Математическая статистика

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

2. Математическая статистика -

Математическая статистика это
раздел
математики,
посвящённый
математическим методам сбора, систематизации,
обработки,
анализа
и
использования
экспериментальных данных.

3.

Вариационные ряды и
их характеристики

4.

Пусть требуется изучить некоторую совокупность
объектов относительно некоторого количественного
или качественного признака.
Иногда проводят сплошное обследование.
На практике чаще всего делают выборку, т.е.
отбирают часть объектов совокупности.

5.

x1, x
n
i
2
, ... , x
n
n.
ni
wi
n
n
нак
i 1
n
нак
i
n i 1 ,
нак
1
n
n1

6. Дискретным вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания ряд вариантов с соответствующими им частотами или

частостями.
Варианта
x1
x2
Частота
варианты
n1
n2
Относительная
частота
варианты
(частость)
n1
n2
w1
w2
n
n
…
…
…
xm
nm
nm
wm
n

7.

Пример. 20 студентов на экзамене по
психологии получили такие оценки (по
пятибалльной системе): 5, 4, 4, 3, 3, 5, 2, 3,
4, 3, 3, 4, 4, 4, 3, 5, 4, 4, 3 ,5. Составить
дискретный вариационный ряд.

8. Дискретный вариационный ряд:

Варианта
2
3
4
5
Частота
варианты
1
7
8
4

9.

Пример. Имеются данные о заработной
плате сотрудников предприятия за сентябрь
2012 г., тыс. руб.:
10,11, 21,13,14,15,14,15,15,19,15,15,16,16,
16,19,16,16,19,19,19,16,19,17,17,17,18,18,18,
18,18,18,18,18,19,15,19,20,21,20,21,21,20,12,
23,23, 12,22, 12,21,21,21, 17,17,17
10 11 12 13 14 15 16
17
18
19
20
21
22
23
Ито
го
1
1
3
1
55
1
2
5
6
55

10.

1 3,322 lg n
Если число различных значений признака в выборке
велико, или признак является непрерывным (т.е.
может принять любое значение в некотором
интервале),
то
составляют
интервальный
вариационный ряд: нужно весь промежуток
изменения значений выборки (от минимального до
максимального) разбить на интервалы, а затем
подсчитать число значений из выборки, попадающих
в каждый интервал (частоты).
При этом оптимальное количество интервалов
определяется по формуле
k 1 3,322 lg n
а длина интервала
h
Х max X min
1 3,322 lg n

11. Интервальный вариационный ряд

[ x1 ; x 2 ) [ x ; x )
2
n1
n1
w1
n
3
…
n2
…
n2
w2
n
…
[ xm ; xm 1]
nm
nm
wm
n

12.

h
k 1 3,322 lg 55 6,8
23 10
6,8
2
Границы
интервала,
хi-xi+1
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
[18,20)
[20,22)
[22,24)
Середина
интервала
11
13
15
17
19
21
23
2
4
8
12
16
10
3
2
6
14
26
42
52
55
Частота,
ni
xi *
niнак
Накопленная
частота,

13. Графическое изображение вариационных рядов

14.

Полигоном частот (относительных
частот)
интервального
ряда
называется ломаная с вершинами в
точках ( x , n ), i 1, k
(в точках ( x ,W ) ) ( х середины интервалов).
*
i
i
*
i
i
*
i

15. Полигона для вариационного ряда

Середина
интервала
Частота,
ni
11
13
15
17
19
21
23
2
4
8
12
16
10
3
18
16
14
ni
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
Xi
20
25

16. Гистограмма

Применяется для изображения только
интервальных вариационных рядов и
представляет собой ступенчатую фигуру из
прямоугольников с основаниями, равными
интервалам значений признака и высотами,
равными частотам (частостям) интервалов.
При этом по оси абсцисс откладываются
интервалы, а по оси ординат – частоты (или
частости) в случае равенства интервалов,
или плотности распределения частот (или
частостей) в случае неравенства интервалов.

17. Гистограмма

Границы
интервала,
хi-xi+1
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
[18,20)
[20,22)
[22,24)
Частота,
ni
2
4
8
12
16
10
3

18. Кумулята

Кумулятивная кривая (кумулята) –
кривая накопленных частот.
Представляет ломаную, соединяющую точки
( хi ; пiнак )
Для интервального вариационного ряда
ломаная начинается с точки ( x нач ; 0 ) .

19. Кумулята

Границы
интервала,
хi-xi+1
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
[18,20)
[20,22)
[22,24)
Накопленная
частота,
2
6
14
26
42
52
55

20. Числовые характеристики вариационного ряда:

Средние величины
• Показатели вариации

21. Средние величины

Средние величины характеризуют значение
признака, вокруг которого концентрируются
наблюдения или, как говорят, центральную
тенденцию распределения.
К ним относят:
среднюю арифметическую,
Моду,
медиану.

22.

Средней
арифметической
вариационного
ряда
называется сумма произведений всех вариантов на
соответствующие частоты, деленная на сумму частот:
m
х
x n
i 1
i
n
i
,
где xi
- варианты дискретного ряда или середины
интервалов интервального вариационного ряда;
ni - соответствующие им частоты.

23.

Мода
(Mo) - это значение, которое
встречается в выборке наиболее часто.
Мода может быть приближённа найдена по
гистограмме: выбираем самую высокую
ступеньку, её вершины крест-накрест
соединяем с вершинами предшествующей
и следующей за ней степеньками, из точки
пересечения опускаем перпендикуляд на
ось ОХ, это и есть мода.

24.

25. Моду можно найти по формуле

26.

Медиана
Me - это значение, которое
делит вариационный ряд пополам.
Медиана может быть приближенно найдена
с помощью кумуляты как значение признака,
для которого нак п
пх
2

27. Медиану можно найти по формуле

28. Показатели вариации

Дисперсией
вариационного
ряда
называется средняя арифметическая
квадратов отклонений вариантов от их
средней арифметической:
x
m
D
i 1
i
x
2
ni
n
Среднее квадратическое отклонение
D

29. Показатели вариации

30. Показатели вариации

31. Показатели вариации

32. Расчётная таблица