Анализ устойчивости линейных непрерывных систем

1. Тема 6. Анализ устойчивости линейных непрерывных систем

1
Тема 6.
Анализ устойчивости линейных
непрерывных систем
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

2.

2
Обсуждаемые вопросы
1.
2.
3.
4.
Состояние равновесия динамической
системы
Понятие устойчивости состояния
равновесия
Условие устойчивости
Критерии устойчивости линейных
систем
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

3. Типы состояния равновесия динамической системы

3
Определение: Состояние системы называется
равновесным, если система может находиться в этом
состоянии как угодно долго
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

4. Состояние равновесия динамической системы

4
Состояние равновесия динамической системы
Рассмотрим автономную динамическую
систему, модель которой задана системой
однородных дифференциальных уравнений
называется точкой равновесия (состояние
равновесия) динамической системы, если
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

5. Состояние равновесия динамического звена

5
Состояние равновесия динамического звена
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

6. Состояние равновесия для уравнений в пространстве состояний ОУ

ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
6
Юркевич В.Д.

7. Замечание 1

7
Замечание 1
Если
1. Состояние равновесия динамической системы является
единственным
2. Состояние равновесия динамической системы является
устойчивым
Тогда данная система называется устойчивой
динамической системой
Замечание 2
Свойство устойчивости состояния равновесия линейной
динамической системы зависит от распределения
корней характеристического полинома этой системы на
комплексной плоскости
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

8. Условие устойчивости линейной системы

8
Условие устойчивости линейной системы
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

9. Условие устойчивости линейной системы

9
Условие устойчивости линейной системы
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

10.

10
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

11. Граница устойчивости линейной системы

11
Граница устойчивости линейной системы
Для нейтральной системы выделяют два случая:
1. Апериодическая граница устойчивости
2. Колебательная граница устойчивости
Определение: Система находится на апериодической
границе устойчивости, если характеристический
полином имеет нулевой корень, а все остальные корни
имеют строго отрицательную вещественную часть.
Определение: Система находится на колебательной
границе устойчивости, если характеристический
полином имеет пару чисто мнимых комплексносопряженных корней, а все остальные корни имеют строго
отрицательную вещественную часть.
Юркевич В.Д.
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр

12. Критерии устойчивости линейной системы

12
Критерии устойчивости линейной системы
Способы проверки устойчивости линейной системы
Прямой способ – путем
вычисления корней
характеристического
полинома
Косвенный способ – с
помощью критериев
устойчивости
Критерий устойчивости – правило проверки устойчивости
системы без вычисления корней характеристического
полинома.
Критерии устойчивости:
1. Алгебраические критерии (например, критерий Гурвица)
2. Частотные критерии (например, критерий Михайлова,
критерий Найквиста)
Юркевич В.Д.
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр

13. Необходимое условие устойчивости

13
Необходимое условие устойчивости
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

14. Матрица Гурвица (Hurwitz)

14
Матрица Гурвица (Hurwitz)
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

15. Критерий устойчивости Гурвица (Hurwitz)

15
Критерий устойчивости Гурвица (Hurwitz)
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

16.

Условие устойчивости системы 1-го порядка
16
Условие устойчивости системы 2-го порядка
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

17. Пример 3. Система 3-го порядка

Условие устойчивости системы 3-го порядка
17
Пример 3. Система 3-го порядка
Для устойчивости системы 3-го порядка необходимо и
достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического
полинома были положительные и произведение средних
коэффициентов было больше чем произведение крайних
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

18. Замечание: Матрица Гурвица (Hurwitz)

18
Замечание: Матрица Гурвица (Hurwitz)
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

19. Замечание: Система 3-го порядка

Условие устойчивости системы 3-го порядка
19
Замечание: Система 3-го порядка
Для устойчивости системы 3-го порядка необходимо и
достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического
полинома были положительные и произведение средних
коэффициентов было больше чем произведение крайних
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

20. Критерий устойчивости Михайлова

20
Критерий устойчивости Михайлова
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

21. Годограф Михайлова

21
Годограф Михайлова
Примеры годографа Михайлова для
устойчивых систем:
Примеры годографа Михайлова для
неустойчивых систем:
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

22. Условие для границы устойчивости системы

22
Условие для границы устойчивости системы
Пример годографа Михайлова для системы,
находящейся на апериодической границе
устойчивости:
Пример годографа Михайлова
для системы, находящейся на
колебательной границе
устойчивости:
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

23. Годограф Найквиста

23
Годограф Найквиста
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

24. Критерий устойчивости Найквиста (для системы устойчивой в разомкнутом состоянии)

24
Примеры годографа Найквиста для случая, когда замкнутая
система является устойчивой
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

25. Критерий устойчивости Найквиста (для системы нейтральной в разомкнутом состоянии)

25
-число нулевых корней характеристического полинома
разомкнутой системы
- порядок астатизма замкнутой системы
Примеры годографа Найквиста нейтральных систем для
случая, когда замкнутая система является устойчивой
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

26. Примеры годографа Найквиста для неустойчивых замкнутых систем

ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
26
Юркевич В.Д.

27. Условие для границы устойчивости системы

27
Условие для границы устойчивости системы
Пример годографа Найквиста для случая, когда замкнутая система
находится на колебательной границе устойчивости
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

28. Логарифмический аналог критерия устойчивости Найквиста (достаточное условие)

ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
28
Юркевич В.Д.

29. Логарифмический аналог критерия устойчивости Найквиста

ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
29
Юркевич В.Д.

30. Условие для границы устойчивости системы

30
Условие для границы устойчивости системы
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.

31. Тема 7. Область устойчивости, запасы устойчивости

31
Тема 7.
Область устойчивости,
запасы устойчивости
ТАУ. Тема 6: Анализ устойчивости линейных непр
Юркевич В.Д.