Свойства числовой функции

1. Свойства числовой функции.

2. Если даны числовое множествоХ и правило f, позволяющее каждому элементу х из Х поставить в соответствие определенное число у,

то
говорят,
что
задана
функция
у= f(х) с областью определения Х.
х – независимая переменная, аргумент
у – зависимая переменная

3. D( f ) –область определения функции.

Это все значения переменной
х, при которых функция
имеет смысл.

4. Е ( f ) – область значений функции.

Это все значения, которые
принимает зависимая
переменная.

5. Монотонность функции.

• Функция y=f(x) называется возрастающей
на множестве Х, если для любых точек х1
и х2 множества Х, таких, что Х1 <X2
выполняется неравенство f(x1 )<f(x2 ).
• Функция y=f(x) называется убывающей на
множестве Х, если для любых точек х1 и х2
множества Х, таких, что Х1 <X2
выполняется неравенство f(x1 )>f(x2 ).

6. Ограниченность функции.

• Функцию у =f(x) называют ограниченной
снизу на множестве Х, если все значения
этой функции на множестве Х больше
некоторого числа, т.е. если существует
такое число m,что для любого х
выполняется неравенство f(x)>m.

7. Ограниченность функции.

Функцию у =f(x) называют ограниченной
cверху на множестве Х, если все значения
этой функции на множестве Х меньше
некоторого числа, т.е. если существует
такое число M,что для любого х
выполняется неравенство f(x)<M.

8. Число m называется наименьшим значением функции y=f(x) на множестве Х, если

Число m называется наименьшим
значением функции y=f(x) на
1).во мн-ве Хмножестве
существует Х,
такая
точка х0 , что
если
f(x0 )=m;
2). Для любого значения х из мн-ва Х
выполняется неравенство f(x) ≥f(x0 ), т.е.
f(x) ≥m.
Унаим = m

9. Число М называется наибольшим значением функции y=f(x) на множестве Х, если

1).во мн-ве Х существует такая точка х0 , что
f(x0 )=М;
2). Для любого значения х из мн-ва Х
выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0 ), т.е.
f(x) ≤ М.
Унаиб = М

10. Полезные утверждения:

1). Если у функции существует унаим , то она
ограничена снизу.
2). Если у функции существует унаиб, то она
ограничена сверху.
3). Если функция не ограничена снизу, то у
нее нет унаим.
4). Если функция не ограничена сверху, то у
нее нет унаиб.

11. Точки экстремума.

• Точку х0 называют точкой максимума
функции y=f(x), если у этой точки
существует окрестность, для всех точек
которой (кроме самой точки х0 )
выполняется неравенство f(x)<f(x0 ).
• Точку х0 называют точкой минимума
функции y=f(x), если у этой точки
существует окрестность, для всех точек
которой (кроме самой точки х0 )
выполняется неравенство f(x)>f(x0 ).

12. Экстремумы функции.

• Максимум функции – значение функции в
точке максимума. (ymax )
• Минимум функции – значение функции в
точке минимума. (y min)

13. Непрерывность функции.

• Функция непрерывна на
промежутке Х, если её график
на данном промежутке не
имеет точек разрыва.

14. Выпуклость функции.

• стр 73, рис.34

15. Функцию y=f(x) называют четной на множестве D(y), если:

1. D(y) – симметричное множество;
2. f(-x)=f(x).
График симметричен относительно оси Оу.

16. Функцию y=f(x) называют нечётной на множестве D(y), если:

1. D(y) – симметричное множество;
2. f(-x)= -f(x).
График симметричен относительно начала
координат.

17. Определить четность функции:

y x
4
y x
2
x
5
y x 9
2

18. Перечислить все свойства функции y=f(x) .