Гидрогазодинамика. Элементы теории гидродинамического пограничного слоя. (Тема 1. Лекции 3,4)

1. Тема 1. Гидрогазодинамика

Лекции 3, 4

2. § 6. Элементы теории гидродинамического пограничного слоя

Пограничный слой – тонкая по сравнению с размерами
потока зона, в которой необходимо учитывать влияние
сил внутреннего трения.
Рассмотрим стационарное движение неограниченного
потока жидкости с однородным распределением
скорости u0 вдоль полубесконечной плоской
поверхности (неограниченна в направлении оси z
и в положительном направлении оси x). За кромкой
поверхности, то есть при x>0, скорость
на поверхности равна нулю, следовательно, вблизи
поверхности образуется область, в пределах которой
скорость изменяется от 0 на стенке до u0 на ее
верхней границе.
2

3.

y u
0
y u0
0
y u0
1
1
xКР
I
2
2 II
x
В пределах погранслоя имеется поперечный градиент
скорости, то есть действует сила внутреннего трения.
В невозмущенном потоке эта сила отсутствует.
По мере удаления от кромки толщина погранслоя
возрастает, поскольку тормозящее влияние стенки
проникает все дальше в невозмущенный поток
из-за поперечного переноса импульса.
3

4.

Из-за возрастания толщины погранслоя уменьшается
среднее значение поперечного градиента скорости в
нем, то есть уменьшается сила трения. Однако
увеличение толщины погранслоя означает увеличение
движущейся
в нем массы жидкости и, следовательно,
силы инерции. При xКР, определяемым 105 , образуется
турбулентный погранслой, в котором имеется
турбулентная зона I
и ламинарный подслой II.
Толщина турбулентного погранслоя нарастает по длине
плоской поверхности быстрее, чем толщина
ламинарного, так как интенсивность макроскопического
переноса импульса в направлении y существенно
превосходит интенсивность молекулярного переноса.
Вблизи стенки, где абсолютные значения скорости малы,
а поперечный градиент скорости велик, сила инерции
оказывается малой по сравнению с силой внутреннего
трения, а потому ламинарный режим сохраняет
устойчивость.
4

5.

Найдем уравнения, описывающие стационарное
движение несжимаемой жидкости в ламинарном
погранслое на плоской поверхности.
В погранслое вектор скорости имеет проекции как
на ось х, так и на ось у (см. параллелепипед 1-1-2-2
на слайде 3: расход жидкости, поступающей
в параллелепипед через его левую грань, где
скорость изменяется от 0 до u0, больше, чем расход
жидкости, выходящей из параллелепипеда через
правую грань, где скорость изменяется от 0 до
величины, меньшей u0; – поскольку жидкость
несжимаема, должно быть
ее перемещение
вдоль оси у).
Действием внешних массовых сил из-за малого объема
погранслоя будем пренебрегать.
5

6.

Рассматриваемое двумерное течение описывается
следующей системой уравнений:
6

7.

Оценим порядок входящих в систему величин и отбросим
малые величины.
Из-за малой величины погранслоя, то есть из-за того, что
<<x, логично предположить, что порядок величины x
равен единице: o(x)=1, а o(y)= , при этом <<1.
Основным направлением движения является x, тогда
порядок продольной компоненты скорости o(u)=1.
Для оценки порядка величины поперечной компоненты
скорости используем уравнение неразрывности. Учтем,
что порядок n-ой производной равен отношению
порядка функции к порядку аргумента в степени n.
u
1
x
,
o
а так как оба слагаемых в левой части
уравнения неразрывности должны иметь одинаковый
v
o
порядок, чтобы в сумме давать 0, тогда y 1 , но
o(y)= , поэтому o(v)= .
7

8.

Из самых общих соображений можно заключить,
что в погранслое силы инерции и внутреннего
трения должны быть величинами одного порядка.
Левая часть уравнения Навье-Стокса,
представляющая собой массовую плотность силы
инерции, имеет порядок 1.
А второе
слагаемое в правой части – массовая плотность силы
трения – также должно иметь этот порядок. Но
выражение в скобках имеет порядок 1/ 2,
следовательно, o( )= 2.
Определив порядок величин в уравнениях Навье-Стокса,
можно сделать два вывода:
1) в первом
является
2 u
ν 2
уравнении
x
;
пренебрежимо малой величиной
p
δ
o
величины
y
2) во втором уравнении все оцениваемые
имеют порядок, не превышающий , тогда
(считаем, что o( )=1).
8

9.

