой и плоскости
Признак: Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к
двум пересекающимся прямым данной плоскости.
(KM] P (KM] (AB) и (KM] (CD)
Теорема: Если прямая перпендикулярна к
плоскости в пространстве, то на чертеже (на
основании теоремы о частном случае
проецирования прямого угла)
горизонтальная проекция данной прямой
будет перпендикулярна к горизонтальной
проекции горизонтали (горизонтальному
следу), а фронтальная проекция прямой –
перпендикулярна к фронтальной проекции
фронтали (фронтальному следу).

18.

Перпендикулярность прямой и плоскости
Признак: Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к
двум пересекающимся прямым данной плоскости.
(KM] P (KM] (AB) и (KM] (CD)
Теорема: Если прямая перпендикулярна к
плоскости в пространстве, то на чертеже (на
основании теоремы о частном случае
проецирования прямого угла)
горизонтальная проекция данной прямой
будет перпендикулярна к горизонтальной
проекции горизонтали (горизонтальному
следу), а фронтальная проекция прямой –
перпендикулярна к фронтальной проекции
фронтали (фронтальному следу).
(KM] P km гор

19.

Перпендикулярность прямой и плоскости
Признак: Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к
двум пересекающимся прямым данной плоскости.
(KM] P (KM] (AB) и (KM] (CD)
Теорема: Если прямая перпендикулярна к
плоскости в пространстве, то на чертеже (на
основании теоремы о частном случае
проецирования прямого угла)
горизонтальная проекция данной прямой
будет перпендикулярна к горизонтальной
проекции горизонтали (горизонтальному
следу), а фронтальная проекция прямой –
перпендикулярна к фронтальной проекции
фронтали (фронтальному следу).
(KM] P km гор и k'm' фр'

20.

Пример 1: Из т. А опустить перпендикуляр на плоскость Р(AB AC)

21.

Пример 1: Из т. А опустить перпендикуляр на плоскость Р(AB AC)
NM P nm гор

22.

Пример 1: Из т. А опустить перпендикуляр на плоскость Р(AB AC)
NM P nm гор
n'm' фр'

23.

Перпендикулярность двух плоскостей
Признак: Две плоскости взаимно-перпендикулярны, если одна из них проходит
через перпендикуляр к другой плоскости.
(KN) Q; (KN) P Q P
(NA) Q(R,S); (NA) P Q(R,S) P

24.

Пример: Через прямую MN провести плоскость перпендикулярную к
плоскости треугольника ABC

25.

Пример: Через прямую MN провести плоскость перпендикулярную к
плоскости треугольника ABC
P ABC; P(MN MK)
P ABC; P(MN MK) mk гор и
m'k' фр'

26.

Пример: Через прямую MN провести плоскость перпендикулярную к
плоскости треугольника ABC
P ABC; P(MN MK):
mk гор

27.

Пример: Через прямую MN провести плоскость перпендикулярную к
плоскости треугольника ABC
P ABC; P(MN MK):
mk гор

28.

Пример: Через прямую MN провести плоскость перпендикулярную к
плоскости треугольника ABC
P ABC; P(MN MK):
mk гор
и m'k' фр'

29.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

30.

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
Изменение взаимного положения объекта проецирования и плоскостей проекций –
преобразование чертежа.
Общей целью способов преобразования чертежа является переход от общего
положения геометрического объекта - к частному, необходимому для решения
геометрических задач.
Задачи позиционные – взаимное расположение геометрических фигур.
Задачи метрические – определение расстояний, натуральных величин и т.д.
При изменении взаимного положения объекта проецирования и ПП объект
проецирования приводят в частное положение:
- Способом перемены ПП;
- Способом вращения.

31.

Способ перемены плоскостей проекций
Способ перемены плоскостей проекций может осуществляться только при двух
обязательных условиях:
а) преобразования чертежа должны обладать непрерывностью, т.е. каждая
последующая система плоскостей проекций должна быть связана с предыдущей;
б) геометрический объект при всех преобразованиях должен находиться в
системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.
Сущность: положение объекта в пространстве остается неизменным, а
система VH дополняется плоскостями, образующими с V или с H или между собой
системы двух взаимно-перпендикулярных плоскостей, принимаемых за ПП.

32.

Способ перемены плоскостей проекций
Способ перемены плоскостей проекций может осуществляться только при двух
обязательных условиях:
а) преобразования чертежа должны обладать непрерывностью, т.е. каждая
последующая система плоскостей проекций должна быть связана с предыдущей;
б) геометрический объект при всех преобразованиях должен находиться в
системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.
Сущность: положение объекта в пространстве остается неизменным, а
система VH дополняется плоскостями, образующими с V или с H или между собой
системы двух взаимно-перпендикулярных плоскостей, принимаемых за ПП.

33.

Способ перемены плоскостей проекций
Способ перемены плоскостей проекций может осуществляться только при двух
обязательных условиях:
а) преобразования чертежа должны обладать непрерывностью, т.е. каждая
последующая система плоскостей проекций должна быть связана с предыдущей;
б) геометрический объект при всех преобразованиях должен находиться в
системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.
Сущность: положение объекта в пространстве остается неизменным, а
система VH дополняется плоскостями, образующими с V или с H или между собой
системы двух взаимно-перпендикулярных плоскостей, принимаемых за ПП.

34.

Способ перемены плоскостей проекций
Способ перемены плоскостей проекций может осуществляться только при двух
обязательных условиях:
а) преобразования чертежа должны обладать непрерывностью, т.е. каждая
последующая система плоскостей проекций должна быть связана с предыдущей;
б) геометрический объект при всех преобразованиях должен находиться в
системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.
Сущность: положение объекта в пространстве остается неизменным, а
система VH дополняется плоскостями, образующими с V или с H или между собой
системы двух взаимно-перпендикулярных плоскостей, принимаемых за ПП.

