Свойства функции (9 класс)

1. Свойства функции

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
Алгебра 9 класс
10
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Составила учитель математик
МОУ СОШ № 31 г Краснодара
Шеремета И.В.

2. Свойства функции

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

3. Монотонность

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
МОНОТОННОСТЬ
Возрастающая
Функцию у = f(х) называют
возрастающей на множестве Х,
если для любых двух точек х1 и
х2 множества Х, таких, что х1 <
х2, выполняется неравенство
Убывающая
Функцию у = f(х) называют
убывающей на множестве
Х,
если для любых двух точек
х1 и х2 множества Х, таких, что
х1 < х2, выполняется неравенство
f(х1) >f(х2).
f(х1) < f(х2).
f(x2)
f(x1)
х1
x2
f(x1)
f(x2)
x1
x2

4. Наибольшее и наименьшее значения

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
Число m называют наименьшим значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
1) в Х существует такая точка х0, что f(х0) = m.
2) для всех х из Х выполняется неравенство
f(х) ≥ f(х0).
Число M называют наибольшим значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
3) в Х существует такая точка х0, что f(х0) = M.
4) для всех х из Х выполняется неравенство
f(х) ≤ f(х0).

5. Непрерывность

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график
функции на промежутке Х сплошной, т.е. не имеет проколов и
скачков.
Задание: Определите, на каком из рисунков изображен график
непрерывной функции.
правильн
правильн
о
о
подумай
подумай
1
1
2
2

6.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
ЧЕТНОСТЬ
Говорят, что множество Х симметрично относительно начала
координат, если множество Х таково, что (- х) Х при любом х Х.
Четная функция
Нечетная функция
Функция y = f(x) называется четной, если
область ее определения есть множество,
симметричное относительно начала
координат, и если f (-x) = f (x) при любом
х Х. Четная функция симметрична
относительно оси ординат.
Функция y = f(x) называется четной, если
область ее определения есть множество,
симметричное относительно начала
координат, и если f (-x) = f (x) при любом
х Х. Нечетная функция симметрична
относительно начала координат.

7. Выпуклость

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
ВЫПУКЛОСТЬ
Функция выпукла вниз на
промежутке Х, если, соединив
любые две точки ее графика
отрезком прямой, мы обнаружим,
что соответствующая часть графика
лежит ниже проведенного отрезка.
Функция выпукла вверх на
промежутке Х, если соединив
любые две точки ее графика
отрезком прямой, мы обнаружим,
что соответствующая часть графика
лежит выше проведенного отрезка.

8. Ограниченность

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
ОГРАНИЧЕННОСТЬ
Функцию у = f(х) называют
ограниченной снизу на множестве
Х, если все значения функции на
множестве Х больше некоторого
числа.
у
Функцию у = f(х) называют
ограниченной сверху на множестве
Х, если все значения функции на
множестве Х меньше некоторого
числа.
у
х
х

9. Алгоритм описания свойств функций

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
АЛГОРИТМ ОПИСАНИЯ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ
Область определения
Область значений
Четность
Монотонность
Непрерывность
Ограниченность
Наибольшее и наименьшее значения
Нули функции
Выпуклость

10. Опишите свойства функций:

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
ОПИШИТЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ:
у= kx + m
у = kx2
у = k/x
– линейная функция
– квадратичная функция
– обратная пропорциональность
у =
у = | х |
у = ах2 + bх + с – квадратичная функция

11. Свойства функции y = kx + m (k ≠ 0)

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
1.
y = kx + m (k ≠ 0)
D(f) = (-∞; +∞);
k>0
2. E(f) = (-∞; +∞);
3. ни четная, ни нечетная;
4. возрастает при k > 0,
убывает при
k < 0;
5.
непрерывная
6.
не ограничена ни снизу, ни сверху;
7. нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
8.
y = 0, при
9.
о выпуклости говорить не имеет смысла.
k<0

12. Свойства функции у = kх2

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
у = kх2
при k >
<0
1.
D(f) = (-∞, +∞);
2.
Е(f) = [0,
E(f)
(-∞,+∞);
0];
3.
четная;
четная
4.
убывает на луче (-∞,
[0,+∞),
0],
возрастает на луче [0,
(-∞,
+∞);
0];
5. непрерывна;
непрерывна;
6.
ограничена
не ограничена
снизу,
снизу,
не ограничена
ограничена сверху;
сверху;
7.
унаиб не
= 0,
существует,
унаим не существует;
унаим = 0;
8.
y = 0 при х = 0
9.
выпукла вниз.
вверх.

13. Свойства функции

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
при
приkk><00
D(f) = (-∞,0)U(0, +∞);
Е(f) = (-∞,0)U(0,+∞);
четная
убывает на на
луче
(-∞,0)
и на
возрастает
луче
(-∞,0)
и на
луче (0,+∞);
нет ни наименьшего, ни
наибольшего значений;
непрерывна на луче (-∞,0) и
на луче (0,+∞);
выпукла вверх при х <
>0и
выпукла вниз при х >
< 0;
ограничена ни сверху при х <
0,
>0,
> 0;
ограничена снизу при х <
с осями координат не пересекается.

14. Функция

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
ФУНКЦИЯ
1.
2.
3.
4.
D(f) = [0,+∞);
Е(f) = [0, +∞);
ни четная, ни нечетная;
возрастает на всей области
определения;
5. непрерывна;
6. ограничена снизу;
7. унаим = 0, унаиб = не существует;
8. у = 0 при х = 0;
9. выпукла вверх.
y
x

15. Функция у = |х|

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
ФУНКЦИЯ у = |х|
1.
D(f) = (-∞,+∞);
2.
Е(f) = [0, +∞);
3.
четная;
4.
убывает на луче (-∞,0], возрастает на луче [0,
+∞);
5.
непрерывна;
6.
ограничена снизу, не ограничена сверху;
7.
унаим = 0, унаиб = не существует;
8.
у = 0 при х = 0;
9.
можно считать выпуклой вниз.

16. Функция у = ах2 + bх + с

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
ФУНКЦИЯ у = ах2 + bх + с
при
00
приа <
а>
1.
2.
3.
3.
D(f) = (-∞, +∞);
[у0 ; +∞)
Е(f) = (-∞;
у0 ]
убывает
на луче
луче
убывает на
,,
возрастает на
луче
;;
возрастает
на луче
4.ограничена
4. ограниченаснизу;
сверху;
5.у
0, у
наиб не существует;
5. наим
унаим= уне
существует,
унаиб = у0;
6.непрерывна;
6. непрерывна;
7.выпукла вниз;
7. выпукла вверх.