Второе уравнение вырождается в условие постоянства
давления поперек погранслоя, и получаем следующую
систему уравнений, называемых уравнениями
пограничного слоя или уравнениями Прандтля:
u
u
1 dp
2 u
v
ν 2 ;
u
x
y
ρ dx
y
u v
0.
x y
Людвиг Прандтль (1875–1953) – немецкий
ученый в области механики. В 1904 году
он опубликовал
фундаментальную работу – «Течение
жидкости с малой вязкостью»,
в
которой впервые описал теорию
пограничного слоя и его влияние
на лобовое сопротивление и срыв
потока, дав объяснение явлению
сваливания.
9

10.

Неизвестными функциями в системе уравнений
Прандтля являются u(x,y) и v(x,y). Распределение
давления в погранслое вдоль оси x такое же,
как и в невозмущенном потоке. Оно может быть
найдено из уравнения Эйлера, для рассматриваемого
случая имеющего вид:
du 0
1 dp
u0
.
dx
ρ dx
du 0
dp
0.
Но u 0 dx 0 , тогда
dx
Следовательно, давление в погранслое всюду постоянно.
10

11.

Уравнения Прандтля для плоской поверхности
при стационарном ламинарном
движении несжимаемой жидкости:
u
u
2 u
v
ν 2 ;
u
x
y
y
u v
0.
x y
Граничные условия для полученных уравнений
имеют вид:
при y=0 u=0, v=0;
u
0.
при у= u=u0,
y
11

12. § 7. Уравнение потока импульса для пограничного слоя

В стационарном потоке несжимаемой жидкости вблизи
плоской поверхности выделим контрольный объем в виде
прямоугольного параллелепипеда, размер которого
в направлении оси z примем равным 1. Нижняя грань
параллелепипеда совпадает с плоскостью поверхности, а
верхняя отстоит от поверхности на расстояние L,
превышающее толщину погранслоя в данном сечении:
2 y
u0
3
(x)
L
W
1
dx
4
x
12

13.

Определим результирующий поток импульса через
поверхность выделенного параллелепипеда, то есть
алгебраическую сумму потоков количества движения
через все его грани. Будем считать поступающие
вместе с втекающей в параллелепипед жидкостью
потоки импульса – положительными, а уходящие –
отрицательными.
Через единицу поверхности 1-2 в единицу времени
проходит масса u, кг/(м2 с), а через элемент
поверхности dy 1 – масса u dy, кг/c. Умножив эту
массу на u, получим поток импульса через элемент
поверхности u2 dy, кг м/с2.
Поток количества движения через всю поверхность 1-2
L
I1 2 ρ u 2 dy .
0
13

14.

На расстоянии dx эта величина
получит приращение
L
d
dx ρ u 2 dy
dx 0
и поток импульса через грань 3-4 с учетом того,
что жидкость через эту грань вытекает, будет
L
равен
d L
I 3 4 ρ u 2 dy dx ρ u 2 dy
dx
0
0
.
В связи с тем, что в сечении 3-4 толщина погранслоя
больше, чем в сечении 1-2, массовый расход,
поступающий в параллелепипед через грань 1-2
(М1-2, кг/c), превышает поток массы, вытекающий
через грань 3-4 (М3-4). Таким образом, через грань 23 жидкость покидает параллелепипед, и поток
импульса через эту грань – отрицателен:
I2-3 = –M2-3 u0 .
14

15.

Так как жидкость несжимаема, то количество жидкости,
поступающее в параллелепипед за единицу времени,
должно быть равно количеству жидкости,
выходящему из него:
L
d L
d L
M 2 3 M1 2 M 3 4 ρ udy ρ udy dx ρ udy dx ρ udy
dx 0
dx
0
0
0
L
Следовательно, с учетом постоянства u0 ,
d L
I 2 3 dx ρ u 0 udy .
dx 0
В соответствии с законом сохранения импульса имеем:
I1-2 + I2-3 + I3-4 = dFТР = W dx .
15

16.

Подставляя выражения для потоков импульса, приводя
подобные слагаемые и сокращая на dx, получим
выражение, которое непосредственно выражает
закон сохранения импульса:
d L
ρ u u udy τ W .
0
dx 0
Учитывая, что =const и что в пределах y L интеграл
в левой части равенства обращается в нуль, так как
в этих пределах u=u0, получим:
τ
d δ
u u udy W – уравнение Кармана.
dx 0 0
ρ
Это уравнение справедливо как для ламинарного, так и для
турбулентного погранслоя, поскольку закон сохранения
импульса является общим законом механики.
16

17.

