Теория принятия решений в условиях риска и неопределенности

1. Теория принятия решений в условиях риска и неопределенности

LOGO

2. Типы неопределенности

В случае если лицо, принимающее решение,
имеет лишь представление о возможных
вариантах развития событий в будущем, то
говорят о принятии решения в условиях
полной неопределенности
Если лицо, принимающее решение, имеет не
только представление о возможных вариантах
развития событий в будущем, но и имеет
объективные оценки вероятностей реализации
различных сценариев будущего, то говорят о
принятии решения
в условиях риска

3. Особенности принятия решения

наличие не менее двух
взаимоисключающих вариантов, из
которых должен быть выбран только
один
наличия критерия, позволяющего
количественно оценивать имеющиеся
варианты, и по этим оценкам
осуществлять выбор

4. Этапы исследования задач принятия решений

1-й этап - построение математической
модели ЗПР
2-й этап — формулировка принципа
оптимальности и нахождение
оптимального решения
3-й этап - анализ полученных
результатов

5. Принятие решений в условиях неопределенности

LOGO

6. 1-й этап: построение математической модели ЗПР

Набор объектов < X, Y, F > составляет
реализационную структуру задачи принятия
решения, где
X – множество допустимых вариантов
(решений) (контролируемые факторы)
Y – множество возможных состояний среды
(неконтролируемые факторы)
F: X x Y R – целевая функция
(математический эквивалент цели операции)

7. Пример 1

Энергетическая компания должна выбрать проект
электростанции. Всего имеется 4 типа электростанций: А1 —
тепловые, А2 — приплотинные, А3 — бесшлюзовые, А4 —
шлюзовые.
Последствия, связанные со строительством и дальнейшей
эксплуатацией электростанции каждого из этих типов,
зависят от ряда неопределенных факторов (состояния
погоды, возможности наводнения, цены топлива, расходы по
транспортировке топлива и т.п.).
Предположим, что можно выделить четыре варианта
сочетаний данных факторов — они выступают в качестве
состояний среды и обозначаются здесь через В1, В2, В3, В4.
Экономическая эффективность электростанции
определяется в данном случае как процент прироста дохода
в течение одного года эксплуатации электростанции в
сопоставлении с капитальными затратами; зависит как от
типа электростанции, так и от состояния среды и
определяется следующей таблицей

8. Пример 1

Прирост дохода, %
В1
В2
В3
В4
А1
7
5
1
10
А2
5
2
8
4
А3
1
3
4
12
А4
8
5
1
10
Какую альтернативу следует считать оптимальной?

9. Принцип доминирования

Говорят, что альтернатива i1 доминирует
альтернативу i2 ( i1 i2 ), если при любом
состоянии среды выигрыш принимающего
решение при выборе им альтернативы i1 будет
не меньше, чем его выигрыш при выборе
альтернативы i2 , т. е. выполняется условие
ai1 ai2 , при всех j 1,..., m
j
j

10. Пример 1

А1
А2
А3
А4
В1
7
5
1
8
В2
5
2
3
5
В3
1
8
4
1
В4
10
4
12
10
В1 В2 В3 В4
А2
А3
А4
5
1
8
2
3
5
8
4
1
4
12
10

11. Основной метод выбора оптимальной альтернативы

Формулируется некоторая гипотеза о
поведении среды, позволяющая дать
каждой альтернативе единую числовую
оценку
Оптимальной будет та альтернатива, которая
является наиболее предпочтительной, то есть
имеет наибольшую числовую оценку (для
случая функции потерь — наименьшую
числовую оценку)

12. Типы критериев

Критерий Вальда
(гарантированного результата)
Критерий Лапласа
Критерий Сэвиджа
Критерий Гурвица

13. Критерий Вальда

Гипотеза: "При выборе решения надо
рассчитывать на самый худший
возможный вариант"

14.

Задача на max
Оценка альтернативы:
W (i) min ai
j
j
Оптимальная стратегия:
W (i ) max W (i) max min ai
*
i
i
j
j

15.

