Решение задач на комбинации многогранников и тел вращения

1.

«Решение задач на комбинации
многогранников и тел
вращения»
БМТК - 2024

2.

Шар (сфера) называются вписанными в
многогранник, если все грани многогранника
касаются поверхности шара (сферы).
13.02.2024
2

3.

Шар (сфера) называются описанными около
многогранника, если все вершины многогранника
принадлежат поверхности шара (сфере).
13.02.2024
3

4.

Шар вписанный в цилиндр.
Центр шара – середина отрезка, соединяющего центры
оснований цилиндра.
4
13.02.2024

5.

Шар описанный около цилиндра
Центр – середина отрезка, соединяющего центры оснований
цилиндра.
13.02.2024
5

6.

А
Шар вписан в конус
Центр – точка пересечения
высоты конуса и биссектрисы
угла между образующей конуса
и плоскостью основания .
В
К
D
О
С
С
Шар описан около конуса
Центр – точка пересечения
высоты конуса и серединного
перпендикуляра
к
образующей конуса .
13.02.2024
К
О
А
Н
В
6

7.

Задачи
13.02.2024
1
Шар вписанный в конус
2
Шар описанный около конуса
3
Конус вписанный в шар
4
Шар вписанный в цилиндр
5
Шар вписанный в куб
7

8.

1
Высота конуса 8, образующая 10. Найдите
радиус вписанного шара
Решение:
А
8
К
1)
ОС АС 2 АО2 100 64 6
2)
АСD : АС АD АО медиана, DС 12
S
3) S ADC рr р КВ, r
р
В
1
1
4) S ACD DС AO 8 12 48
2
2
AD AC CD
16
2
48
r КВ
3
16
5) p
D
О
С
13.02.2024
8

9.

2
Высота конуса равна 2, образующая равна
4. Найдите радиус описанного шара.
С
Решение:
1)
2
2)
abc
abc
S АВС
, R AO
2R
2S
СВН :
r ВН СВ 2 СН 2 12
О
3)
АВС : АС СВ 4
АН НВ 2 2 2 4 2
А
Н
В
1
AB CH 4 3
4) S ABC
2
4 4 4 3
4
5) Rш ОА
4 4 3
13.02.2024
9

10.

3
В шар вписан конус, образующая которого равна
диаметру основания. Найдите отношение полной
поверхности этого конуса к поверхности шара
С
Решение:
1) lк 2rк
S к r (r l ) r (r 2r ) 3r 2
2)
2
2
Sш
4 R
4R
4R 2
3) ABC равносторонний
О
А
13.02.2024
Н
2
1
l
3
2
S ABC AB Sin 60
2
4
В
abc
l
4) Rш ОА
4S
3
2
Sk
3r 3
9
0,5625
5)
2 2
Sш 4 2 r
16
10

11.

4
Площадь поверхности шара равна 330.
Найдите площадь полной поверхности цилиндра,
описанного около шара.
С
Н
Решение:
2)
О
К
1)
hц d ш 2 ОА
Rш Rц
S п.п.ц 2 Rц (hц Rц )
2 Rц (2 Rц Rц )
6 Rц2 6 Rц2
3)
А
В
S ш 4 ОА 2 ;330 4 ОА 2
330
ОА
4
2
330
4) S п.п.ц 6
495
4
13.02.2024
11

12.

5
В куб вписан шар. Найдите площадь поверхности
шара, если площадь полной поверхности
куба равна 1170/π
D1
С1
Решение:
1
1
AA1
1) S п.ш 4 R , Rш SN
2
2
2
2 1170
2) S п.п.к 6а ,
6 АА1
2
А1
B1
О
D
3) АА
1
С
А
В
1170
6
1 1170
4) Rш SO
2 6
1 1170
195
5) S ш 4
4 6
13.02.2024
12

13.

Задачи для самостоятельного решения
Найдите площадь поверхности шара, описанного
около конуса, у которого радиус основания
, а высота
равна
1В. 1
Ответ: 25
1В.2 Радиус шара, описанного около куба, равен 3.
Найдите площадь поверхности куба.
Ответ:24
В шар, площадь поверхности которого равна 100π,
вписан цилиндр. Найдите высоту цилиндра, если радиус
его основания равен 4.
Ответ: 8
2В.2
В шар вписан конус. Найдите высоту конус, если
радиус шара равен 5, а радиус основания конуса равен 4.
2В.1
Ответ: 6
13.02.2024
13

14.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!