Окружность Эйлера или окружность девяти точек

1. Окружность Эйлера

или Окружность девяти точек

2. Леонард Эйлер (нем. Leonhard Euler) 15.04.1707-7(18).09.1783

швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший
фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда
прикладных наук). Автор более чем 850 работ по математическому анализу,
дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной
механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории
музыки и другим областям. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику,
воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Академик
Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук,
иностранный член Парижской академии наук.
Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление
российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда
переехал годом позже. С 1726 по 1741, а также с 1766 года был академиком
Петербургской академии наук ; в 1741—1766 годах работал в Берлине (оставаясь
одновременно почётным членом Петербургской академии). Уже через год пребывания
в России он хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники)
публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и
астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до
сих пор живут в России.

3. Вклад в науку

Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики,
механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Познания Эйлера
были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику,
медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков.
Адреса проживания
В Берлине
В 1743—1766 годах Эйлер жил в доме по адресу:
Беренштрассе, 21/22. Дом сохранился, на нём установлена
мемориальная доска.
В Санкт-Петербурге
С 1766 года Эйлер проживал в доходном доме по адресу:
Николаевская набережная, 15 (с перерывом, вызванным
сильным пожаром). В советское время улица была
переименована в «Набережную лейтенанта Шмидта». На
доме установлена мемориальная доска, сейчас в нём
располагается средняя школа.
Леонард Эйлер

4.

Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины
всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера,
окружностью Фейербаха, окружностью шести точек, окружностью Теркема,
окружностью двенадцати точек, включая точки Фейербаха , окружностью n-точек,
полуописанной окружностью.
Теорема:Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его
сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром,
лежат все на одной окружности.
окружность девяти точек является описанной окружностью для следующих трёх
треугольников:
ортотреугольник,
дополнительный треугольник,
треугольник Эйлера (или треугольник Фейербаха, треугольник Эйлера —
Фейербаха) — треугольник, вершинами которого служат середины трёх
отрезков, соединяющих ортоцентр и вершины.

5.

Окружность девяти точек обладает ещё
целым рядом свойств:
Центр окружности девяти точек лежит
на прямой Эйлера, точно в середине
отрезка между ортоцентром и центром
описанной окружности.
Ортоцентр— точка пересечения высот треугольника или их
продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой
H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может
находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его
(в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в
прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).
Ортоцентр относятся к замечательным точкам треугольника
и он перечислен в энциклопедии центров треугольника
Кларка Кимберлинга[en], как точка X.

6.

Из девяти точек на окружности Эйлера три
являются серединами отрезков,
соединяющих вершины с ортоцентром
(вершины треугольника Эйлера-Фейербаха).
Эти три точки являются отражениями
середин сторон треугольника относительно
центра окружности девяти точек.
Таким образом, центр девяти точек служит
центром симметрии, переводящей
серединный треугольник в треугольник
Эйлера-Фейербаха (и наоборот) [1].
Радиус окружности девяти точек равен
половине радиуса описанной окружности.
Описанная окружность есть образ
окружности девяти точек относительно
гомотетии с центром в ортоцентре и
коэффициентом 2.

7.

Последнее свойство гомотетичности (подобия) означает, что
окружность девяти точек делит пополам любой отрезок,
который соединяет ортоцентр с произвольной точкой,
лежащей на описанной окружности.
Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек
произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх
вневписанных окружностей этого треугольника.
Теорема Мавло: треугольник на своей окружности девяти
точек отсекает внешним образом три дуги таким образом,
что длина наибольшей из них равна сумме длин двух
оставшихся дуг. Например, на рисунке выше теорема Мавло
дает равенство: дуга IF=дуга HE+дуга GD.
В симметричном виде теорема Мавло может быть записана
в виде: U IF+U HE+ U GD= 2\max(U IF,U HE,U GD ). Это
эквивалентно тому, что наибольшая из трех дуг равна сумме
двух других.
Последнее свойство - аналог свойств для расстояний x, y и z
от вершин до точки Фейербаха, а не для дуг. Аналогичное
соотношение также встречается в теореме Помпею.

8.

Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих
ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника,
разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую
окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и
исходный остроугольный треугольник.
На описанной окружности треугольника ABC существуют
ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается
окружности Эйлера треугольника ABC, причем эти точки
образуют правильный треугольник. Стороны этого
треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.
Гипербола Киперта
Если описанная около треугольника гипербола проходит
через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то
есть её асимптоты перпендикулярны). Точка пересечения
асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности
девяти точек.
Иллюстрация к теореме Фейербаха. Точкой Фейербаха
считается наиболее близкая к вершине A отмеченная жирно
точка на окружности

9. Доказательство окружности Эйлера

ABC-произвольный треугольник