35.

36.

37.

38.

Преобразование чертежа отрезка прямой
Пример:
1). Определить натуральную величину
отрезка прямой и углы наклона к
плоскостям проекций.
2). Привести прямую в проецирующее
положение.

39.

Преобразование чертежа отрезка прямой
Пример:
1). Определить натуральную величину
отрезка прямой и углы наклона к
плоскостям проекций.
2). Привести прямую в проецирующее
положение.

40.

Преобразование чертежа отрезка прямой
Пример:
1). Определить натуральную величину
отрезка прямой и углы наклона к
плоскостям проекций.
2). Привести прямую в проецирующее
положение.

41.

Преобразование чертежа отрезка прямой
Пример:
1). Определить натуральную величину
отрезка прямой и углы наклона к
плоскостям проекций.
2). Привести прямую в проецирующее
положение.

42.

Преобразование чертежа отрезка прямой
Пример:
1). Определить натуральную величину
отрезка прямой и углы наклона к
плоскостям проекций.
2). Привести прямую в проецирующее
положение.

43.

Преобразование чертежа отрезка прямой
Пример:
1). Определить натуральную величину
отрезка прямой и углы наклона к
плоскостям проекций.
2). Привести прямую в проецирующее
положение.

44.

Пример:
1). Определить углы наклона плоской фигуры
2). Определить натуральную величину плоской фигуры

45.

Пример:
1). Определить углы наклона плоской фигуры
2). Определить натуральную величину плоской фигуры

46.

Пример:
1). Определить углы наклона плоской фигуры
2). Определить натуральную величину плоской фигуры

47.

Пример:
1). Определить углы наклона плоской фигуры
2). Определить натуральную величину плоской фигуры

48.

Пример:
1). Определить углы наклона плоской фигуры
2). Определить натуральную величину плоской фигуры

49.

Пример:
1). Определить углы наклона плоской фигуры
2). Определить натуральную величину плоской фигуры

50.

Пример:
1). Определить углы наклона плоской фигуры
2). Определить натуральную величину плоской фигуры

51.

Сущность: плоскости проекций не изменяют свое положение в пространстве, а изменяет
положение объект проецирования:
1. Вращением вокруг оси перпендикулярной ПП
2. Вращением вокруг оси параллельной ПП (вокруг линии уровня)
Вращение вокруг оси перпендикулярной ПП
1). Вращение точки вокруг оси перпендикулярной ПП Н

52.

Сущность: плоскости проекций не изменяют свое положение в пространстве, а изменяет
положение объект проецирования:
1. Вращением вокруг оси перпендикулярной ПП
2. Вращением вокруг оси параллельной ПП (вокруг линии уровня)
Вращение вокруг оси перпендикулярной ПП
1). Вращение точки вокруг оси перпендикулярной ПП Н
При вращении т. А вокруг оси перпендикулярной к ПП Н, одна из проекций точки
(горизонтальная - a) перемещается по окружности радиуса R=ca, а другая (фронтальная –
a’) – по прямой линии (фронтальному следу -Sv) параллельной оси проекций.

53.

Сущность: плоскости проекций не изменяют свое положение в пространстве, а изменяет
положение объект проецирования:
1. Вращением вокруг оси перпендикулярной ПП
2. Вращением вокруг оси параллельной ПП (вокруг линии уровня)
Вращение вокруг оси перпендикулярной ПП
1). Вращение точки вокруг оси перпендикулярной ПП Н
При вращении т. А вокруг оси перпендикулярной к ПП Н, одна из проекций точки
(горизонтальная - a) перемещается по окружности радиуса R=ca, а другая (фронтальная –
a’) – по прямой линии (фронтальному следу -Sv) параллельной оси проекций.

54.

Сущность: плоскости проекций не изменяют свое положение в пространстве, а изменяет
положение объект проецирования:
1. Вращением вокруг оси перпендикулярной ПП
2. Вращением вокруг оси параллельной ПП (вокруг линии уровня)
Вращение вокруг оси перпендикулярной ПП
1). Вращение точки вокруг оси перпендикулярной ПП Н
При вращении т. А вокруг оси перпендикулярной к ПП Н, одна из проекций точки
(горизонтальная - a) перемещается по окружности радиуса R=ca, а другая (фронтальная –
a’) – по прямой линии (фронтальному следу -Sv) параллельной оси проекций.

55.

Способ вращения
Сущность: плоскости проекций не изменяют свое положение в пространстве, а изменяет
положение объект проецирования:
1. Вращением вокруг оси перпендикулярной ПП
2. Вращением вокруг оси параллельной ПП (вокруг линии уровня)
Вращение вокруг оси перпендикулярной ПП
1). Вращение точки вокруг оси перпендикулярной ПП Н
При вращении т. А вокруг оси перпендикулярной к ПП Н, одна из проекций точки
(горизонтальная - a) перемещается по окружности радиуса R=ca, а другая (фронтальная –
a’) – по прямой линии (фронтальному следу -Sv) параллельной оси проекций.

56.

Пример: Определить натуральную величину отрезка прямой и углы наклона к ПП

57.

Пример: Определить натуральную величину отрезка прямой и углы наклона к ПП

58.

Пример: Определить натуральную величину отрезка прямой и углы наклона к ПП

59.

Пример: Определить натуральную величину отрезка прямой и углы наклона к ПП

60.

Пример: Определить натуральную величину отрезка прямой и углы наклона к ПП