Решение задач на комбинации многогранников и тел вращения. 11 класс

1.

2.

Правильная треугольная пирамида,
вписанная в шар
S
АQ = ВQ = CQ = SQ= R –
радиус шара.
AO = BO = CO = r –
радиус круга,
описанного около
основания пирамиды.
H
Q
R
B
T
C
r
E
O
P
SO = H – высота
пирамиды.
SЕ = h – апофема
пирамиды.
R r H R
2
A
2
2

3.

Правильная четырехугольная пирамида,
вписанная в шар
S
AQ = BQ = CQ = DQ =
= SQ = R – радиус шара.
AO = BO = CO = DO = r
радиус круга,
описанного около
основания пирамиды.
H
Q
D
C
SO = H – высота
пирамиды.
R
E
r
O
P
B
A
SЕ = h – апофема
пирамиды.
R r H R
2
2
2

4.

Треугольная пирамида описана около шара
E1Q = OQ = TQ = R – радиус шара.
S
EO = PO = r – радиус круга,
вписанного в основание пирамиды.
SO = H – высота пирамиды.
S
E1
T
R
B
E1
Q
R
r
E
r
R
C
O
P
A
Q
E
r
O

5.

Четырехугольная пирамида описана около шара
E1Q = P1Q = OQ = R – радиус шара.
S
EO = PO = r – радиус круга,
вписанного в основание пирамиды.
SO = H – высота пирамиды.
E1
S
B
E1
r
P1
Q
C
P1
R
E
E
M
O
P
A
P
O
D

6.

Задачи
1
2
3
4
5
Шар вписан в пирамиду.
Пирамида вписана в шар.
Сфера вписана в конус.
Куб вписан в конус.
Шар вписан в конус.

7.

В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар,
объем которого 32 /3. Найдите объем пирамиды, если
её высота равна 6.
1
1
V So H
3
4 3 32
V
R , тогда R 3 8, Rш 2.
1) ш
Решение.
S
3
3
2) SQ SO OQ, SQ 6 2 4.
3) SP1Q – прямоугольный, SP1 16 4 2 3.
4
4) SP1Q SOP ( Р1= О=90 , S – общий),
P1
2
QP1 SO 2 6 6
QP1 SP1
.
, откуда OP
SP1
2 3
3
C OP SO
Q
B
2
O
A
12
Ответ: 96.
6
3
P
3
D
5) Тогда сторона основания пирамиды вдвое
12
больше, и равна .
3
2
1
1 12
6) V So H 6 96.
3
3 3

8.

2
В шар, объём которого
, вписана правильная
четырехугольная пирамида. Найдите объём пирамиды,
если её боковое ребро равно
, а высота больше
радиуса шара.
S
D
5
1
V So H
3
Решение.
5
4 3 500
V
R
, тогда R 3 125, Rш 5.
1) ш
3
3
2) Пусть OQ = x, тогда из AOQ выразим
Q
сторону АО: AO 25 x 2 .
C
3) Составим теорему Пифагора для ASO:
x
4
3O 3 2
AS AO SO , 3 10 25 x 2 5 x .
2
B
2
2
2
2
Откуда находим OQ = 4.
4) Тогда SO = 5+4=9, и АО = 3.
A
5) В основании пирамиды квадрат, со стороной a, равной AO 2, т.е. a 3 2.
2
1
1
6) V So H 3 2 9 54.
Ответ: 54.
3
3

9.

3
Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна
100 . Длина окружности, по которой сфера касается
поверхности конуса, равна 6 . Найдите радиус
основания конуса.
Решение.
S
1) C = 2 r = 6 , тогда r = O2P = 3.
2) Sсферы = 4 R2 =100 , тогда R = O1P = 5.
3) Из O1O2P по теореме Пифагора находим:
2,25
О2
Р
3
4
О1
5
5
A
O
15
O1O2 R 2 r 2 25 9 4.
4) В O1PS отрезок РО2 высота, проведенная
из вершины прямого угла, значит
9
O2 P SO2 O1O2 , т.е. 3 SO2 4, SO2 2,25.
4
5) Найдем высоту конуса
B SO= SO +O O +O O = 2,25 + 4 + 5 = 11,25.
2
2 1
1
6) SО2Р SOВ ( О2= О=90 , S – общий),
SO2 O2 P
O P SO 11,25 3
, откуда OB 2
15.
SO OB
SO2
2,25
Ответ: 15.

10.

В конус с образующей 6 6 и высотой 12 вписан
куб. Найдите объём куба.
4
Решение.
S
1) Из прямоугольного SOP находим:
OP SP 2 SO 2 216 144 6 2.
2) a – сторона куба, тогда
О1
a
,
2
OO1 a, SO1 SO SO1 12 a.
Р1
O
Р
3) Выразим через a: O1P1
a R 2.
4) SО1Р1 SOР ( О1= О=90 , S – общий),
SO1 PO
1 1,
SO PO
12 a a 2
,
12
6 2
5) V куба = a3 = 63 = 216.
Ответ: 216.
откуда a = 6.

11.

Площадь основания конуса равна площади
поверхности вписанного в него шара. Найдите
радиус шара, если образующая конуса равна 10.
5
S
Решение.
1) Обозначим радиус шара r, а радиус
основания конуса R.
Sосн.конуса Sшара , т.е.
R 2 4 r 2 , R 2r.
10-2r
2) По условию
5
3) SP1O1 SOP ( Р1= О=90 , S – общий),
Р1
r
О1
2r
r
O1P1 SO1
,
OP SP
r SO1
, откуда SO1 = 5 ,
2r 10
коэффициент подобия треугольников k = ½.
O
2r
Ответ: 3.
Р
4) Заметим, что РР1= 2r, SP1= 10 – 2r, SO = 5+r.
10 2r 1
SP1 1
, откуда r = 3.
5) Тогда
,
5 r
2
SO 2

12.

1
Высота конуса равна 6, а объём равен 144 .
Найдите площадь полной поверхности куба,
вписанного в конус.
Ответ:
2
96
Шар объём которого равен 32 /3, вписан в конус.
Найдите высоту конуса, если радиус его
основания равен 2 3.
Ответ:
6

13.

Домашнее задание
Реши задачу и оформи решение либо на
альбомном листе, либо в виде электронного
документа (PowerPoint, Paint, Word и т.д.)
Рефлексия
Что нового вы узнали на уроке?
Чему вы научились?
Какое у вас настроение в конце урока?
Можете ли вы объяснить решение данных
задач однокласснику, пропустившему урок
сегодня?