Задача на min
Оценка альтернативы:
W (i) max ai
j
j
Оптимальная стратегия:
W (i ) min W (i) min max ai
*
i
i
j
j

16. Решение примера 1

В1
В2
В3
В4
min
А2
5
2
8
4
2
А3
1
3
4
12
1
А4
8
5
1
10
1
Оптимальная альтернатива – А2 (строительство
приплотинной электростанции)
max

17. Критерий Лапласа

Гипотеза: "Поскольку мы ничего не
знаем о состояниях среды, надо считать их
равновероятными"
m
Оценка альтернативы:
1
j
W (i) ai
m j 1
Оптимальная стратегия в задаче на max:
W (i ) max W (i)
*
1 i n

18. Пример 1

А2
В1 В2 В3 В4
(1/4) (1/4) (1/4) (1/4)
5
2
8
4
W(i)
19/4
А3
1
3
4
12
20/4
А4
8
5
1
10
24/4
max
1
1
1
1 19
W (2) 5 * 2 * 8 * 4 *
4
4
4
4 4
Оптимальная альтернатива – А4 (строительство
шлюзовой электростанции)

19. Критерий Сэвиджа

Пусть целевая функция F(x,y) есть функция
выигрыша ОС. Следовательно, ОС стремится
максимизировать целевую функцию
Составим функцию сожаления для задачи на max:
( x, y ) max F ( x, y ) F ( x, y )
x
Функция сожаления для задачи на min:
( x, y ) F ( x, y ) min F ( x, y )
x
Затем для функции ( x, y ) применяется критерий
наилучшего гарантированного результата, то есть
W ( x*) min max ( x, y)
x
y

20. Пример 1

Исходная матрица
Матрица сожалений
В1 В2 В3 В4
В1 В2 В3 В4 max
А2
5
2
8
4
А2
3
3
0
8
8
А3
1
3
4
12
А3
7
2
4
0
7
А4
8
5
1
10
А4
0
0
7
2
7
Оптимальные альтернативы – А3 и А4 (строительство
приплотинной или бесшлюзовой электростанции)

21. Критерий Гурвица

ГИПОТЕЗА: при выборе альтернативы необходимо
руководствоваться средним результатом,
характеризующем состояние между
крайним пессимизмом и безудержным
оптимизмом
0 1
Оценка альтернативы
для задачи на max:
W (i) min aij (1 ) max aij
j
j
Оценка альтернативы W (i ) max aij (1 ) min aij
j
j
для задачи на min:

22. Критерий Гурвица

Оптимальная стратегия в задаче на max:
W (i ) max W (i)
*
1 i n
Оптимальная стратегия в задаче на min:
W (i ) min W (i)
*
1 i n

23. Пример 1

В1
В2
В3
В4
А2
5
2
8
4
8
2
6
А3
1
3
4
12
12
1
8,3
А4
8
5
1
10
10
1
7
max min W(i)
Оптимальная альтернатива – А3 (строительство
бесшлюзовой электростанции)

24. Выводы

Критерий Вальда – альтернатива 2
Критерий Лапласа – альтернатива 4
Критерий Сэвиджа – альтернативы 3 и 4
Критерий Гурвица – альтернатива 3

25. Принятие решений в условиях риска

LOGO

26. Типы критериев

Ожидаемое значение
n
W (i) aij * Pj , i 1, m
j 1
Ожидаемые упущенные возможности
n
W (i) rij * Pj , i 1, m
j 1
Ожидаемое значение - Риск
W (i ) M ( x) D( x)
D( x) M ( x ) ( M ( x))
2
2

27. Пример. Ожидаемое значение

Pi 0,2 0,3 0,4 0,1
В1 В2 В3 В4
А2
А3
А4
5
1
8
2
3
5
8
4
1
4
12
10
W ( А2 ) 0,2 * 5 0,3 * 2 0,4 * 8 0,1* 4 5,2
W ( A3 ) 3,9
W ( A4 ) 4,5

28. Пример. Ожидаемые упущенные возможности

Pj 0,2 0,3 0,4 0,1
В1 В2 В3 В4
А2
А3
А4
3
7
0
3
2
0
0
4
7
8
0
2
W ( А2 ) 0,2 * 3 0,3 * 3 0,4 * 0 0,1* 8 2,3
W ( A3 ) 3,6
W ( A4 ) 3,0

29. Пример. Ожидаемое значение - риск

Pi 0,2 0,3 0,4 0,1
В1 В2 В3 В4
А2
А3
А4
5
1
8
2
3
5
8
4
1
4
12
10
W ( А2 ) M ( A2 ) D( A2 ) 5,2 6,36 2,67
M ( A2 ) 5,2
D( A2 ) (5,2 5) 2 * 0,2 (5,2 2) 2 * 0,3 (5,2 8) 2 * 0,4 (5,2 4) 2 * 0,1 6,36