Теодор фон Карман (1881–1963) –
американский инженер и физик
венгерского происхождения,
специалист в области
воздухоплавания. Работал в Германии
и США. Основные труды Кармана
связаны с аэродинамическими
проблемами авиации и космонавтики.
Для ламинарного погранслоя с учетом формулы Ньютона
u
τ W μ
y y 0
уравнение Кармана принимает вид:
u
d δ
u u udy ν
dx 0 0
y
y 0
.
17

18. § 8. Расчет ламинарного пограничного слоя на основе интегрального метода

Аппроксимируем поперечный профиль скорости
в погранслое полиномом третьей степени:
u(y) = a + b y + c y2 + d y3 ,
где коэффициенты a, b, c и d должно определить
из граничных условий для распределения скорости:
1) при y = 0 u = 0 (условие прилипания) a = 0;
2) при y = 0
2 u – следствие 1-го уравнения
0
2
y
Прандтля для ламинарного погранслоя, так как
на поверхности пластины u = 0 и v = 0 (пластина
непроницаема) с = 0;
18

19.

3) при y = u = u0;
u
0 – условие гладкости профиля скорости.
4) при y =
y
Третье и четвертое условия дают систему из 2 уравнений
с 2 неизвестными, решая которую, найдем:
3 u0
1 u0
b ; d .
2 δ3
2 δ
Подставляя эти результаты в выражение для профиля
скорости, получим:
3 y 1 y 3
u u0 .
2 δ 2 δ
19

20.

Подставим полученное выражение для u в уравнение
Кармана, выполним интегрирование в его левой
части и дифференцирование в правой:
3 y 1 y 3
3 y 1 y 3
d δ
d δ
u
u
udy
u
u
u
dy
0
0
0
0
dx 0
dx 0
2 δ 2 δ
2 δ 2 δ
2
3
2
3
3
δ
3 1 y y 1 y
d 2 3 y 1 y 2 3 y
u 0 u 0 2 dy
dx 0 2 δ 2 δ
2 2 δ δ 2 δ
2 δ
4
6
δ 3 y 1 y 3 9 y 2
3
y
1
y
d
u 02 dy
dx 0 2 δ 2 δ 4 δ
2 δ
4 δ
d
u 02
dx
δ
3 y
1 y
9 y
3 y
1 y
2 2 δ 2 4 δ 3 4 3 δ 2 2 5 δ 4 4 7 δ 6 0
2
4
3
5
7
20

21.

δ
1
9
3
1
2 d 3
u0
δ δ δ δ δ
dx 4
8
12
10
28 0
35 84 10 2 dδ 39 2 dδ
u0
u0
dx 280
dx .
280
3
3 y 1 y
u 0
u
2 δ 2 δ
3 1
ν
ν
ν
u
0 2 δ
y
y y 0
y 0
.
Получили дифференциальное уравнение для определения
толщины погранслоя:
39 2 dδ 3 u 0
u 0 ν
280
dx 2
δ .
21

22.

Разделим переменные и произведем сокращения:
140 ν
δ dδ
dx ,
13 u 0
откуда, интегрируя, находим:
280 ν x
δ2
c .
13 u 0
При x = 0 = 0 c = 0. Тогда δ 4,64
ν x
u0 .
В безразмерной форме:
δ
4,64
ν
4,64
u 0 x Re 0,5 ,
x
x
где Rex – число Рейнольдса, в котором роль характерного
размера играет расстояние от кромки поверхности.
22

23.

Формула для позволяет найти u(x,y) и v(x,y).
Продольная составляющая скорости находится из
уравнения для профиля скорости u(x,y) (слайд 19).
После этого находится поперечная составляющая
скорости из уравнения неразрывности (второе
уравнение в системе Прандтля – слайд 11).
Подставим в формулу Ньютона для касательного
напряжения трения выражение для поперечного
распределения скорости:
u
u
3
τ W μ
μ 0 .
δ
y y 0 2
Подставляя сюда формулу для , найдем
τW
ρ u 02
0,323 0,5 .
Re x
23

24.

§ 9. Уравнение Бернулли
Даниил Бернулли (1700–
1782) – представитель
известной династии ученых,
швейцарский математик
и механик, получивший
аналитическое решение
уравнений Эйлера
для стационарного
движения несжимаемой
жидкости.
В результате многолетних
исследований в 1738 г.
издал фундаментальный
Титульный лист
труд «Гидродинамика,
или изъяснение сил «Гидродинамики»
и движений
жидкости».
24

25.

Рассмотрим элемент трубки тока, движение в котором
происходит в направлении n. Жидкость движется в поле
силы тяжести, ускорение которой направлено по оси z
в отрицательную сторону:
n
z
dn
dz
-g
Уравнение Эйлера в проекции на ось n (обозначим
проекцию вектора скорости на это направление u
и учтем, что в связи со стационарностью движения
и малостью поперечного сечения трубки тока
скорость
и давление зависят только от n):
dz
cosα
где
dn .
u
du
1 dp
g cosα ,
dn
ρ dn
25

26.

Умножая обе части уравнения на , получим:
ρ d u 2 dp
dz
ρ g
0.
2 dn
dn
dn
Проинтегрируем по n и обозначим g= (удельный вес):
ρ u 2
p γ z const ,
2
то есть сумма объемных плотностей кинетической
энергии, потенциальной энергии давления
и положения (динамического, статического
и геометрического давления) не
изменяется.
Для потока реальной жидкости в трубе или канале
уравнение
ρ u 2Бернулли имеет ρвид:
u 2
α1
2
1
p1 γ z1 α 2
2
2
p 2 γ z 2 p ПОТ
.
26

27.

Величину называют коэффициентом Кориолиса.
Она учитывающий то обстоятельство, что
динамическое давление, найденное по величине
средней скорости, не равно среднему динамическому
давлению в поперечном сечении трубы (канала),
определяемому очевидным образом:
1 ρ u 2
рД
ds .
SS 2
Гаспар-Гюстав де Кориолис (1792–1843) –
французский математик, инженер и механик.
Его имя внесено в список величайших ученых
Франции, помещенный на первом этаже
Эйфелевой башни.
pПОТ – потери давления, обусловленные переходом
части механической энергии в теплоту.
27

28.

§ 10. Потери давления на трение
и на местные сопротивления
Потери давления на трение представляют собой работу
силы трения, отнесенную к единице объема
жидкости, и пропорциональны динамическому
давлению, рассчитанному по средней скорости:
p ТР
ρ u 2
L ρ u 2
ξ ТР
λ
,
2
dГ 2
где ТР – коэффициент сопротивления трения;
λ – гидравлический коэффициент трения;
L – длина исследуемого участка трубы;
4 S
dГ
P – гидравлический диаметр трубы
(S – площадь поперечного сечения, P –
периметр).
28

29.

При ламинарном режиме движения 1/Re. Так, для
круглой трубы
64
λ
Re .
При турбулентном течении в гидравлически гладкой
трубе в соответствии с эмпирической формулой
Блазиуса
0,316
λ
0, 25 .
Re
При течении в гидравлически шероховатой трубе
рассчитывается по формуле
1
Никурадзе:
λ
2
r0
2 lg 1,74 ,
Δ
где r0 – радиус трубы,
– высота выступов шероховатости.
29

30.

Потери давления на местные сопротивления
обусловлены, во-первых, изменением величины
и направления скорости, то есть действием
сил инерции, во-вторых, вызванным силами
давления разворотом части потока и образованием
зон вихревого движения жидкости. Работа этих сил,
отнесенная к единице объема жидкости,
представляет собой потери на местные
сопротивления, которые аналогично потерям
на трение, рассчитываются как доля
динамического давления
ρ u 2
p МС ξ МС
,
2
где МС – коэффициент местного сопротивления.
Этот коэффициент определяется экспериментально.
Лишь для случая внезапного расширения его
можно приближенно найти теоретически.
30

31.

p1, u1
1
2
1
p2, u2
2
Считаем, что на всей площади левого сечения
контрольного объема давление постоянно и равно .
Силой трения на стенке трубы пренебрегаем. Тогда
ρ u12 s1 ρ u 22 s 2 p 2 s 2 p1 s 2 ,
так как сила давления, действующая на правое
сечение контрольного объема, положительна,
поскольку она уменьшает поток импульса.
ρ u12 s1
p 2 p1
ρ u 22 .
s2
31

32.

В соответствии с уравнением неразрывности
для несжимаемой жидкости в интегральной форме
u1 s1
u1 s1 u 2 s 2 u 2
s2 .
u2 s
p 2 p1 ρ u 2 1 1 u 2 p1 ρ u 2 u1 u 2
.
u2 s2
Для идеальной жидкости в соответствии с уравнением
Бернулли
ρ u12
2
p1
ρ u 22
2
p 2 p 2 p1
2
2
u u
2
ρ 1
2
.
32

33.

p МС p 2 p 2
ρ u12 2 u1 u 2 u 22
2
ρ u1 u 2 2
2
,
то есть потеря давления при внезапном расширении
равна динамическому давлению потерянной
скорости, что составляет содержание так называемой
теоремы Борда.
Жан Шарль де Борда (1733–1799) – французский
математик, физик, геодезист, политолог и моряк.
Его изыскания, напечатанные в «Мемуарах»
Парижской академии в 1763 г., 1767 и 1770 гг.,
привели к заключению, что сопротивление течению
жидкостей пропорционально приблизительно
квадратам скоростей. Борда занимался также
истечением жидкостей из сосудов через малые
отверстия, работами над установлением десятичной
системы мер и весов.
33

34.

Подставляя значение u 2 , получим:
2
s1 ρ u12
p МС 1
,
s2
2
то есть
2
s1
ξ МС 1
,
s
2
если расчет ведется по динамическому давлению
в узком сечении.
Если же расчет ведется по динамическому давлению
в широком сечении, то
2
s2
ξ МС 1 .
s1
34